關(guān)于乘法分配律的幾點慎思與求索

徐小琴

摘? ? 要??乘法分配律是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是備受爭議的教學(xué)難點與易錯內(nèi)容。通過對乘法分配律“應(yīng)該如何教學(xué)”“字母表示是否科學(xué)”“教學(xué)價值何在”的思考，提出乘法分配律教學(xué)應(yīng)重數(shù)學(xué)本質(zhì)、定律字母的表示應(yīng)凸顯地位與順序、乘法分配律教學(xué)應(yīng)貫穿聯(lián)系整個知識體系的理念。

關(guān)鍵詞 乘法分配律 教學(xué) 慎思 求索

乘法分配律是小學(xué)四年級乘法運算定律的重要內(nèi)容，是乘法交換律和結(jié)合律之后的一個基本運算定律。本節(jié)內(nèi)容是各種公開課、示范課的熱門課例，也是一線教師公認的“難啃的骨頭”。因此，基于已有文獻研究及乘法分配律內(nèi)容結(jié)構(gòu)的橫縱聯(lián)系，筆者擬從理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度談一些看法。

一、乘法分配律應(yīng)該如何教

1.已有教學(xué)重情境輕本質(zhì)

情境教學(xué)開創(chuàng)了教學(xué)改革的新天地，數(shù)學(xué)課堂引入情境使原本靜態(tài)的知識充滿生命。關(guān)于乘法分配律的教學(xué)情境包括：計算課桌椅的價格[1]、計算套裝衣服的價格、計算等寬異長的長方形（菜園）的面積[2]、計算參加植樹活動的學(xué)生人數(shù)[3]等形式。其教學(xué)設(shè)計過程都體現(xiàn)了從情境出發(fā)提煉不同算式，通過分組或者比賽的形式計算數(shù)值，比較計算方式，將更為簡單的計算方法抽象出符號表達式，讓學(xué)生經(jīng)歷現(xiàn)實情境數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)知識符號化的過程。

但是，教學(xué)最經(jīng)濟的方式是“同化”。無論上述情境以何種方式教學(xué)，學(xué)習(xí)此內(nèi)容學(xué)生能聯(lián)系到的已有知識基礎(chǔ)就是乘法與加法的運算，盡管有經(jīng)歷知識建構(gòu)的過程，但對乘法分配律的原理是以一個新知識、新內(nèi)容進行順應(yīng)的，離不開教師的“精心設(shè)計”。那么，乘法分配律本身有沒有脫離現(xiàn)實背景的數(shù)學(xué)意義呢？其實，乘法分配律并不是一個新知識，而是學(xué)生已有的知識經(jīng)驗。

2.乘法分配律教學(xué)應(yīng)重視數(shù)學(xué)本質(zhì)

通常情況下獨立的知識內(nèi)容學(xué)生掌握較好，但遇到新的問題情境或須要綜合幾個知識內(nèi)容解決問題時就捉襟見肘、相形見絀。教學(xué)是由一個問題情境講一個知識內(nèi)容的循環(huán)往復(fù)。挖掘?qū)W生已有知識經(jīng)驗，建立新舊知識間的腳手架，達到學(xué)生認知最近發(fā)展區(qū)，才能實現(xiàn)教學(xué)的部分之和大于整體的成效。用數(shù)學(xué)知識串聯(lián)數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)知識的實質(zhì)性聯(lián)系，一堂充溢數(shù)學(xué)味的課才是數(shù)學(xué)教學(xué)的真諦。

縱觀乘法分配律的前提鋪墊，在三年級下冊兩位數(shù)乘兩位數(shù)的口算乘法中就已經(jīng)初步建立起“分配”原則的意識，只是側(cè)重于“湊整十”的計算，如圖1[4]所示。

這是兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法應(yīng)用，其中學(xué)生已經(jīng)初步具備將27拆分為20和7的理念（湊整）。27乘以3就是27個3，也就是20個3加7個3，180乘以5也就同理可得。其中提示被乘數(shù)可拆分為兩組數(shù)的和，并且是“幾個3與幾個3的和是27個3，幾個5與幾個5的和是180個5”。這就是早期建立起的乘法分配律的知識基礎(chǔ)，也是乘法分配律的腳手架——一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘。只是，這兩個數(shù)中有一個為整十?dāng)?shù)，是符合小學(xué)低段學(xué)生認知水平的。

兩位數(shù)與兩位數(shù)的乘法計算中，豎式計算是乘法計算的重要計算方式，在豎式計算教學(xué)中，滲透乘法分配律，如圖2[5]所示。

此豎式計算中，14與12相乘，分別用乘數(shù)中個位的2、十位的1與被乘數(shù)14相乘，結(jié)果相加。此過程充分體現(xiàn)了乘法分配律的原則，其模型構(gòu)建過程如圖3所示。

因此，乘法分配律對四年級學(xué)生來說并不是一個陌生的新問題，而是熟悉的舊知識，教學(xué)過程只需要喚起學(xué)生對已有知識的再現(xiàn)，使學(xué)生認識“知識的來源”，用“乘法分配律”賦予知識新的命名。

乘法分配律的教學(xué)應(yīng)直接以“ 怎么計算”為問題切入口，去除非本質(zhì)的生活情境，在乘法豎式計算的過程中剖析計算過程的法與理（算法與算理）。同時，以此為基準(zhǔn)認識12可以任由兩個數(shù)的和組成，破除已有知識的桎梏，導(dǎo)之以數(shù)學(xué)問題，得到結(jié)構(gòu)化的知識框架，并舉例應(yīng)用。

二、乘法分配律的字母表示科學(xué)嗎

教材[6]乘法分配律的字母表示為（a+b）×c=a×c+b×c ，這是乘法左分配律，表達式看似簡單易懂，是字母表示數(shù)的典型代表，也是培養(yǎng)學(xué)生符號意識和抽象素養(yǎng)的基礎(chǔ)。但是，教材乘法分配律的字母表示存在字母間地位不凸顯的問題，學(xué)生易產(chǎn)生字母間的混淆，這也是學(xué)生容易出錯的地方。同時，在介紹左分配律和右分配律的順序上有失穩(wěn)妥，對后繼學(xué)習(xí)的遷移也有影響。

1.字母地位不凸顯，學(xué)生易混淆

字母表示數(shù)，26個英文字母的地位與作用看似一樣，但事實上不同的字母在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著其約定俗成的意義，如面積用S，邊長用a，高用h，未知數(shù)通常用 x，y來表示等。除了考慮部分英文字母首字母以外，更應(yīng)符合學(xué)生的認知規(guī)律。

乘法分配律中的字母選擇的是學(xué)生最熟悉的連續(xù)字母 ，三者之間的關(guān)系猶如姊妹、兄弟。從心理學(xué)的角度來看，其共同屬性較多，區(qū)分度較低，學(xué)生在應(yīng)用過程中容易產(chǎn)生概念泛化。因此，可將乘法分配律的字母表達式改為（a+b）×m=a×m+b×m。字母a，b的關(guān)系依舊是姊妹、兄弟，而m與a，b區(qū)分度高，學(xué)生理解更容易。該形式更具有推廣價值，如（a+b+c）×m=a×m+b×m+c×m等。

2.左右分配順序顛倒，學(xué)生難遷移

大多數(shù)教師的教學(xué)與教材設(shè)置一樣，將教學(xué)重點落在左分配律的學(xué)習(xí)上，最后通過“想一想”“試一試”等問題設(shè)計驗證右分配律的存在，并且根據(jù)乘法的交換律得出左、右分配律的結(jié)果相等。通過后續(xù)學(xué)習(xí)我們知道，左分配律和右分配律在大多情況下是不相等的，如向量，矩陣。那么，左、右分配律哪一個更重要呢？右分配律更重要。杜威認為，思維的開始階段就是經(jīng)驗[7]。也就是思維產(chǎn)生于學(xué)生已經(jīng)知道的或者積累的認識事物的一般規(guī)律。人類認識事物的一般規(guī)律是由易到難，由特殊到一般。乘法右分配律m×（a+b）=m×a+m×b表示一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于這個數(shù)分別與兩個數(shù)分別相乘，再相加。m在運算過程中不變，分配過程相當(dāng)于 穿透括號分別與a，b作用，也將“分配”具體化。因此，右分配律更符合學(xué)生認知規(guī)律，具有科學(xué)性。

從學(xué)習(xí)知識的遷移角度來看，右分配律對后繼學(xué)習(xí)簡便計算、提取公因數(shù)（公因式）、提取公因式等有重要鋪墊作用。因此，乘法右分配律具有重要的遷移價值，應(yīng)作為教學(xué)重點。

三、乘法分配律的價值何在

1.乘法分配律為小學(xué)簡便計算提供方法

小學(xué)四年級的一個重要內(nèi)容就是乘法運算定律的學(xué)習(xí)，而運算定律學(xué)習(xí)的一個共同目標(biāo)就是簡便計算，初步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。乘法分配律的學(xué)習(xí)為復(fù)雜的混合運算提供方法基礎(chǔ)，如計算111×7+3×111，運用乘法分配律的逆運算能簡化運算量，在審題、讀題過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)與數(shù)的關(guān)系，再現(xiàn)知識儲備中的計算方法，對學(xué)生思維的培養(yǎng)（逆向、發(fā)散思維等）具有一定作用。

2.乘法分配律為初中因式分解提供指導(dǎo)

因式分解在數(shù)的簡便計算、整式的除法、分式的混合運算、解方程等方面都具有潛在的重要作用[8]。進行因式分解的重要方法就是提取公因式，找出多項式中的公因式也就成為了教學(xué)的重難點。與提取公因式密切聯(lián)系的知識基礎(chǔ)就是乘法分配律，簡單的說提取公因式就是乘法分配律的逆運算，即提取多項式中都含有的相同因式。因此，乘法分配律的學(xué)習(xí)對后繼學(xué)習(xí)因式分解具有積極作用。

3.乘法分配律為高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供原理

乘法分配律在高等數(shù)學(xué)的眾多知識內(nèi)容中仍就存在，數(shù)與矩陣的和滿足分配律，矩陣的乘法和加法滿足分配律，這都是矩陣問題中常用的性質(zhì)，也是推導(dǎo)其它性質(zhì)的基礎(chǔ)。同時，乘法分配律為群論、拓撲學(xué)、復(fù)變、泛函等高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都提供了指導(dǎo)性原理。

可見，乘法分配律具有重要的教學(xué)價值和理論意義。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透其教育價值有利于學(xué)生知曉“知識的去向”，對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)和科學(xué)精神具有現(xiàn)實意義。

參考文獻

[1] 許萬明.乘法分配律教學(xué)探新[J].小學(xué)教學(xué)研究，1994（11）.

[2] 徐偉平.借助幾何直觀，提高運算教學(xué)效率[J].教學(xué)與管理：小學(xué)版，2015（20）.

[3] 丁玉華.以問題提出促進意義構(gòu)建——“乘法分配律”教與學(xué)現(xiàn)狀分析及教學(xué)建議[J].教育科學(xué)論壇，2019（04）.

[4] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].第2版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.

[5] 人民教育出版社課程教材研究所.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[6] 人民教育出版社課程教材研究所.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[7] 杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[8] 金曉群.重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中必要性的體驗[J].教學(xué)與管理，2007（31）.

[責(zé)任編輯：陳國慶]

該文為四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計劃”項目（ZY16001）、2018年度內(nèi)江師范學(xué)院科研項目“基于PME視角的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)實踐路徑的探索”（18SC11）的階段性研究成果