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    非單調(diào)變分不等式問題的雙投影算法研究

    2020-06-11 00:51:06徐紫文
    關(guān)鍵詞:變分單調(diào)投影

    徐紫文

    (四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,四川 成都 610068)

    考慮經(jīng)典變分不等式問題:求x*∈C,使得對任意x∈C,都有以下不等式成立,

    〈F(x*),x-x*〉≥0。

    (1)

    式中F:Rn→Rn是連續(xù)映射,C是Rn上的一個非空閉凸子集,用SOL(C,F(xiàn))表示變分不等式VI(C,F(xiàn))的解集,簡記為S,〈·,·〉是歐氏內(nèi)積。變分不等式問題是優(yōu)化理論中重要分支,并在工業(yè)、經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)、網(wǎng)絡(luò)運(yùn)輸及交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域都有極其重要的地位[1-4]。投影算法作為求解變分不等式問題的重要算法之一,吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注和研究[5-7]。最經(jīng)典的變分不等式在20世紀(jì)60年代由Hartman-Stampacchia[8]提出。投影算法最初源于Goldstein[9]和Levitin-Polyak[10],在映射F是強(qiáng)單調(diào)和Lipschtz連續(xù)的條件下,建立了算法的全局收斂性。 該投影算法的假設(shè)條件太強(qiáng),大大地限制了其適用范圍。隨后Korpelevich[11]提出了外梯度算法,此算法將映射F是強(qiáng)單調(diào)削弱為偽單調(diào),其算法在每次迭代過程中都需計算2次投影。此算法雖然將強(qiáng)單調(diào)假設(shè)條件削弱到了偽單調(diào),但由于其Lipschtz連續(xù)的條件依然很強(qiáng),仍然存在很大的局限性。1997年Iusem[12]引入Armijo-type線性搜索, 將Lipschtz連續(xù)條件削弱為連續(xù),詳細(xì)發(fā)展過程與具體情況見文獻(xiàn)[13-14]。該方法仍然對映射F單調(diào)性有所要求,使其在實際應(yīng)用中仍有局限。最近,在文獻(xiàn)[16]中,Ye M L和He Y R僅在其對偶變分不等式有解的條件下,提出一類改進(jìn)的新雙投影算法, 該算法不假設(shè)任何單調(diào)性條件,大大擴(kuò)大了其適用范圍。受其啟發(fā),本文通過構(gòu)造投影算子的一個新的投影區(qū)域,提出一種求解非單調(diào)變分不等式的改進(jìn)的雙投影算法。 數(shù)值實驗表明新的算法有效,比文獻(xiàn)[16]中的算法收斂更快。

    本文的內(nèi)容安排如下:第1章回顧一些基本定義與基本結(jié)論;第2章提出本文算法;第3章給出本文算法的全局收斂性的相關(guān)證明;第4章用數(shù)值實驗來檢驗算法的有效性。

    1 預(yù)備知識

    先回顧一些概念和結(jié)論,以助于后面的證明。本文后面‖·‖均指歐氏范數(shù)。

    定義1變分不等式問題(1)的對偶變分不等式為:求x*∈C,使得對所有的x∈C都滿足

    〈F(x),x-x*〉≥0。

    (2)

    式中C是Rn的一個非空閉凸集。記問題(2)及其解集分別為DVIP(C,F(xiàn))和SD。

    引理1[15]x*∈SOL(C,F(xiàn))?‖rμ(x*)‖=0,其中μ>0。

    引理2[16]若F是連續(xù)的且C是非空閉凸集,則SD?S。

    引理3[17]設(shè)C?Rn是一個非空閉凸集,x∈Rn,以下不等式成立:

    〈x-PC(x),y-PC(x)〉≤0,?y∈C。

    定義3映射F:C?Rn→Rn,任給x,y∈C,ξ>0,L>0,若

    ① 〈F(y)-F(x),y-x〉≥ξ‖y-x‖2,則稱F在C上是強(qiáng)單調(diào)的,ξ是F在C上的強(qiáng)單調(diào)系數(shù);

    ② 〈F(y)-F(x),y-x〉≥0,則稱F在C上是單調(diào)的;

    ③ 〈F(x),y-x〉≥0?〈F(y),y-x〉≥0,則稱F在C上是偽單調(diào)的;

    ④ ‖F(xiàn)(y)-F(x)‖≤L‖y-x‖,則稱F在C上是Lipschtz連續(xù)的,L是F在C上的Lipschtz常數(shù)。

    引理4[18]若x∈C,μ>0,則〈F(xk),rμ(xk)〉≥u-1‖rμ(xk)‖2。

    引理5[18]設(shè)C?Rn是一個非空閉凸集,T是Rn上的實值函數(shù),記H:={x∈C|T(x)≤0}。若H非空并且T在C上θ-Lipschitz連續(xù)(θ>0),則對任意x∈C,以下不等式成立:dist(x,H)≥θ-1max{0,T(x)}。

    2 改進(jìn)的雙投影算法

    算法1改進(jìn)的雙投影算法。

    步驟0基本參數(shù)設(shè)置:設(shè)σ>0,μ∈(0,σ-1),γ∈(0,1)。取x0∈C為初始點(diǎn)。計算

    zk=PC(xk-μF(xk))。

    步驟1計算rμ(xk)=xk-zk。若rμ(xk)=0,則停止;否則,轉(zhuǎn)到下一步。

    步驟2令mk為使得式(3)成立的最小正整數(shù)m,使

    〈F(xk)-F(xk-γmrμ(xk)),rμ(xk)〉≤σ‖rμ(xk)‖2

    (3)

    成立。計算ηk=γmk,yk=xk-ηkrμ(xk),并轉(zhuǎn)到下一步。

    (4)

    在以后的所有分析中,我們總假設(shè)以下2個條件成立:

    (A1)F:Rn→Rn是連續(xù)的; (A2)SD≠?。

    下面說明算法是有意義的。

    命題1對每一個k∈N,總存在一個有限的非負(fù)整數(shù)mk使步驟2中的不等式成立。

    證明若步驟2中的不等式不總是成立,則存在某個k0∈N使得對所有非負(fù)整數(shù)m都有式(5)成立:

    〈F(xk0)-F(xk0-γmrμ(xk0)),rμ(xk0)〉>σ‖rμ(xk0)‖2。

    (5)

    對式(5)左端,當(dāng)m→∞時,有γm→0,從而(xk0-γmrμ(xk0))→xk0。由條件(A1)和內(nèi)積的連續(xù)性可得〈F(xk0)-F(xk0-γmrμ(xk0)),rμ(xk0)〉→0,即0≥σ‖rμ(xk0)‖2。又因為σ>0,故只有rμ(xk0)=0,與步驟1中rμ(xk0)≠0矛盾。

    (6)

    (7)

    其中,第1個不等式由步驟2得到,第2個不等式由引理4得到。

    另一方面,任取x*∈SD, 有

    〈F(yk),yk-x*〉≥0, ?yk∈C。

    (8)

    故有

    (9)

    ‖rμ(xk)‖2-μ〈F(xk),rμ(xk)〉+〈F(yk),rμ(xk)〉≥

    ‖rμ(xk)‖2-μ〈F(xk),rμ(xk)〉+〈F(xk),rμ(xk)〉-σ‖rμ(xk)‖2=

    (1-σ)‖rμ(xk)‖2+(1-μ) 〈F(xk),rμ(xk)〉≥

    (1-σ)‖rμ(xk)‖2+(1-μ)μ-1‖rμ(xk)‖2=

    (10)

    〈xk-zk,x*-xk〉=〈xk-μF(xk)-zk,x*-zk〉+〈μF(xk),x*-xk〉+

    〈μF(xk)-rμ(xk),rμ(xk)〉≤

    〈μF(xk)-rμ(xk),rμ(xk)〉。

    (11)

    (12)

    故目標(biāo)不等式可由式(11)與式(12)相加,再整理得到

    (13)

    進(jìn)一步,由式(13)得

    (14)

    命題3若SD≠?,則步驟3一定成立。

    3 收斂性分析

    在條件(A1)和(A2)成立的情況下,若序列{xk}是由算法1所產(chǎn)生的有限序列,則存在k0∈N,使得rμ(xk0)=0,故xk0為變分不等式(1)的一個解,否則產(chǎn)生的序列為無窮序列。接下來的討論中均假設(shè)序列{xk}是由算法1所產(chǎn)生的無窮序列。

    證明由于xk+1=PCk(xk),則,

    (15)

    即,

    (16)

    (17)

    由F(x)和投影算子的連續(xù)性可得序列{zk}有界,進(jìn)一步序列{yk}和序列{rμ(xk)}有界。

    ζ‖x-y‖<‖〈F(yk),x-yk〉-〈F(yk),y-yk〉‖=
    ‖〈F(yk),x-y〉‖≤‖F(xiàn)(yk)‖‖x-y‖。

    (18)

    但‖F(xiàn)(yk)‖>ζ與序列{yk}有界矛盾。

    定理2若SD≠?,則由算法1所產(chǎn)生的無窮序列{xk}收斂到變分不等式(1)的一個解。

    證明根據(jù)Ck的定義,可得

    (19)

    由式(17)得

    (20)

    由引理5、命題4、定理1和式(7)知

    (21)

    接下來分2種情況討論:

    〈F(xk)-F(xk-γmk-1rμ(xk)),rμ(xk)}>σ‖rμ(xk)‖2。

    (22)

    由F(x)和rμ(x)的連續(xù)性,可令式(22)k→∞,得

    (23)

    4 數(shù)值實驗

    本章用2個數(shù)值實驗來測試算法1,并將其與參考文獻(xiàn)[16]的算法進(jìn)行比較。 使用MATLAB版本7.1.0.246(R14)Pack3,其中包含優(yōu)化工具箱3.0版本和惠普筆記本(CPU:intel i5-4200M)。 本文將以文獻(xiàn)[16]中2個典型例子來說明算法的有效性。選取10-4作為停機(jī)準(zhǔn)則,即當(dāng)‖r(x)‖≤10-4時,程序終止。參數(shù)均來自于算法1且某些參數(shù)的選取與文獻(xiàn)[16]一樣,即仍選取σ=0.99,γ=0.4,另外μ=1。本文參數(shù)μ的其他取值結(jié)果以及當(dāng)空間維數(shù)較高時的解,為了方便,將其省略。用以下2個典型例子說明算法1的有效性。例1是一個擬單調(diào)變分不等式的推廣,例2是一個仿射變分不等式。

    例1設(shè)變分不等式(1)中C=[-1,1],F(xiàn)(x)=x2。 選取不同的初始點(diǎn), 對算法1進(jìn)行測試,結(jié)果如表1。

    表1 算法1測試-1

    例2令變分不等式(1)中C=[0,1]n,F(xiàn)(x)=Mx+d,其中

    選取初始點(diǎn)x0=(1,1,…,1)T,然后分別在不同的維數(shù)下進(jìn)行試驗,結(jié)果見表2。

    表2 算法1測試-2

    上面2個數(shù)值實驗不僅表明算法1是有效的,而且表明對某些參數(shù),算法1比文獻(xiàn)[16]中的算法收斂更快。

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