具有不變直線的非Hamilton系統(tǒng)的極限環(huán)分支

張二麗，邢玉清

(1. 鄭州財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息工程學(xué)院,河南 鄭州 450044;2. 河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州 450002)

實(shí)平面微分系統(tǒng)定性理論的一個(gè)主要問題是確定它們極限環(huán)的個(gè)數(shù), 其中通過擾動(dòng)具有中心的微分系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)是一種經(jīng)典方式。一般來說, 研究從一個(gè)微分系統(tǒng)的中心周期環(huán)域分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)有4種方法: Poincaré回歸映射法[1]、 Poincaré-Pontrjagin-Melnikov法或Abelian積分法、逆積分因子法[2]和平均法[3]，其中前2種方法在平面上是等價(jià)的[4]。在一定條件下平均法與Abelian積分法也是等價(jià)的[5]。平均法給出了非自治周期微分系統(tǒng)的解和其平均微分系統(tǒng)的解之間的定量關(guān)系, 平均微分系統(tǒng)是一個(gè)自治微分系統(tǒng), 研究起來較簡單, 而且一階平均微分系統(tǒng)的雙曲平衡點(diǎn)的個(gè)數(shù)給出相應(yīng)非自治周期微分系統(tǒng)極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)的一個(gè)下界。當(dāng)一階平均函數(shù)等于零, 極限環(huán)的個(gè)數(shù)依賴于二階平均函數(shù), 依次類推[6]。更多相關(guān)的研究可參看文獻(xiàn)[7-11]。

文獻(xiàn)[2]研究了如下形式的擾動(dòng)可積微分系統(tǒng)

(1)

式中h(x,y)=0是R2上使得h(x,y)≠0的圓錐曲線。當(dāng)f(x,y)和g(x,y)都是3次多項(xiàng)式時(shí), 他們應(yīng)用一階平均法得到了系統(tǒng)(1)的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)。當(dāng)f(x,y)和g(x,y)是任意n次實(shí)多項(xiàng)式時(shí), 應(yīng)用一階平均法：文獻(xiàn)[12]研究了h(x,y)=x+1;文獻(xiàn)[13]研究了h(x,y)=(x+a)(y+b), 其中ab≠0; 文獻(xiàn)[14]研究了h(x,y)=(x+a)(y+b)(x+c), 其中abc≠0; 文獻(xiàn)[15]研究了h(x,y)=y2+ax2+bx+c, 其中c≠0。應(yīng)用二階平均法, 文獻(xiàn)[16]研究了h(x,y)=(a1x+a0)(b1y+b0), 其中aibi≠0(i=1,2)。

本文研究如下擾動(dòng)可積微分系統(tǒng)

(2)

式中0<|ε|?1,

(3)

易知, 當(dāng)ε=0時(shí), 系統(tǒng)(3)有首次積分H(x,y)=x2+y2, 原點(diǎn)是該系統(tǒng)的一個(gè)中心, 且該系統(tǒng)有一對不變直線x=±1。本文主要結(jié)果如下:

定理1當(dāng)0<|ε|?1時(shí), 系統(tǒng)(2)恰好存在n個(gè)極限環(huán)。

1 平均法

本章介紹微分方程的平均法, 詳見文獻(xiàn)[17]。

定理2考慮如下微分方程的初值問題

(4)

其中F0(x,t)和G0(x,t,ε)是關(guān)于t的T-周期函數(shù),x,x0∈U,T是不依賴于ε的常數(shù),U是R中的開區(qū)間。定義平均函數(shù)

再考慮平均方程的初值問題

(5)

注1 由定理2可知, 如果方程(4)滿足定理中的條件, 則平均函數(shù)f 0(y)的每個(gè)簡單零點(diǎn)對應(yīng)方程(4)的一個(gè)極限環(huán)，所以計(jì)算出平均函數(shù)f 0(y)至關(guān)重要。

2 平均函數(shù)

本章將計(jì)算平均函數(shù)的具體表達(dá)式。令

x=rcosθ,y=rsinθ,r∈(0,1),

則式(2)可化為

所以

(6)

其中

容易驗(yàn)證, 方程(6)滿足定理2中的條件。根據(jù)定理2, 與方程(6)相對應(yīng)的平均函數(shù)為

(7)

下面化簡平均函數(shù)f0(r)。由式(3)可得

(8)

其中λi,j=ai-1,j+bi,j-1, 這里假設(shè)λ0,0=a-1,j=bi,-1=0。因?yàn)閍i,j和bi,j是可以任意選取的, 所以λi,j也是可以任意選取的。為了方便, 定義

(9)

易知, 當(dāng)k是奇數(shù)時(shí),M(k)=0; 當(dāng)k是偶數(shù)時(shí),M(k)≠0，且M(0)=1。

引理1下列關(guān)系式成立：

①rI0,j(r)=M(j-1)-I0,j-1(r);

③rJi,j+1(r)=Ii,j(r)-Ji,j(r);

由①知, 當(dāng)j=1,2時(shí), ⑤成立。假設(shè)當(dāng)j=l時(shí), ⑤成立，則當(dāng)j=l+1時(shí), 由①和②可得

rl+1J0,l+1(r)=rl[I0,l(r)-J0,l(r)]=

所以當(dāng)j=l+1時(shí)⑤成立。證畢。

注2 令F(r)=rf 0(r), 則F(r)和f 0(r)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。所以下面求F(r)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。

對整數(shù)n，用[n]表示不超過n的最大整數(shù)。

引理2函數(shù)F(r)可以表示為

(10)

式中：

證明由式(9)、(10)和引理1可得

(11)

可得

I0,0(r)=(1-r2)J0,0(r)。

(12)

把式(12)代入式(11), 并注意到當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)M(k)=0, 即可得式(10)成立。證畢。

注3 由式(10)可知, β0=-α0。

證明如果n是奇數(shù), 由式(10)可得

如果n是偶數(shù), 可類似地證明。證畢。

3 主要結(jié)果的證明

為了證明本文定理1, 還需要下面引理。

引理5對于系統(tǒng)(2)，如下結(jié)論成立：

(13)

(14)

(15)

類似地可以證明結(jié)論②成立。證畢。

下面證明定理1。

由式(10)可知, 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),

(16)

令ξ=r2, 則式(16)變?yōu)?/p>

(17)

即可得定理1成立。證畢。