探究一題多解的解題策略

郭晶晶

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圓錐曲線問題一直是學(xué)生捉摸不透的問題，而圓的問題也是圓錐曲線里頗為重要的問題，學(xué)生在進(jìn)行該部分知識(shí)內(nèi)容學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)不斷就該類問題的實(shí)際解決方式進(jìn)行探究。該類問題往往可以用多種方法解題，一題多解是強(qiáng)化學(xué)生知識(shí)脈絡(luò)、深度拓展解題思維的一種重要的學(xué)習(xí)方式，老師在解題教學(xué)中應(yīng)采用較有特色的“一題多解”來滲透對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。本文通過對一道與圓有關(guān)的軌跡方程的問題對一題多解的解題策略進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：一題多解 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 圓錐曲線 軌跡 圓

前言

大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不勝其煩。因此，有很多學(xué)生都在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面有著不小的困擾，那么要怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢？其實(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不只要多做題，還要注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)題目復(fù)雜多變，要真正摸透其根源，就要從多個(gè)角度去探詢它。“一題多解”并不意味著單純的尋找解法，而是從多個(gè)方面多個(gè)角度去剖析挖掘問題的深層結(jié)構(gòu)，利用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，不斷地去更新學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在教學(xué)過程中，老師要從多方面多角度出發(fā)，從側(cè)面培養(yǎng)學(xué)生多方面多角度思考問題，培養(yǎng)學(xué)生“一題多解”的核心素養(yǎng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。本文從一道與圓有關(guān)的軌跡方程問題出發(fā)，來探究一題多解的解題策略，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、探究例題的多種解法

題目外一點(diǎn)P（5，2），割線交圓于A、B，求弦A、B的中點(diǎn)軌跡方程。

分析 本題是一道求軌跡方程的題，主要考察的是軌跡方程的求法，此題做法非常靈活，涉及初高中多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)方面證明，既有利于學(xué)生對考察的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行鞏固，又有利于對學(xué)生創(chuàng)造性思維進(jìn)行培養(yǎng)，從不同角度運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，強(qiáng)化、深化、活化有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，能夠逐步靈活運(yùn)用解題方法的真諦，舉一反三，從而進(jìn)一步提高學(xué)生的靈活解題思維。

1.建立直線方程，利用點(diǎn)差法求解

分析1 首先，我們可以從圓錐曲線的角度來分析，這是有關(guān)于交點(diǎn)坐標(biāo)的問題，我們可以想到利用點(diǎn)差法和韋達(dá)定理來求解。在解題過程中，我們要注意斜率的取值范圍，對不同情況進(jìn)行分類討論。

解題1 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，設(shè)割線方程為。

①當(dāng)k不存在時(shí)，直線與圓無交點(diǎn)，不符合題意，即k必然存在。

②當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=2，聯(lián)立直線方程與圓的方程得，即，M為（0，2）。

③當(dāng)k≠0時(shí)，直線方程為，聯(lián)立直線方程與圓的方程得

聯(lián)立中點(diǎn)M的軌跡方程和圓的方程，得到交點(diǎn)坐（0.6，2.94）（2.47，-1.70）標(biāo)，所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點(diǎn)的軌跡方程為

2.建立直線方程，利用代入消元法求解

分析2 我們利用斜率來求解，先將A、B兩點(diǎn)分別代入圓方程，然后聯(lián)立兩個(gè)方程，兩式相減，得到一條公直線方程，再將公直線方程與直線方程相比，消去同類項(xiàng)，得到關(guān)于M的軌跡方程。

解題2 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，設(shè)割線方程為。

①當(dāng)k不存在時(shí)，直線與圓無交點(diǎn)，不符合題意，即k必然存在。

②當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=2，聯(lián)立直線方程與圓的方程得，即，M為（0，2）。

③當(dāng)k≠0時(shí)，直線方程為，即

將A、B兩點(diǎn)代入圓的方程得

兩式相比，消去同類項(xiàng)得

而M（0，2）滿足該方程，即M的軌跡方程為

聯(lián)立中點(diǎn)M的軌跡方程和圓的方程，得到交點(diǎn)坐（2.47，-1.70）（0.6，2.94）標(biāo)所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點(diǎn)的軌跡方程為

3.運(yùn)用垂徑定理求解

分析3 我們發(fā)現(xiàn)，在運(yùn)用點(diǎn)差法和代入消元法時(shí)，都會(huì)有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是計(jì)算量大，求解時(shí)間過長，而且特別容易出錯(cuò)，那么我們由M為弦AB的中點(diǎn)就很容易想到從圓的性質(zhì)出發(fā)，使用垂徑定理，利用垂直的兩條直線的斜率乘積為-1來求解比前兩種方法要簡單得多。

解法3 設(shè)割線方程為，中點(diǎn)坐標(biāo)為。

①當(dāng)k不存在時(shí)，直線與圓無交點(diǎn)，不符合題意，即k必然存在。

②當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=2，聯(lián)立直線方程與圓的方程得，即，M為（0，2）。

③當(dāng)k≠0時(shí)，直線方程為，則，由垂徑定理得OM⊥AB得 即，化簡得。

聯(lián)立中點(diǎn)M的軌跡方程和圓的方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)（2.47，-1.70）（0.6，2.94）所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點(diǎn)的軌跡方程為

4.運(yùn)用向量法求解

分析4 向量法同樣需要使用垂徑定理，但好處是不需要設(shè)直線方程，不需要討論斜率的范圍。

解題4 設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)為，，由垂徑定理得，，那么，即。

聯(lián)立中點(diǎn)M的軌跡方程和圓的方程，得到交點(diǎn)坐標(biāo)（0.6，2.94） （2.47，-1.70），所以的取值范圍為[-3，2.47]。

所以中點(diǎn)的軌跡方程為

二、總結(jié)一題多解的套路

在解題的過程中，我們往往容易因?yàn)閼T性思維而忽視思考，用常用的方法去解題，但最常用的方法并不一定是最好的，只有當(dāng)每種情況都考慮到了，我們才能找出最簡單的方法。對于一題多解的探究需要透過問題現(xiàn)象來把握問題本質(zhì)，從解題的思路入手，選取最合適的解題思想和方法，用思想指導(dǎo)方法，用方法簡化過程，最終實(shí)現(xiàn)高效解題的目的。通過上述例題的四種解法，我們可以發(fā)現(xiàn)，一題多解的套路大概需要5個(gè)步驟：

1.首先我們需要從圓的概念出發(fā)，聯(lián)想關(guān)于圓的一些相關(guān)特征，探究解題的策略。

2.其次我們需要從題目考察的知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，聯(lián)想與這些知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的解題方法，探究解題的策略。

3.再然后我們由圖形的相關(guān)特征出發(fā)，聯(lián)想圖形的一些信息，探究解題的相關(guān)策略。

4.之后我們從常用的一些解題方法出發(fā)，深入挖掘思考，探究解題策略。

5.最后我們再從平時(shí)常見的數(shù)學(xué)模型入手，運(yùn)用這些模型來探究解題策略。

一題多解的本質(zhì)就是通過多方面多角度的分析，探究問題的多種解題方法.因此在解題過程中，如果我們能從概念、題目所考察的知識(shí)點(diǎn)、圖形的相關(guān)特征、常用的解題方法和數(shù)學(xué)模型這幾個(gè)維度入手，往往就可以幫助我們找到問題的切入點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的基本策略。

結(jié)語

通過進(jìn)行一題多解的練習(xí)，學(xué)生可以不斷鞏固和運(yùn)用不同的思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)，不斷地加深對已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)地理解，突破自己的知識(shí)瓶頸，進(jìn)而形成新的知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)體系。通過老師系統(tǒng)的講解一題多解，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高課堂效率。在課堂教學(xué)中通過方法和思想的雙重指導(dǎo)，充分給予學(xué)生思考、解決問題的空間，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，有利于學(xué)生間的相互交流，提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性，開發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的開拓性，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，形成數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)題目的求解，萬變不離其宗，一個(gè)知識(shí)點(diǎn)可以創(chuàng)造出多個(gè)題目，一個(gè)題目也可以衍生多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在我們的教學(xué)過程中，我們不能剝奪學(xué)生的主體地位，要多給學(xué)生思考的時(shí)間，我們能做的只是傳授學(xué)生好的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生自己主動(dòng)去思考，培養(yǎng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性。通過一題多解，我們能夠幫助學(xué)生更好的去發(fā)現(xiàn)問題、理解問題和解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

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