火炮控制區(qū)域問題的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與應(yīng)用

韓佳佳 陶宗明 張 輝 史 博 陳 驍

(中國(guó)人民解放軍陸軍炮兵防空兵學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 合肥 230031)

火炮是利用機(jī)械能、化學(xué)能等能量拋射炮彈，由炮身和炮架兩大部分組成的射擊武器[1]。圖1為火炮戰(zhàn)場(chǎng)作戰(zhàn)圖。戰(zhàn)斗中，首要問題就是求出火炮的火力控制區(qū)域，并將其標(biāo)繪在作戰(zhàn)文書上[2]。當(dāng)目標(biāo)進(jìn)入火炮控制區(qū)域時(shí)，指揮員要及時(shí)下達(dá)射擊任務(wù)，保障火炮在控制區(qū)域內(nèi)擊中目標(biāo)。

1 火炮控制區(qū)域問題分析

假設(shè)空氣阻力為零，火炮發(fā)射的炮彈質(zhì)心在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡稱為真空彈道[3]。此時(shí)炮彈只受重力作用，在空中的運(yùn)動(dòng)是一種拋體運(yùn)動(dòng)，炮彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡取決于初速度v0與發(fā)射角α。真空彈道雖不存在，但火炮在空氣較為稀薄的高原地帶射擊，或者在空氣稠密的地面附近以較小彈速射擊時(shí)，可以忽略空氣阻力的影響，應(yīng)用真空彈道模型進(jìn)行分析。

圖1 火炮戰(zhàn)場(chǎng)作戰(zhàn)圖

真空彈道中，由于火炮射擊時(shí)初速度和發(fā)射角的不同，在豎直平面上，炮彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡是形狀各異的拋物線。對(duì)于一門火炮，炮彈的初速度v0為定值的情況下，發(fā)射角α變化時(shí)所有可能的彈道曲線組成了一個(gè)曲線簇。圖2為初速度v0=1000m/s的火炮以不同發(fā)射角發(fā)射炮彈時(shí)，彈道曲線在二維平面內(nèi)形成的曲線簇。在曲線簇的邊界，平面內(nèi)存在一條每一點(diǎn)都與其中拋物線上的點(diǎn)相切的曲線，稱為該曲線簇的包絡(luò)線?；鹋谏鋼魰r(shí)的控制區(qū)域就是該包絡(luò)線旋轉(zhuǎn)曲面的覆蓋區(qū)域。

圖2 曲線簇的包絡(luò)線

2 分析與求解

火炮射擊時(shí)，初速度為v0，發(fā)射角為α的炮彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為

(1)

在火炮結(jié)構(gòu)與炮彈類型不變的情況下，火炮發(fā)射炮彈的初速度v0為固定值。為便于分析炮彈質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射角α之間的關(guān)系，根據(jù)量綱分析方法[4]，可以將式(1)寫為無(wú)量綱形式。取長(zhǎng)度L和時(shí)間T為基本量，軌跡方程中各參量的量綱分別為

(2)

(3)

將上式代入炮彈質(zhì)心的軌跡方程(1)，可得方程的無(wú)量綱形式

(4)

真空彈道中以不同發(fā)射角發(fā)射的炮彈質(zhì)心軌跡形成了一簇曲線。包絡(luò)線中的每一點(diǎn)都在其中一條曲線上，因此包絡(luò)線方程滿足式(4)。并且對(duì)于控制區(qū)域內(nèi)水平方向上的某一固定位置x，以不同發(fā)射角α發(fā)射的炮彈質(zhì)心軌跡經(jīng)過豎直方向的不同高度y，包絡(luò)線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)炮彈質(zhì)心軌跡的最大高度。根據(jù)極值定理[5]：

(5)

由上式可得最大高度對(duì)應(yīng)的發(fā)射角α：

(6)

將上式代入式(4)，消去參數(shù)α，得到方程：

(7)

式(7)表示一條開口向下的拋物線。曲線簇中，火炮以任意發(fā)射角α發(fā)射的炮彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡與該拋物線的交點(diǎn)可由以下方程組求得：

(8)

聯(lián)立以上方程，得到拋物線與炮彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡唯一交點(diǎn)為

(9)

炮彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡方程(4)中該點(diǎn)處的斜率為

(10)

拋物線式(7)中該點(diǎn)處的斜率為

(11)

因此該拋物線與任意發(fā)射角α發(fā)射的炮彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡相切。拋物線方程(7)為曲線簇的包絡(luò)線方程。

以火炮位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，彈道曲線所在的平面為xOy面，炮彈飛行過程中的水平位置和豎直位置分別為x軸和y軸。根據(jù)方程(13)，二維平面內(nèi)火炮的控制區(qū)域是一個(gè)開口向下的拋物線，如圖3(a)所示。三維空間中的火炮控制區(qū)域?yàn)樵摪j(luò)線的旋轉(zhuǎn)曲面，其方程的無(wú)量綱形式為

(12)

在三維空間中的圖形如圖3(b)所示。

圖3 火炮控制區(qū)域(a) 二維平面火炮控制區(qū)域; (b) 三維空間火炮控制區(qū)域

3 火炮控制區(qū)域問題在軍事上的應(yīng)用

3.1 間接瞄準(zhǔn)射擊發(fā)射角的范圍

間接瞄準(zhǔn)射擊也稱間瞄射擊，是指火炮不直接瞄準(zhǔn)目標(biāo)，而是用瞄準(zhǔn)裝置賦予火炮射向和射角所進(jìn)行的射擊[6]。在火炮不能通視目標(biāo)時(shí)，主要采用間瞄射擊。此時(shí)炮陣地可以選擇在障礙物后面，便于隱蔽，可達(dá)成火力突然性。

(13)

圖4 火炮與障礙物的最大距離

當(dāng)火炮與障礙物的距離xs

(14)

上式為發(fā)射角α滿足的方程，可以求出：

火炮射擊時(shí)，發(fā)射角在αmin與αmax之間的炮彈都能夠越過障礙物。兩發(fā)射角對(duì)應(yīng)的彈道曲線在障礙物后側(cè)的交叉區(qū)域?yàn)殚g瞄射擊時(shí)的火炮控制區(qū)域，如圖5所示。

圖5 火炮間瞄射擊控制區(qū)域

3.2 山坡或洼地射擊的最大射程與發(fā)射角

在火炮射擊過程中，如果前方有一傾角為θ的山坡(θ為正值)或洼地(θ為負(fù)值)。為保證炮彈擊中目標(biāo)，我方首先需要確定火炮的最大射程及最大射程所對(duì)應(yīng)的發(fā)射角。

該問題可以用拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程求解，但過程比較復(fù)雜[7]，使用包絡(luò)線方程能夠簡(jiǎn)化求解過程。二維平面內(nèi)，火炮的最大射程為包絡(luò)線與山坡或洼地直線的交點(diǎn)，根據(jù)下列關(guān)系式：

(17)

可以求出火炮最大射程所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)(x,y)為

其中，x是火炮射擊目標(biāo)的最遠(yuǎn)距離；y是目標(biāo)的縱坐標(biāo)，如圖6與圖7所示。由于該點(diǎn)在包絡(luò)線

圖6 火炮面向山坡射擊最大射程與發(fā)射角

圖7 火炮面向洼地射擊最大射程與發(fā)射角

上，將式(18)代入式(11)，可得最大射程所對(duì)應(yīng)的發(fā)射角：

(20)

4 結(jié)語(yǔ)

在真空彈道中，火炮以不同發(fā)射角發(fā)射的炮彈都是作拋體運(yùn)動(dòng)后到達(dá)目標(biāo)，火炮火力能夠覆蓋的范圍為火炮控制區(qū)域。本文在對(duì)火炮不同發(fā)射角的彈道曲線進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，采用包絡(luò)線的方法求解出火炮的控制區(qū)域，并利用數(shù)值計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行了演示。這一問題不僅為彈道學(xué)理論提供了參考，而且在軍事上也有一定的應(yīng)用價(jià)值。