發(fā)展抽象思維 注重?cái)?shù)學(xué)推理

章小超 劉繼業(yè)

[摘 要]數(shù)學(xué)能“培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力”。發(fā)展學(xué)生的推理能力，是小學(xué)數(shù)學(xué)“課標(biāo)”中的核心詞之一，它是賦予數(shù)學(xué)教學(xué)一項(xiàng)十分重要和長(zhǎng)期的任務(wù)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的根本所在。推理一般包括合情推理和演繹推理。教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)特別注意合情推理和演繹推理的培養(yǎng)與發(fā)展，將它“貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程”，既不能忽略推理能力的培養(yǎng)與發(fā)展，也不應(yīng)急于求成。

[關(guān)鍵詞]? 小學(xué)數(shù)學(xué);合情推理;演繹推理;語(yǔ)言表述

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在“課程性質(zhì)”中強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)能“培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和推理能力”。抽象思維又叫邏輯思維，是用詞進(jìn)行判斷、推理并得出結(jié)論的過程，是在分析事物時(shí)抽取事物最本質(zhì)特性而形成的概念，并運(yùn)用其概念進(jìn)行推理、判斷，其思維形式是概念組成判斷，用判斷組成推理。由此可見，抽象思維本身就涵蓋推理;而推理則是思維形式，是由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷推出一個(gè)新的判斷。數(shù)學(xué)離不開推理。

推理能力，是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心詞之一?！巴评硪话惆ê锨橥评砗脱堇[推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定律等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定律、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算……合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論;演繹推理用于證明結(jié)論?！?/p>

在小學(xué)，數(shù)學(xué)教師教學(xué)時(shí)應(yīng)特別注意：合情推理和演繹推理是“貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成是一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過程……不要過分強(qiáng)調(diào)推理的形式?！卑l(fā)展學(xué)生的抽象思維和數(shù)學(xué)推理，不同于知識(shí)與技能的教學(xué)，知識(shí)的理解與掌握具有階段性，某一知識(shí)弄“懂”學(xué)“會(huì)”了，技能也熟練了，可以暫且臨時(shí)“擱置”，接著學(xué)習(xí)其他知識(shí)，知識(shí)是一章一節(jié)學(xué)習(xí)的;而抽象思維和數(shù)學(xué)推理的發(fā)展，不具有階段性，也不存在一章一節(jié)，是持續(xù)長(zhǎng)久的，是長(zhǎng)期的，因此，在教學(xué)過程中，必須將“推理貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終”。

一、敢于猜想，發(fā)展合情推理

著名科學(xué)家牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)?！辈孪胧强茖W(xué)發(fā)展的先導(dǎo)，數(shù)學(xué)同樣離不開猜想。費(fèi)馬的猜想產(chǎn)生了代數(shù)數(shù)論;四色猜想[2]解決了地圖著色難題;眾所周知的“任何不小于4的偶數(shù)，都可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的形式”，這就是著名的哥德巴赫猜想。猜想推動(dòng)著人類文明的發(fā)展。固然，數(shù)學(xué)猜想是以一定的數(shù)學(xué)事實(shí)為依據(jù)，包含著以數(shù)學(xué)事實(shí)作為基礎(chǔ)的想象成分;沒有數(shù)學(xué)事實(shí)作依據(jù)的隨心所欲胡亂“猜想”，不能稱之為數(shù)學(xué)猜想?！跋炔潞笞C──這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道。”也正如胡適先生的治學(xué)名言所說，對(duì)于數(shù)學(xué)的“大膽猜想”，還必須得“小心求證”。

在小學(xué)，通常是學(xué)生“通過觀察、嘗試、估算、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力”。這種合情推理，它就是本著基于數(shù)學(xué)中一些現(xiàn)象或事實(shí)為依據(jù)的，并非是臆想或胡思亂想。

例如，筆者在教學(xué)長(zhǎng)方形中長(zhǎng)、寬的變化與面積之間的關(guān)系時(shí)，先讓學(xué)生猜猜看：“用20根1厘米長(zhǎng)的小棒圍長(zhǎng)方形，怎樣圍它的面積最大？”“長(zhǎng)6根、寬4根小棒;長(zhǎng)、寬都是5根小棒……”“那就圍圍看！”學(xué)生興致勃勃地開始活動(dòng)，圍圖中還不時(shí)小聲議論，教師選擇其不同的圍法展示在大屏上，讓學(xué)生觀察，說說有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手圍圖、觀察比較，嘗試畫圖、計(jì)算面積等活動(dòng)，得出：“長(zhǎng)和寬都用5根小棒圍成的長(zhǎng)方形，面積最大?！北容^不同的圍法還發(fā)現(xiàn)：“長(zhǎng)方形中長(zhǎng)和寬的改變，面積也在變化。”“是怎么樣變化的？”“在長(zhǎng)方形周長(zhǎng)相等的情況下，圖形越‘胖，面積越大;圖形越‘瘦，面積越小。”教師及時(shí)點(diǎn)撥引導(dǎo)：“哦，你的意思‘胖就是指長(zhǎng)方形圖形有點(diǎn)接近方正，而‘瘦就是長(zhǎng)方形圖形拉得很扁平、很長(zhǎng)，是嗎？”“是的?！薄盀槭裁磿?huì)‘胖起來的？”“是因?yàn)殚L(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬很接近”，“那‘瘦的原因呢？”“就是長(zhǎng)與寬相差很大”。從而得出：當(dāng)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，長(zhǎng)與寬相差越大，面積就越小;反之，長(zhǎng)與寬越接近，面積就越大。縱觀上述學(xué)習(xí)過程，經(jīng)歷猜想、驗(yàn)證（求證），最終推得：“當(dāng)長(zhǎng)方形的……時(shí)”，即指所有長(zhǎng)方形都具有這一特性，此乃可謂是合情推理運(yùn)用的“典范”。

二、運(yùn)用定律，培養(yǎng)演繹推理

演繹推理不是從個(gè)別到一般的推理，但也不僅僅是從一般到個(gè)別的推理，可以從個(gè)別到個(gè)別，從一般到一般;而歸納推理則是由個(gè)別到一般的推理。演繹和歸納是互相聯(lián)系、互相補(bǔ)充、不可分割的，歸納推理離不開演繹推理。

例如，筆者在教學(xué)“乘法交換律”時(shí)，提問學(xué)生：“怎么驗(yàn)證‘交換兩個(gè)乘數(shù)的位置，積不變的結(jié)論？”學(xué)生立刻會(huì)想到舉例驗(yàn)證，“那你們覺得要舉例多少個(gè)比較合適呢？”有的學(xué)生說“至少幾十個(gè)”，有的學(xué)生說“要無數(shù)個(gè)”……舉例驗(yàn)證就是由個(gè)別到一般，這是歸納推理，但這里的歸納推理，則前提都是真的，這又屬于演繹推理的要求范疇，是一個(gè)必然得出結(jié)論的思維推理，看似歸納推理，實(shí)為演繹推理，歸納與演繹互補(bǔ)，緊緊相連。

再如，筆者教學(xué)“倍數(shù)”時(shí)，讓學(xué)生寫出3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，求出這3個(gè)自然數(shù)的和，并判斷是不是3的倍數(shù)。學(xué)生通過舉例計(jì)算，給出了肯定回答。在此基礎(chǔ)上，接著引導(dǎo)學(xué)生用字母來表示任意的連續(xù)3個(gè)自然數(shù)，中間的那個(gè)自然數(shù)可以用[a]表示，則另外兩個(gè)自然數(shù)分別是[a]-1和[a]+1，3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和就是[a]-1+[a]+[a]+1=3[a]，因?yàn)閇a]是自然數(shù)，3[a]一定是3的倍數(shù)，結(jié)論是必然的，實(shí)質(zhì)上更符合演繹推理。同時(shí)，在大量實(shí)例基礎(chǔ)上歸納得出，又用字母表示的方法進(jìn)行了演繹推理，形成一條公理。

三、多種形式，應(yīng)用合情推理

學(xué)生基于既定數(shù)學(xué)事實(shí)，或已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，或直覺感知，給出數(shù)學(xué)中某種結(jié)論后，一般會(huì)自我舉例進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)沒有反例之后，就確認(rèn)結(jié)論是成立的、可靠的。固然，學(xué)生所舉正反之例，一定是有限的、不完全的，此時(shí)的結(jié)論從理論說，并非一定成立、可靠，但這是由于小學(xué)生受思維發(fā)展水平和所掌握知識(shí)的局限，無法也無力進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算、畫圖、實(shí)驗(yàn)等多種形式，盡最大限度增加和豐富結(jié)論的可靠性。

例如，筆者在教學(xué)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，學(xué)生通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)：[34]等于[68]，還等于[912];[14]等于[28]，還等于[312];[24]等于[12];[48]等于[24]，還等于[12]……緊接著，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)并驗(yàn)證：[12]會(huì)和哪些分?jǐn)?shù)相等？[69]呢？學(xué)生在折紙涂色、計(jì)算結(jié)果、畫圖直觀等多種形式驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，憑借經(jīng)驗(yàn)、歸納類比，由此及彼，合乎情理地得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

四、語(yǔ)言表述，訓(xùn)練推理能力

語(yǔ)言是思維的載體，思維的成果需要用語(yǔ)言表達(dá)出來，語(yǔ)言是思維的工具;思維是語(yǔ)言的內(nèi)容，是內(nèi)核，語(yǔ)言離不開思維。語(yǔ)言與思維是相互依存的、共同發(fā)展的。因此，教學(xué)中應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述能力，以此訓(xùn)練和發(fā)展其推理能力。

例如，筆者在教學(xué)三角形中三邊關(guān)系時(shí)，先讓學(xué)生在長(zhǎng)短不一的8厘米、4厘米、5厘米和2厘米4根小棒中，任意選擇3根去圍一個(gè)三角形，看在什么情況下可以圍成三角形？什么情況下不能圍成三角形？學(xué)生通過動(dòng)手圍三角形發(fā)現(xiàn)：分別用8厘米、4厘米和5厘米與2厘米、5厘米和4厘米的3根小棒，都能圍成一個(gè)三角形;而分別用2厘米、8厘米和4厘米與2厘米、8厘米和5厘米的這3根小棒都不能圍成三角形?！斑@是什么原因呢？把你所圍圖形的其中兩條邊加起來與第三條邊比一比，你能發(fā)現(xiàn)什么？”引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算其中兩邊的和，并比較邊與邊之間的關(guān)系：8+4>5，5+4>8，8+5>4;2+5>4，2+4>5，5+4>2;雖2+8>4，8+4>2，而2+4<8;同理：2+8>5，8+5>2，2+4<8?！霸鯓佑谜Z(yǔ)言表述你們計(jì)算比較的結(jié)果，會(huì)說嗎？說說看?！痹賹W(xué)生操作、計(jì)算、比較得出的思維結(jié)果，整理后用語(yǔ)言加以呈現(xiàn)：“只有在兩邊的和大于第三邊的情況下，才能圍成三角形，否則就圍不成三角形?！边@是運(yùn)用了合情推理，其本質(zhì)上是演繹推理，它的前提蘊(yùn)涵著結(jié)論的必然成立，前提和結(jié)論之間存有因果關(guān)聯(lián)。最后，將學(xué)生推理得出結(jié)果的“原始”語(yǔ)言表述，逐步引導(dǎo)為用精練、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述：“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊?！?/p>

總之，注重發(fā)展學(xué)生的推理能力，是小學(xué)數(shù)學(xué)“課標(biāo)”中的核心詞之一，是賦予數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)十分重要任務(wù)，也是培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和數(shù)學(xué)思想方法的根本所在。因而，在教學(xué)中，教師切不可舍本求末，“只教知識(shí)”，而忽略抽象思維和推理能力的培養(yǎng)與發(fā)展。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)任編輯：李雪虹）