車輛主動懸架二次型最優(yōu)控制器權矩陣參數(shù)優(yōu)化

王鵬飛, 杜忠華, 馬 祥, 牛 坤

(南京理工大學機械工程學院，南京 210094)

懸架系統(tǒng)是汽車的重要組成部分，其主要任務是緩解由于路面不平整度引起的車身沖擊負荷[1]。汽車懸架系統(tǒng)影響著乘坐舒適性、操縱穩(wěn)定性和駕駛安全性。通過引入適當?shù)目刂剖侄蝸頊p少車輛的振動，提高汽車行駛的舒適性和穩(wěn)定性是當前車輛懸架發(fā)展的趨勢[2]。

中外學者已經(jīng)將各種成熟的控制技術應用于汽車主動懸架振動控制中去，如滑膜控制[3]時滯反饋控制[4]、非線性自適應控制[5]。已廣泛應用于多變量系統(tǒng)控制的線性二次型(LQR)最優(yōu)控制方法具有良好的控制效果[6]且方法簡單、便于實現(xiàn)，已經(jīng)在汽車、航空、機器人領域得到了廣泛的應用。LQR最優(yōu)控制中加權矩陣Q和R的選取影響著控制性能，但是加權矩陣Q和R的確定通常采用實驗試探的方法，具有一定的盲目性，缺乏理論指導[7]。由于粒子群有良好的全局搜索能力[8]，利用其優(yōu)點獲得最優(yōu)線性二次型調(diào)節(jié)器的Q和R能夠達到較好的控制效果，然而粒子群算法也存在易陷入局部最優(yōu)解以及搜索能力不均衡的問題，需要對其進行優(yōu)化改進。

文獻[9]對粒子群算法中的慣性因子進行階梯式調(diào)整，慣性權重根據(jù)迭代進行逐步調(diào)整，但優(yōu)化效果不夠明顯。文獻[10]提出了一種多粒子協(xié)作的方法，將優(yōu)化過程中的不同粒子進行交互協(xié)作，從而獲取各個粒子中有用的信息。文獻[11]提出了隨機選取一個粒子計算其適應度值，如果該值優(yōu)于當前粒子，則該隨機粒子作為學習粒子。文獻[10-11]都針對粒子進行調(diào)整，使增加種群信息的多樣性避免陷入局部最優(yōu)解但是過程過于煩瑣且易受外界環(huán)境的影響。

現(xiàn)提出一種引入動態(tài)慣性權重和禁忌搜索的粒子群優(yōu)化算法。為了平衡粒子在進化的過程中全局和局部搜索能力增加一種可以動態(tài)調(diào)整慣性權重的方式，使得每一個粒子的慣性權重都在隨著進化而調(diào)整，使群體朝著更優(yōu)的方向發(fā)展。針對粒子群算法在迭代后期存在的易陷入局部最優(yōu)解的問題，通過在迭代后期引入禁忌搜索跳出局部最優(yōu)解。因此，針對主動懸架的控制問題，建立1/4懸架模型，以車輛平穩(wěn)性和操作性為目標構造性能目標函數(shù)，并在其基礎上進行算法的仿真對比，對比分析改進方法的優(yōu)越性。

1 主動懸架數(shù)學建模

建立主動懸掛數(shù)學模型為振動特性和控制性能分析建立理論基礎。建立的1/4二自由度懸架模型如圖1所示。

根據(jù)汽車振動理論以及牛頓第二定律，建立微分方程描述懸架模型：

(1)

式(1)中：mt和mb分別為車身質(zhì)量和車輪質(zhì)量；kt和kb分別為懸架剛度和車輪剛度；c為懸架阻尼系數(shù)；u為懸架主動控制力；xr為路面不平度激勵；xt和xb分別為車身和車輪的垂直位移。

為便于分析，采用濾波白噪聲作為路面不平度激勵:

(2)

式(2)中：wt為高斯白噪聲；f0為下截止頻率；G0為路面不平度系數(shù)；v為車速。

(3)

2 控制器設計與優(yōu)化

2.1 LQR控制器設計

(4)

根據(jù)現(xiàn)代控制理論可知，最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制仍然是狀態(tài)的反饋函數(shù),而不是輸出的反饋函數(shù)。其中q1、q2、q3分別是車身垂向加速度、車身車輪動行程、車輪動變形的加權系數(shù);Q和R為加權系數(shù)矩陣，其中Qt=CTQC,N=CTQD,Rt=R+DTQD

采用變分法求解可得反饋增益矩陣為

K=-R-1BTP

(5)

矩陣P可以由Riccati方程得出：

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(6)

LQR控制器中Q和R的選取十分關鍵，其值的選取直接影響系統(tǒng)的性能，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。其中Q中需要確定三個未知參數(shù)，R需要確定一個未知參數(shù)，而每一個參數(shù)的選取都會影響到系統(tǒng)的性能，目前Q和R的選取大部分是依靠大量的實驗或者經(jīng)驗選取，不僅需要消耗大量人力而且難以得到最優(yōu)的結果。

2.2 粒子群算法優(yōu)化

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法是一種基于迭代的群體智能隨機搜索算法[13]，通過模擬種群中信息共享的行為在整個群體找到最優(yōu)的解。因其概念簡單、易于實現(xiàn)而備受關注。但傳統(tǒng)PSO算法存在易陷入局部最優(yōu)，不能保證全局收斂，以及慣性權重無法實時更新以適應不同的搜索需求的缺陷。針對PSO算法的不足，通過自適應更新慣性權重以及加入禁忌搜索來改進傳統(tǒng)PSO算法。

2.2.1 自適應動態(tài)慣性權重

在傳統(tǒng)PSO算法中,采用固定或者線性遞減的慣性權重無法自適應調(diào)整慣性權重，粒子群的全局搜索能力和局部搜索能力無法得到平衡。如果慣性權重設置過大則不利于后期的局部搜索，如果設置過小則對于前期達不到快速收斂的目的。而且在進化的過程中也需要考慮相應適應度值在慣性權重上的影響，對于進化過程中不同的適應度值應該給予充分的重視。針對以上討論，提出了基于迭代次數(shù)和適應度值的自適應動態(tài)慣性權重公式：

(7)

式(7)中：wmin和wmax分別表示慣性權重設定的最小值和最大值；favg表示粒子的平均適應度值；fmin表示粒子的最小的適應度值。當粒子的適應度值大于平均適應度值時慣性權重會增大以加快收斂速度，增加全局搜索能力，且根據(jù)目前適應度值與適應度值相比較來動態(tài)調(diào)整慣性權重的大小。

在傳統(tǒng)PSO算法中速度更新公式為

vi(t)=wvi(t-1)+C1ρ1[xbesti-xi(t)]+

C2ρ2[xgbesti-xi(t)]

(8)

式(8)中：w為慣性權重；C1和C2為學習因子；ρ1和ρ2為0～1的隨機數(shù)。由式(8)可知通過自適應動態(tài)慣性權重可以達到粒子速度自適應變化的目的，但是學習因子也在其中起到重要作用，學習因子(C1、C2)表示粒子的記憶和學習能力。在迭代的初始階段，粒子可以朝著不同的方向進行搜索，保證粒子具有多樣性，為了加快粒子的搜索速度進行粗尋優(yōu)需要使C1較大C2較?。辉诘笃陔A段，粒子的搜索空間縮小，其重心在全局最優(yōu)解，C1較小C2較大，保證了粒子群能夠精細的搜索。在傳統(tǒng)PSO參數(shù)中經(jīng)常選取C1=C2=2,這樣既不利于在前期進化中快速找到最優(yōu)解，又不利于在后期得到全局最優(yōu)解。因此需要動態(tài)調(diào)整C1和C2的值，使其在迭代的前后期中分別發(fā)揮其最優(yōu)作用。

(9)

式(9)中，C1f和C2f為C1和C2的初值，C1e和C2e為C1和C2的終值，S和Smax分別是當前迭代次數(shù)和最高迭代次數(shù)。

2.2.2 禁忌搜索優(yōu)化

禁忌搜索算法是一種亞啟發(fā)式隨機式搜索算法[14]，從一個初始可行解出發(fā)，選擇一系列特定搜索方向作為試探，選擇實現(xiàn)讓特定的目標函數(shù)變化最多的點。為了避免陷入局部最優(yōu)解，對已經(jīng)進行優(yōu)化過程進行記錄和選擇，指導下一步的搜索方向。通過設置禁忌表停止已經(jīng)進行過的搜索，再通過特赦規(guī)則來釋放禁忌表中優(yōu)秀的元素。

作為粒子群算法后期收斂的保障，以粒子的多樣性作為禁忌搜索執(zhí)行的入口指標。以下為禁忌搜索的入口條件：

(10)

式(10)中，N為粒子群個數(shù)，fi(x)為第i個粒子的適應度值，favg為粒子群的平均適應度值。

禁忌搜索的流程如下所示:

步驟1從執(zhí)行禁忌搜索的粒子領域里產(chǎn)生L個候選解。

步驟2判斷候選解集中的解是否符合特赦條件，若符合特赦條件則用該候選解替換該粒子個體最優(yōu)位置，同時替換最先進入禁忌表的對象和當前解，若不符合則進行下一步。

步驟3判斷候選解是否被禁忌，選擇候選解中未被禁忌的解替換最先存入的禁忌表的對象和當前解，若候選解中全部都是被禁忌狀態(tài)，則取禁忌表中所有對象的平均值替換個體最佳位置。

步驟4判斷禁忌搜索是否達到結束條件，如果達到則結束禁忌搜索，否則跳轉到步驟1。

2.2.3 適應度函數(shù)定義

適應度函數(shù)是粒子群算法的一個重要概念[15]。在粒子進化的過程中需要依靠適應度值來判斷當前位置的好壞，以選擇更好的個體。適應度函數(shù)的選擇直接影響最后的結果是否具有代表性。由于性能指標的單位及數(shù)量級不一致，因此將其除以相應的被動懸架性能指標值，構造的適應度函數(shù)f(x)為

(11)

X=(q1,q2,q3)

(12)

式(11)中：CJS、DXC、DBX分別代表車身垂直加速度、車身動位移、車輪動變形的均分方根值，CJSpas、DXCpas、DBXpas代表被動懸架的相應性能，優(yōu)化變量X為加權系數(shù)(q1,q2,q3),w1、w2、w3分別代表各個性能指標的權重值。綜合考慮到車輛的各個指標的重要性，取w1、w2、w3分別為0.5、0.3、0.2.

2.2.4 粒子群算法優(yōu)化過程

改進的粒子群算法通過自適應動態(tài)慣性權重調(diào)整來平衡粒子的全局和局部的搜索能力，通過引入禁忌搜索算法在局部搜索的優(yōu)勢，避免陷入局部最優(yōu)解。改進粒子群算法對參數(shù)尋優(yōu)的具體步驟如下：

步驟1初始化粒子種群規(guī)模，生成初始化速度，并計算初始粒子的適應值和全局最優(yōu)適應值。

步驟2根據(jù)適應度函數(shù)計算每個個體的適應度值，并更新個體最優(yōu)適應度值和全局最優(yōu)適應度值。

步驟3利用動態(tài)慣性權重更新粒子的位置和速度。

步驟4判斷當前迭代次數(shù)是否達到開始執(zhí)行禁忌搜索的次數(shù)，若達到則執(zhí)行禁忌搜索，若不滿足則跳轉到步驟2。

步驟5判斷當前迭代次數(shù)是否達到最大迭代次數(shù)，若達到則輸出禁忌搜索得到的全局最優(yōu)解，結束尋優(yōu)。若不滿足則跳轉到步驟2。

具體的改進流程如圖2所示。

圖2 優(yōu)化流程圖

3 仿真分析

3.1 仿真模型搭建

以第二節(jié)建立的數(shù)學模型為基礎，在MATLAB/simulink中搭建了如圖3所示的1/4二自由度主動懸架仿真模型。

3.2 仿真參數(shù)設置

車輛主動懸架參數(shù)如表1所示。

圖3 懸架仿真模型

表1 主動懸架參數(shù)值

把設計的主動懸掛與被動懸架和傳統(tǒng)LQR控制器作對比，對經(jīng)過改進后的LQR振動控制性能對比分析。設置粒子種群規(guī)模為50，最大迭代次數(shù)為100，學習因子C1和C2的動態(tài)調(diào)整范圍分別為[1.75,2.55],[1.05,2.75],慣性權重w為[1.05,2.75]。搜索判別量q取第一次迭代后σ2/3,當σ2

3.3 仿真對比分析

根據(jù)車輛的行駛情況選取15 m/s的速度在C級路面行駛工況，在相同結構和路面激勵下，對傳統(tǒng)LQR控制器和粒子群算法優(yōu)化LQR控制器進行模型的仿真。其中傳統(tǒng)LQR控制器的權重參數(shù)依靠經(jīng)驗選取。兩種方法的仿真結果對比曲線如圖4～圖6所示。

圖4 改進粒子群算法優(yōu)化前后LQR控制器車身垂直加速度對比

圖5 改進粒子群算法優(yōu)化前后LQR控制器車身動行程對比

圖6 改進粒子群算法優(yōu)化前后LQR控制器輪胎動載荷對比

為了進一步驗證改進粒子群算法優(yōu)化的LQR控制器與傳統(tǒng)LQR控制器在控制性能上面的區(qū)別。表2給出了在特定工況下，車身垂向加速度，車身車輪動行程和輪胎動載荷在兩種控制器下的仿真對比結果，從表2中可以看出在相同的路面激勵情況下，采用粒子群算法改進的LQR控制器在車身垂向加速度，車身動行程，和車輪動載荷都產(chǎn)生了下降，分別為-6.39%、-2.96%、-5.92%?？梢钥闯鲭m然經(jīng)過LQR控制器控制的主動懸架相較于被動懸架在各項指標上均有提升但是相對于經(jīng)過粒子群算法改進的主動懸架還有進一步的提升空間，且LQR控制器的權矩陣參數(shù)是依靠經(jīng)驗選取，如果選取不得當則控制效果還會進一步惡化。因此可以證明經(jīng)過粒子群算法對于LQR控制器可以達到更優(yōu)的效果。

表2 性能指標均方根值

4 結論

針對主動懸架LQR控制器中權重參數(shù)選取的問題，采用改進粒子群優(yōu)化的算法對主動懸架LQR控制器進行設計。通過引入動態(tài)慣性權重和禁忌搜索算法，使粒子群算法的全局和局部能力得到平衡，并在迭代后期通過禁忌搜索避免陷入局部最優(yōu)解。在MATLAB/simulink中建立1/4主動懸架模型進行仿真分析，對粒子群優(yōu)化的LQR控制器方法進行驗證。結果表明經(jīng)過改進后的LQR控制器相比與通過經(jīng)驗選取的傳統(tǒng)LQR控制器能夠更好地改善汽車的舒適性和操作穩(wěn)定性。