基于相對(duì)熵的開放系統(tǒng)量子參數(shù)估計(jì)

楊志遠(yuǎn)，嚴(yán) 凱，邵雅婷，郝 翔

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；江蘇省維納熱流技術(shù)與能源應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 蘇州215009）

信息度量是信息論[1]中最基本的問題之一。經(jīng)典信息論中，最早在數(shù)學(xué)上定義的“信息”是Fisher 信息，它被廣泛的運(yùn)用在數(shù)理統(tǒng)計(jì)和參數(shù)估計(jì)問題[2-5]。從物理角度看，可以采用“熵”來度量信息，信息熵是表示事件不確定性的度量。經(jīng)典信息熵和經(jīng)典Fisher 信息可以通過Kullback-Leibler（KL）距離[6-7]建立聯(lián)系。KL 距離是數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)中一種非常重要的量，可以用來評(píng)價(jià)某種參量分布的離散特性，與信息熵緊密相連，被廣泛應(yīng)用于測(cè)量領(lǐng)域。在量子測(cè)量領(lǐng)域中，量子KL 距離對(duì)應(yīng)相對(duì)熵。在文獻(xiàn)[8]中，Wiener 提出Fisher 信息可以被信息熵取代。然而，在量子力學(xué)中，F(xiàn)isher 信息扮演著重要的角色[9－11]，通過Fisher 信息可以導(dǎo)出其他形式的信息量。在此，筆者推導(dǎo)出相對(duì)熵和量子Fisher 信息的關(guān)系，通過比較兩個(gè)含有參數(shù)的鄰近態(tài)的距離，提出一個(gè)用于開放量子系統(tǒng)參數(shù)測(cè)量的有效定性判據(jù)。

文章主要內(nèi)容分為三個(gè)部分：首先，利用量子態(tài)KL 距離導(dǎo)出了一個(gè)可以衡量量子態(tài)含有測(cè)量參數(shù)的量子信息散度；然后，利用兩種判據(jù)，研究了兩能級(jí)系統(tǒng)在三種噪聲通道中的退相干過程；最后，給出一個(gè)簡(jiǎn)要的總結(jié)。

1 基于鄰近態(tài)距離的參數(shù)估計(jì)判據(jù)

首先，一個(gè)經(jīng)典態(tài)X 可以用一個(gè)概率分布函數(shù){px}表示，滿足它和另外一個(gè)經(jīng)典態(tài)qx之間的差異可以用兩個(gè)經(jīng)典態(tài)的距離表示。一個(gè)是經(jīng)典態(tài)Bures 距離其中fc(px，qx)=為保真度[12]。另一個(gè)是，經(jīng)典態(tài)KL 距離也可以有效表示近鄰經(jīng)典態(tài)的距離。其中，Bures 距離度量是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)度量，而KL 距離卻不是度量，因?yàn)榧葷M足對(duì)稱條件：也不滿足三角形不等式[9]。

設(shè)經(jīng)典的概率分布px含有未知的參數(shù)θ。當(dāng)參數(shù)θ 發(fā)生微小變化Δθ→0 時(shí)，兩個(gè)近鄰態(tài)的距離可以用上述兩種距離度量表示成[6]

下面給出公式（1）和（2）的簡(jiǎn)單推導(dǎo)過程：將離散概率分布px(θ+Δθ)在θ 處泰勒展開并保留至二階項(xiàng)，根據(jù)兩個(gè)鄰近經(jīng)典態(tài)的保真度，得到

從而得到公式（1）。

同樣，根據(jù)KL 距離公式定義，只保留2 階項(xiàng)，可以得到公式（2）

對(duì)于多參數(shù)也有相類似的結(jié)論[7，13-14]。

然后，將經(jīng)典態(tài)距離的結(jié)論推廣到量子態(tài)問題。一個(gè)量子態(tài)可以由一個(gè)密度算子ρ 表示，可以看成是概率密度函數(shù)px在量子論中的推廣[15]，滿足Tr[ρ]=1。如果ρ為對(duì)角矩陣，則量子態(tài)可以退化到經(jīng)典態(tài)px。上述經(jīng)典態(tài)的距離度量，都可以推廣到量子情形。兩個(gè)量子態(tài)ρ，? 的Bures 距離量子保真度定義為量子KL 距離[16]定義為DKL(ρ||?)=Tr[ρ(log ρ-log?)]。量子Fisher 信息也可以通過參數(shù)估計(jì)得到，對(duì)于無偏參數(shù)估計(jì)，參數(shù)θ 估計(jì)的誤差下界由量子Fisher 信息F(θ)[17-18]表示，F(xiàn)(θ)=Tr(?θρL)=Tr(ρL2)，L 對(duì)稱對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)算子滿足條件2?ρ=ρL+Lρ，其中例如，關(guān)于純態(tài)｜ψ〉中θ 參數(shù)估計(jì)，其量子Fisher 信息量為對(duì)于混合態(tài)可以寫成[19]

將F(θ)進(jìn)一步展開寫成經(jīng)典貢獻(xiàn)項(xiàng)Fct和量子貢獻(xiàn)項(xiàng)Fqt[20]，F(xiàn)(θ)=Fct+Fqt，其中

同樣，考慮量子KL 距離區(qū)分兩個(gè)鄰近量子態(tài)。當(dāng)log(θ+Δθ)在θ 處泰勒展開，保留2 階項(xiàng)，化簡(jiǎn)得到，

類比Bures 鄰近態(tài)距離與量子Fisher 信息量的關(guān)系，可以定義量子信息散度

當(dāng)量子態(tài)退化經(jīng)典態(tài)時(shí)，量子信息散度G(θ)退化為量子Fisher 信息。規(guī)定0log0=0，plog0=-∞，p＞0，對(duì)于純態(tài)｜ψ〉，G(θ)=∞。對(duì)于完全混合態(tài)p1=p2=…=pd=1/d，G(θ)＝0。與量子Fisher 信息量相比，量子信息散度是一種定性的參數(shù)測(cè)量判據(jù)。但是，對(duì)于開放量子系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)，量子信息散度可以明顯地表現(xiàn)環(huán)境噪聲對(duì)量子參數(shù)估計(jì)的影響，可以看做量子Fisher 信息量的一種有效補(bǔ)充。

對(duì)于封閉系統(tǒng)，以兩能級(jí)系統(tǒng)ρ2×2=p1｜ψ1〉〈ψ1｜+p2｜ψ2〉〈ψ2｜為例，G(θ)和F(θ)為

在圖1 中，p1=1,0 對(duì)應(yīng)著純態(tài)｜ψ1〉和｜ψ2〉，此時(shí)的G(β)和F(β)分別取最大值∞和1。p1=1/2 對(duì)應(yīng)著完全混合態(tài)，此時(shí)的G(β)和F(β)取最小值0。從圖1 中可以看到量子態(tài)的純度Tr(ρ2)與G(β)和F(β)相比，它們變化趨勢(shì)相似。

圖1 兩能級(jí)混合態(tài)ρ2×2，關(guān)于相位參數(shù)β 的G(β)和F(β)隨p1 的變化圖

2 量子噪聲通道中G(θ)和F(θ)

在實(shí)際情況下，量子系統(tǒng)總會(huì)受到環(huán)境噪聲的影響。這就需要研究開放系統(tǒng)在噪聲背景中的量子參數(shù)估計(jì)。以兩能級(jí)系統(tǒng)為例，任意純態(tài)分別經(jīng)歷一些量子噪聲通道，如退相位通道（PD）、退振幅通道（AD）、退極化通道（D）[17-18]。在上述三種通道中，量子態(tài)表示為

其中r=1-exp(-γ0t)為各個(gè)通道中的退化參數(shù)，γ0為馬爾科夫近似下的耦合常數(shù)。

為方便計(jì)算，公式（12）和（13）也可以借助Bloch 矢量B 表示[21-22]

利用Bloch 矢量B=(Bx，By，Bz)，可以把兩能級(jí)系統(tǒng)的密度矩陣ρ2×2表示為其中σi=x，y，z為Pauli 矩陣的三個(gè)分量。

利用公式（12）和（13），可以得到三種通道中對(duì)相位參數(shù)β 的G(β)和F(β)，以及對(duì)權(quán)參數(shù)α 的G(α)和F(α)。下面對(duì)這三種通道分別討論：

圖2 退相位通道中，初態(tài)

圖2 中繪制了退相位通道中G(α)和F(α)，以及G(β)和F(β)隨時(shí)間的衰減圖像，箭頭所指曲線即為Tr(ρ2)隨時(shí)間的變化曲線?？梢园l(fā)現(xiàn)G(β)和F(β)都隨時(shí)間衰減，ρ 由純態(tài)向混合態(tài)變化，F(xiàn)(β)由sin2α 衰減到0，G(β)由∞衰減到0。而對(duì)權(quán)重參數(shù)α，量子Fisher 信息量保持為1 不變，實(shí)際表示的是量子態(tài)

的最優(yōu)測(cè)量是對(duì)基矢｜0〉和｜1〉的測(cè)量{M0=｜0〉〈0｜,M1=｜1〉〈1｜}，此測(cè)量對(duì)應(yīng)的Fisher信息為而G(α)是由∞向1 衰減的，∞對(duì)應(yīng)著純態(tài)，1 對(duì)應(yīng)著經(jīng)典態(tài)此時(shí)G(α)就為經(jīng)典態(tài)的Fisher 信息F(α)=1。

（2）退振幅通道

圖3 為退振幅通道中G(β)和F(β)，以及G(α)和F(α)隨時(shí)間的衰減圖像。在退極化通道中，對(duì)相位參數(shù)β，F(xiàn)(β)從最大值(1-r)sinα 衰減到0，G(β)從∞衰減到0。對(duì)權(quán)重參數(shù)α，F(xiàn)(α)從(1-r)衰減到0，G(α)從∞衰減到0。

圖3 退振幅通道中，初態(tài)

（3）退極化通道

退極化通道中：F(β)=sin2α，F(xiàn)(α)=(1-r)2sin2α，G(β)=sin2(α)，G(α)=(1-r)sin2αlog（2-r）/r，圖4 中繪制了它們隨時(shí)間的變化曲線。

圖4 退極化通道中，初態(tài)初態(tài)

與量子Fisher 信息F(θ)相比較，G(θ)也能表示量子通道中，量子態(tài)含有的參數(shù)θ 信息隨時(shí)間的變化情況。隨著量子態(tài)與環(huán)境相互作用，發(fā)生退相干量子態(tài)變?yōu)榻?jīng)典態(tài)（密度算子非對(duì)角矩陣元變?yōu)?），F(xiàn)(θ)和G(θ)均退化為經(jīng)典Fisher 信息F(θ)。G(θ)在數(shù)值上總是大于F(θ)，在退相干環(huán)境中，G(θ)衰減的速度要比F(θ)快。這表明，G(θ)受環(huán)境的影響更明顯，F(xiàn)(α)在退相位通道中保持1 不變，不受環(huán)境影響，而G(α)是由正無窮衰減到1，受環(huán)境影響。

3 結(jié)語

量子KL 距離和量子信息散度G(θ)的關(guān)系可以看成是經(jīng)典KL 距離和經(jīng)典Fisher 信息關(guān)系在量子態(tài)空間中的推廣。筆者研究了在不同的退相干過程中G(θ)隨時(shí)間的變化。發(fā)現(xiàn)：在三種量子噪聲通道中，G(θ)對(duì)于相位參數(shù)和權(quán)重參數(shù)都是單調(diào)減少的。G(θ)與F(θ)的變化趨勢(shì)相似。當(dāng)參量變化同樣數(shù)值時(shí)，G(θ)比F(θ)降低趨勢(shì)更快。量子信息散度可以很好地定性表現(xiàn)環(huán)境噪聲對(duì)參數(shù)測(cè)量的影響，是量子Fisher 信息量的一種有效補(bǔ)充。