逆向設(shè)計(jì)，讓教學(xué)直面學(xué)生的困惑

鄭海霞 張軍民

[摘要]整數(shù)除法和小數(shù)乘法是學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法的基礎(chǔ)。借助整數(shù)除法和小數(shù)乘法的算理引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行個(gè)體“創(chuàng)造”，再通過(guò)展示不同做法并溝通各種方法之問(wèn)的聯(lián)系，幫助學(xué)生理解和掌握小數(shù)除法的算理，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)化。

[關(guān)鍵詞]除法;算理;學(xué)情

[中圖分類號(hào)]G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1007-9068（2020）17-0023-03

一、我的疑惑

當(dāng)學(xué)生面對(duì)一道小數(shù)除以整數(shù)的計(jì)算題時(shí)，他們會(huì)采用什么樣的方法來(lái)解決呢？例如，學(xué)生面臨的問(wèn)題情境“3本糾錯(cuò)本9.84元，求每本糾錯(cuò)本的價(jià)格?！睍r(shí)，他們是否會(huì)借助人民幣來(lái)分一分呢？還是會(huì)像前面學(xué)習(xí)的乘法一樣，先把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，然后按照整數(shù)除法的方法來(lái)解決呢？如果直接轉(zhuǎn)化成整數(shù)來(lái)計(jì)算，算理是不是也可以直接遷移過(guò)來(lái)？

帶著這樣的疑惑，我研讀了教材和課程標(biāo)準(zhǔn)，并參考單元測(cè)試卷進(jìn)行了分析。

關(guān)于教材：青島版和人教版教材借助的是長(zhǎng)度單位，教材呈現(xiàn)的思路是：首先借助單位的轉(zhuǎn)化，即把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)然后按照整數(shù)除法的方法進(jìn)行計(jì)算，然后梳理出豎式并夯實(shí)算理;北師大版和蘇教版教材借助的是人民幣，教材呈現(xiàn)的思路是分錢(qián)的過(guò)程，即先分元，再分角，體現(xiàn)的是一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷分的過(guò)程，借助分的過(guò)程梳理出豎式，并夯實(shí)算理。下面為這四種版本教材關(guān)于這部分的內(nèi)容（圖1為人教版、圖2為青島版、圖3為北師大版、圖4為蘇教版）。

教師在教學(xué)過(guò)程中是否需要給學(xué)生提供道具，讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)的過(guò)程？分繩子、分錢(qián)？這樣會(huì)不會(huì)在很大程度上暗示了學(xué)生課堂研究的方向，束縛了學(xué)生的思考？借助分計(jì)量單位讓學(xué)生明確算理會(huì)不會(huì)只是表達(dá)了教師的想法，而不是多數(shù)學(xué)生自覺(jué)的意識(shí)和行為呢？對(duì)于被除數(shù)是小數(shù)的除法，學(xué)生受小數(shù)乘法算法的影響，最容易產(chǎn)生的想法是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)，所以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)多種算法的對(duì)比與聯(lián)想，明確算理，應(yīng)該是這節(jié)課的關(guān)鍵。

關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)：課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于數(shù)的運(yùn)算目標(biāo)中有兩條與小數(shù)除法有關(guān)。第5條：能分別進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）的加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過(guò)三步）;第8條：經(jīng)歷與他人交流各自算法的過(guò)程，并能表達(dá)自己的想法。

關(guān)于單元測(cè)試卷：我做了3套單元測(cè)試卷，從3套測(cè)試卷的測(cè)試內(nèi)容來(lái)看，本單元主要的測(cè)試點(diǎn)為：（1）算理、算法;（2）計(jì)算;（3）解決問(wèn)題（其中根據(jù)具體情境的估算題目又分為關(guān)于人民幣的四舍五入、去尾法和進(jìn)一法等）

二、學(xué)生的學(xué)情

為了解學(xué)生的真實(shí)心理和經(jīng)驗(yàn)，課前我對(duì)這一部分的內(nèi)容做了前測(cè)，測(cè)試題很簡(jiǎn)單（如圖5）：3本裝的糾錯(cuò)本需要9.84元，1本裝的糾錯(cuò)本需要4元，那買哪一本糾錯(cuò)本比較劃算？問(wèn)題一是請(qǐng)學(xué)生自己想辦法進(jìn)行比較，問(wèn)題二是讓學(xué)生說(shuō)明為什么這么做。

測(cè)試結(jié)果如下：

上表測(cè)試的時(shí)間是在學(xué)生學(xué)完小數(shù)乘法之后即將學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”單元之前，數(shù)據(jù)的可參考性比較高。從表中數(shù)據(jù)可知，面對(duì)小數(shù)除以整數(shù)這樣一個(gè)新的問(wèn)題，沒(méi)有學(xué)生想到要借助手里的人民幣去分一分，很多學(xué)生列出了豎式，還有一半以上的學(xué)生把小數(shù)轉(zhuǎn)化成了整數(shù)，然后根據(jù)商的性質(zhì)得出了正確的結(jié)果。這樣看來(lái)，當(dāng)學(xué)生遇到小數(shù)除以整數(shù)時(shí)，借助舊知進(jìn)行計(jì)算的人數(shù)所占比例還是比較高的。

為什么學(xué)生不借助人民幣真正地去分一分？學(xué)生心里到底在想什么？學(xué)生表示：因?yàn)閷W(xué)習(xí)小數(shù)乘法的時(shí)候，就是把小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)后再計(jì)算的;輔導(dǎo)班的老師就教過(guò);沒(méi)想到要分真的錢(qián)，可以在本子上畫(huà)小棒當(dāng)作錢(qián)，一元畫(huà)一捆，一角畫(huà)一根……不難看出，有的學(xué)生受了小數(shù)乘法的計(jì)算方法的影響，有的學(xué)生在輔導(dǎo)班提前接觸過(guò)，有的學(xué)生借助畫(huà)一畫(huà)把具體的錢(qián)抽象成小豎線來(lái)代替……這些都是學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論告訴我們：學(xué)習(xí)不是被動(dòng)接受信息刺激，而是學(xué)習(xí)者根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)背景，對(duì)外部信息進(jìn)行主動(dòng)的選擇、加工和處理，從而獲得自己的意義的過(guò)程。教師應(yīng)該考慮和利用學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)新課程的逆向設(shè)計(jì)的教學(xué)理念：以學(xué)定教。

于是，我不再糾結(jié)是否讓學(xué)生經(jīng)歷分的過(guò)程，把本節(jié)課研究的關(guān)鍵問(wèn)題放在“商的小數(shù)點(diǎn)為什么要點(diǎn)在這里”，即引導(dǎo)學(xué)生直接從計(jì)數(shù)單位的層面理解算理。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

總體思路：一開(kāi)始就把“如何確定小數(shù)點(diǎn)的位置”這個(gè)問(wèn)題拋給學(xué)生，以診斷學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，如果學(xué)生基本都能計(jì)算出結(jié)果，就用這個(gè)為題引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)明為什么要點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)為什么要點(diǎn)在這里。理想的預(yù)設(shè)：學(xué)生可能有兩種說(shuō)明：一是商的性質(zhì)（被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大幾倍，商要縮小到原來(lái)的幾分之一）;二是根據(jù)小數(shù)乘法的算理“幾個(gè)0.1乘幾得到的積就是幾個(gè)0.1”，得到幾個(gè)0.1除以幾得到的商就是幾個(gè)0.1。

1.初步探究，確立方向

師：3本裝的糾錯(cuò)本到底每本多少錢(qián)呢？能計(jì)算出來(lái)嗎？試著把你的想法寫(xiě)在白板上。

生1：9.84元=984分，984分÷3=328分，328分=3.28元。把元化成分來(lái)計(jì)算，984分除以3等于328分，再把328分化成3.28元。

生2：984÷3=328，9.84÷3=3.28。

師：先把9.84擴(kuò)大到原來(lái)的100倍，3不變，算出的商就比原來(lái)的商擴(kuò)大了100倍，需要再縮小到它的百分之一才能得到正確的商，也就得到了9.84÷3的商是3.28。

生3：根據(jù)小數(shù)的意義，9.84也就是984個(gè)百分之一，那么984個(gè)百分之一除以3得出的商應(yīng)該是328個(gè)百分之一，也就是3.28。

師：這幾種方法之間有什么聯(lián)系嗎？它們有什么共同點(diǎn)？

生4：這幾種算法都把9.84看成了984，都是先把被除數(shù)擴(kuò)大，然后商再縮小。

師：其實(shí)這些做法都是把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過(guò)的整數(shù)除法來(lái)計(jì)算的。數(shù)學(xué)上的這個(gè)轉(zhuǎn)化思想可真是厲害，它能幫我們利用以前學(xué)過(guò)的舊知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題。

2.再次探究，厘清算理

師：在計(jì)算這道小數(shù)除法時(shí)，如果不轉(zhuǎn)化成整數(shù)，直接用小數(shù)列豎式可不可以呢？一起來(lái)看這位同學(xué)的做法：

師：能說(shuō)一說(shuō)3.28是如何計(jì)算出來(lái)的嗎？

生1：我是用被除數(shù)每一位上的數(shù)字分別除以3，比如個(gè)位的9除以3等于3，就把3寫(xiě)在個(gè)位上，十分位的8除以3得到2，就把2寫(xiě)在十分位上，余下2再與百分位上的4合起來(lái)是24，這里的24是24個(gè)百位之一，24個(gè)百分之一除以3的商就要寫(xiě)在百分位上。

師：小數(shù)點(diǎn)為什么要點(diǎn)在這里？

生1：8個(gè)十分之一除以3得到的是2個(gè)十分之一，把小數(shù)點(diǎn)點(diǎn)在這里才能區(qū)分個(gè)位和十分位。

師：小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)有什么關(guān)系？

生2：商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)在同一個(gè)位置。

師：說(shuō)得真好！商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。

四、體會(huì)和收獲

通過(guò)這樣的一次經(jīng)歷，我深刻體會(huì)到了逆向設(shè)計(jì)的焦點(diǎn)就是要直面學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)困惑。杜威曾說(shuō)：“教育，即經(jīng)驗(yàn)連續(xù)不斷的改造。”在他看來(lái)，教育必須建立在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生拿捏不準(zhǔn)時(shí)，可以通過(guò)前測(cè)，診斷和確認(rèn)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，進(jìn)而把握教學(xué)的起點(diǎn)，確定教學(xué)的方向。

（責(zé)編：金鈴）