四階電力系統(tǒng)混沌分析與新型滑模控制

方 潔，許丹瑩，方 娜，鄧 瑋

(鄭州輕工業(yè)大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，鄭州 450002)

混沌是非線性系統(tǒng)特有的運(yùn)動(dòng)形式，具有內(nèi)在隨機(jī)性、分形性質(zhì)、敏感依賴性等特點(diǎn)，在不同的初始值和系統(tǒng)參數(shù)下會(huì)產(chǎn)生多種不同的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如多種周期運(yùn)動(dòng)共存[1]、混沌與周期運(yùn)動(dòng)共存[2]、多吸引子共存[3-4]等.電力系統(tǒng)作為一種典型的多變量、強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，其參數(shù)變動(dòng)、時(shí)滯或外部擾動(dòng)等都會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)行為，且當(dāng)變動(dòng)量滿足一定條件，例如為持續(xù)性周期性負(fù)荷擾動(dòng)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生無規(guī)則的、突發(fā)性的混沌現(xiàn)象[5-6].在電網(wǎng)的運(yùn)行過程中，混沌現(xiàn)象會(huì)引起過電壓、過電流，嚴(yán)重時(shí)會(huì)誘發(fā)電網(wǎng)解列、造成電壓崩潰，嚴(yán)重影響電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行[7-8].隨著電網(wǎng)的不斷互聯(lián)，電力系統(tǒng)的運(yùn)行環(huán)境變得更加復(fù)雜，電網(wǎng)中局部的混沌有可能演變?yōu)橄到y(tǒng)整體性混沌，在臨界條件下，電力系統(tǒng)有可能從偏離平衡狀態(tài)直接發(fā)展為整個(gè)系統(tǒng)的崩潰[9-10].

當(dāng)前，我國(guó)電力工業(yè)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展對(duì)電網(wǎng)的安全、可靠運(yùn)行提出了更加嚴(yán)格的要求，電力系統(tǒng)的混沌控制已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)，目前已有的混沌控制的方法有自適應(yīng)控制[11]、反饋控制[12]、滑模控制[13-14]等，其中，滑?？刂凭哂许憫?yīng)迅速、對(duì)擾動(dòng)敏感性低、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，因而比其他控制方法更多地應(yīng)用于電力系統(tǒng)的混沌控制中.文獻(xiàn)[15]通過對(duì)具有兩個(gè)不確定參數(shù)的互聯(lián)電力系統(tǒng)混沌行為的研究，設(shè)計(jì)了基于模糊控制器的滑?？刂?，解決了互聯(lián)混沌電力系統(tǒng)的控制問題；文獻(xiàn)[16]在確認(rèn)互聯(lián)電力系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種反演滑模變控制法，有效地控制了系統(tǒng)的混沌振蕩，并具有較強(qiáng)的魯棒性.

在對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行滑模控制時(shí)，傳統(tǒng)的方法是選用符號(hào)函數(shù)作為滑動(dòng)控制律，然而，由于符號(hào)函數(shù)本身的跳躍性，極易導(dǎo)致控制過程中出現(xiàn)嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象.為了避免抖振現(xiàn)象對(duì)電力系統(tǒng)造成二次破壞，文獻(xiàn)[17]在控制過程中選取雙曲函數(shù)作為滑動(dòng)控制律，文獻(xiàn)[18]采用繼電特性函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，文獻(xiàn)[19]運(yùn)用“小誤差大增益，大誤差小增益”的工程特性，建立了一種特殊免疫函數(shù)，這些措施均在不同程度上減輕了滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象.

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，基于含有擾動(dòng)項(xiàng)的四階電力系統(tǒng)模型，首先使用相圖、Lyapunov指數(shù)譜及分叉圖分析了參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)特性的影響，確認(rèn)了使系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的參數(shù)范圍.然后，將一種新的非線性光滑函數(shù)作為滑?？刂频幕瑒?dòng)控制律，采用反演滑模控制方法對(duì)處于混沌運(yùn)動(dòng)的電力系統(tǒng)進(jìn)行控制.最后，通過MATLAB仿真證實(shí)了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

1 含擾動(dòng)的四階電力系統(tǒng)模型

電力系統(tǒng)是由發(fā)電機(jī)、變電站、輸配電線路和用電負(fù)荷組成的復(fù)雜大系統(tǒng)，根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知，含擾動(dòng)項(xiàng)的四階電力系統(tǒng)模型如下：

(1)

其中，

V=

式中，δ為發(fā)電機(jī)功角，ω是發(fā)電機(jī)角頻率，E′為暫態(tài)電壓，Efdr為勵(lì)磁輸入電壓，V0是母線電壓，V為發(fā)電機(jī)端電壓，Vref為母線參考電壓，Efd為勵(lì)磁電壓，Efd0為勵(lì)磁參考電壓，x，xd和x′d分別為線路、發(fā)電機(jī)及發(fā)電機(jī)暫態(tài)電抗，H為等值轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，TA是勵(lì)磁時(shí)間常數(shù)，d是阻尼因子，Pm是機(jī)械功率，KA為勵(lì)磁調(diào)節(jié)增益，-Pecos(2πfet)sinδ表示電磁功率擾動(dòng)項(xiàng)，Pe為擾動(dòng)幅值，fe為擾動(dòng)頻率；Plsin(2πflt)表示負(fù)載功率擾動(dòng)項(xiàng)，Pl為擾動(dòng)幅值，fl為擾動(dòng)頻率.

當(dāng)參數(shù)d=4，Pm=1，KA=130時(shí)，觀察δ、ω、E′以及Efdr的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從圖1所示的相圖可以直觀地看出系統(tǒng)存在典型的混沌吸引子，處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

2 混沌特性分析

2.1 耗散性和吸引子的存在性

對(duì)于該四階電力系統(tǒng)(1)，系統(tǒng)的能量函數(shù)為

圖1 四階電力系統(tǒng)混沌狀態(tài)相圖Fig.1 State phase diagram of fourth-dimensional power system

(2)

要想確保系統(tǒng)(1)是耗散的，必須滿足式(2)小于0，且以以下指數(shù)形式收斂：

(3)

模型中系統(tǒng)參數(shù)常用值如表1所示(表中各參數(shù)均為標(biāo)幺值)[20].

2.2 參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響性

隨著參數(shù)的改變，系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性將會(huì)發(fā)

生變化，從而使系統(tǒng)處于不同的狀態(tài)，為了更直觀的體現(xiàn)參數(shù)d、Pm及KA變化對(duì)含擾動(dòng)的電力系統(tǒng)的影響,令擾動(dòng)項(xiàng)參數(shù)Pe=0.12，fe=0.2，Pl=0.08，fl=0.2，將[1.064，0，1.338，1.907]作為初始值代入分析，結(jié)果如下.

1) 固定參數(shù)d=4，Pm=1，調(diào)整KA，KA∈(70，170)時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2(a)所示，KA∈(100，140)時(shí)的分叉圖如圖2(b)所示.從圖中可以看出，當(dāng)KA∈(70，83.671)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)均為負(fù)值，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定；當(dāng)KA∈(83.671，108.578)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有一個(gè)正值，三個(gè)負(fù)值，當(dāng)KA∈(108.578，130.538)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有兩個(gè)正值，兩個(gè)負(fù)值，在這些階段，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)KA∈(130.538，170)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有一個(gè)正值，三個(gè)負(fù)值，此時(shí)最大Lyapunov指數(shù)值較高，初始軌道相差較大.

表1 系統(tǒng)參數(shù)常用值Tab.1 Common values of system parameters

圖2 系統(tǒng)隨KA變化的Lyapunov指數(shù)譜和分叉圖Fig.2 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram of system with the variation of KAvalue

2)固定參數(shù)Pm=1，KA=128，調(diào)整d，d∈(0，5)時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜如圖3(a)所示，d∈(3.9，4.5)時(shí)對(duì)應(yīng)的分叉圖如圖3(b)所示.從圖中可以看出，始終存在Lyapunov指數(shù)大于0，即系統(tǒng)一直處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)d∈(3.543，4.412)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有兩個(gè)正值，兩個(gè)負(fù)值，d∈(3.543，4.051)時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)較高，初始軌道相差較大.

3)固定參數(shù)d=4.07，KA=128，調(diào)整Pm，Pm∈(0.5，2)時(shí)的Lyapunov指數(shù)譜如圖4(a)所示，Pm∈(0.95，1.05)時(shí)對(duì)應(yīng)的分叉圖如圖4(b)所示.從圖中可以看出，當(dāng)Pm∈(0.5，0.924)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)均為負(fù)值，系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定；當(dāng)Pm∈(0.924，1.184)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有兩個(gè)正值，兩個(gè)負(fù)值，當(dāng)Pm∈(1.184，2)時(shí)，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)有一個(gè)正值，三個(gè)負(fù)值，在這些階段，系統(tǒng)均出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng).

圖3 系統(tǒng)隨d變化的Lyapunov指數(shù)譜和分叉圖Fig.3 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram of system with the variation of d value

圖4 系統(tǒng)隨Pm變化的Lyapunov指數(shù)譜和分叉圖Fig.4 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram of system with the variation of Pmvalue

3 混沌行為的抑制

3.1 控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

對(duì)于模型(1)，以功角δ作為控制目標(biāo)，添加控制器u后，得到受控系統(tǒng)(4).

(4)

假設(shè)1系統(tǒng)擾動(dòng)是有界的.記電磁功率擾動(dòng)項(xiàng)-Pecos(2πfet)sinδ為-Δe(t)，負(fù)載功率擾動(dòng)項(xiàng)Plsin(2πflt)為Δl(t)，即存在正常數(shù)m，使得電磁功率擾動(dòng)項(xiàng)-Δe(t)≤m；存在正常數(shù)n，使得負(fù)載功率擾動(dòng)項(xiàng)Δl(t)≤n.

定理1對(duì)任意給定的目標(biāo)函數(shù)r(t)，如果假設(shè)1成立，則在控制器(5)的作用下，系統(tǒng)(1)和目標(biāo)函數(shù)r(t)能夠?qū)崿F(xiàn)同步，系統(tǒng)(1)的混沌行為被控制.

(5)

證明定義位置誤差

e1=δ-r，

(6)

對(duì)式(6)求導(dǎo)并將式(4)代入得：

(7)

取第一個(gè)Lyapunov函數(shù)為

(8)

對(duì)(8)求導(dǎo)并將式(7)代入得到

(9)

令

(10)

將式(10)代入式(9)得到

(11)

取第二個(gè)Lyapunov函數(shù)為

(12)

對(duì)式(12)求導(dǎo)并將式(4)、式(10)、式(11)代入得：

(13)

將控制器(5)代入式(13)得:

(14)

(15)

由假設(shè)1可得，-Δe(t)|≤m；Δl(t)|≤n，于是有

2πf0[(m+n)e2|-k1h(s)|e2|]≤

2πf0[(m+n)e2|-k1h(s)|e2|].

(16)

2πf0>0恒成立，故當(dāng)k1h(s)|≥m+n時(shí)，可使得式(15)成立.

3.2 數(shù)值仿真

由上述混沌特性分析可知，當(dāng)初始值為[1.064，0，1.338，1.907]，系統(tǒng)參數(shù)d=4.07，Pm=1.03，KA=128，擾動(dòng)項(xiàng)參數(shù)Pe=0.12，fe=0.2，Pl=0.08，fl=0.2時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).此時(shí)，選擇控制器參數(shù)k0=5，k1=5，τ=200對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制.

令目標(biāo)函數(shù)r(t)=0，功角δ的狀態(tài)隨時(shí)間的變化的曲線如圖5(a)所示，功角δ的狀態(tài)與參考信號(hào)之間的誤差變量e1隨時(shí)間變化的曲線如圖5(b)所示，此時(shí)，控制器u的時(shí)序曲線如圖5(c)所示.

令目標(biāo)函數(shù)r(t)=1.5-0.2cost，調(diào)整擾動(dòng)項(xiàng)參數(shù)為Pe=0.1，fe=0.2，Pl=0.1，fl=0.2，其余參數(shù)不變，功角δ的狀態(tài)隨時(shí)間的變化的曲線如圖6(a)所示，功角δ的狀態(tài)與參考信號(hào)之間的誤差變量e1隨時(shí)間變化的曲線如圖6(b)所示，此時(shí)，控制器u的時(shí)序曲線如圖6(c)所示.

由仿真結(jié)果可知，加入控制器后，功角δ可以迅速同步于目標(biāo)函數(shù)r(t)并保持穩(wěn)定，誤差信號(hào)經(jīng)過短時(shí)間的振蕩后衰減到零，系統(tǒng)幾乎沒有抖振.

4 結(jié)論

本文針對(duì)含擾動(dòng)項(xiàng)的四階電力系統(tǒng)，利用Lyapunov指數(shù)譜及分叉圖研究了阻尼因子、機(jī)械功率及勵(lì)磁調(diào)節(jié)增益變化對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，其中，任意參數(shù)的微小變動(dòng)都可能導(dǎo)致該四階電力系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài).采用一種新的非線性光滑函數(shù)作為滑動(dòng)控制律進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行反演滑?？刂?，選取不同的函數(shù)方程作為控制目標(biāo)，實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果證明了本文控制方法的有效性.

圖5 目標(biāo)函數(shù)為r(t)=0的滑?？刂菩Ч麍DFig.5 Effect diagram of sliding mode control with objective function r(t)=0

圖6 目標(biāo)函數(shù)為r(t)=1.5-0.2cos t的滑?？刂菩Ч麍DFig.6 Effect diagram of sliding mode control with objective function r(t)=1.5-0.2cos t