下行床內(nèi)Kutta-Joukowski橫向力與顆粒濃度徑向分布

趙亞飛, 范怡平, 呂 涵, 王康松

(中國石油大學(xué)(北京) 機(jī)械與儲(chǔ)運(yùn)工程學(xué)院，北京 102249)

1 前 言

氣固并流下行床是當(dāng)代流態(tài)化技術(shù)中相對(duì)活躍的研究領(lǐng)域之一，與傳統(tǒng)的氣固并流上行提升管相比具有諸多優(yōu)勢(shì)[1-2]。顆粒濃度沿徑向的分布是下行床氣固兩相流動(dòng)特性的重要參數(shù)，許多研究者對(duì)此進(jìn)行了研究[3-6]。

與下行床類似，氣固并流上行循環(huán)流化床提升管內(nèi)顆粒濃度存在更為顯著的徑向分布不均現(xiàn)象。但是對(duì)于這種不均勻結(jié)構(gòu)的成因，大多研究只是定性描述現(xiàn)象[7]，即使嘗試進(jìn)行理論解釋[8]，也并未給出有說服力的定量分析。本文認(rèn)為，無論是下行床還是提升管，其內(nèi)顆粒濃度徑向不均勻分布顯然與顆粒(群)受到的沿徑向的某個(gè)橫向作用力(或合力)有關(guān)——正是該作用力(或合力)的存在，“阻止”了濃度梯度的擴(kuò)散。因此，有必要從顆粒(群)受力出發(fā)，為下行床徑向分布不均勻結(jié)構(gòu)的成因提出更充分的解釋。

李晨[9]在研究中計(jì)算得到固體顆粒所受到幾個(gè)力的數(shù)量級(jí)，因此本文認(rèn)為：下行床內(nèi)顆粒所受到的與流動(dòng)方向垂直的橫向力主要有熱泳力、貝賽特力、馬格努斯力和薩夫曼力。周濤等[10]發(fā)現(xiàn)溫度梯度較大時(shí)，顆粒會(huì)在熱泳力作用下發(fā)生熱泳沉積。而冷模實(shí)驗(yàn)中溫度梯度基本為零，但是顆粒濃度的徑向分布依然不均勻。因此，可以斷定熱泳力不是導(dǎo)致顆粒濃度徑向分布不均勻的主要原因。貝賽特力與固體和流體之間的相對(duì)加速度有關(guān)[11]，而顆粒的實(shí)際加減速方向往往很難預(yù)測(cè)，因此貝賽特力也不是顆粒濃度徑向分布不均勻的主要原因。黃社華等[12]的研究表明薩夫曼力在主流區(qū)域的作用很小一般可以忽略，而只在邊界層區(qū)域內(nèi)加以考慮。因此在本文中，薩夫曼力不適用于分析整個(gè)床層的顆粒受力情況。

馬格努斯力與顆粒旋轉(zhuǎn)有關(guān)[13]，有實(shí)驗(yàn)研究[14]證明床內(nèi)顆粒是高速旋轉(zhuǎn)的，數(shù)值模擬[15-16]也發(fā)現(xiàn)當(dāng)考慮顆粒旋轉(zhuǎn)作用后，床內(nèi)更容易形成非均勻流動(dòng)結(jié)構(gòu)。但很難想象在下行床中某一個(gè)區(qū)域內(nèi)所有顆粒都朝一個(gè)方向旋轉(zhuǎn)，因此馬格努斯力不應(yīng)是顆粒濃度徑向分布不均勻的主要原因。

FAN等[13]、李晨等[17]從顆粒群受力的角度分析了提升管內(nèi)顆粒濃度的徑向分布；但對(duì)于徑向濃度分布更加復(fù)雜的下行床——幾乎沒有相關(guān)研究討論其成因。本文將空氣動(dòng)力學(xué)的理論和場(chǎng)論“移植”到兩相流中，引入Kutta-Joukowski橫向力解釋、量化下行床內(nèi)顆粒濃度徑向不均勻分布形成的原因。通過分析他人實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中所給出的下行床內(nèi)顆粒的速度、濃度徑向分布，確定了不同操作條件下，Kutta-Joukowski力對(duì)顆粒濃度徑向分布的影響。

2 理論分析

根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)[18]，氣固兩相流場(chǎng)中Kutta-Joukowski力可以表示為

式中：vp,z-vg,z為該區(qū)域內(nèi)顆粒速度和氣相速度的矢量差，Г為速度環(huán)量，這是產(chǎn)生Kutta-Joukowski力的兩個(gè)要素。

根據(jù)斯托克斯定理[18]，在任一由封閉曲線包圍的單連通區(qū)域內(nèi)，如果流體的密度為常數(shù)，沿曲線的速度環(huán)量Г等于這個(gè)區(qū)域內(nèi)的渦強(qiáng)度I，即

而渦強(qiáng)度和速度旋度的關(guān)系為

對(duì)于下行床的正交坐標(biāo)系而言，取其Z軸正方向向下，故速度旋度Ω、渦強(qiáng)度I和速度環(huán)量Г沿順時(shí)針方向?yàn)檎?，逆時(shí)針方向?yàn)樨?fù)。

另一方面，速度旋度是速度梯度的函數(shù)，可由式(4)計(jì)算：

圖1 下行床內(nèi)極坐標(biāo)微元體 Fig.1 Scheme of micro-unit in polar coordinate

對(duì)于任意微小封閉單連域內(nèi)的顆粒群，Kutta-Joukowski力產(chǎn)生的2個(gè)要素同時(shí)存在，即

下行床的形狀多為圓柱體，因此本文取柱坐標(biāo)系的一個(gè)微元體如圖1所示。

Kutta-Joukowski橫向力的作用位置為微元體中間截面ABCD，作用對(duì)象為微元體空間內(nèi)所包含的顆粒群；顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力為

單連通域所包含顆粒群受到的單位面積Kutta-Joukowski橫向力為

值得注意的是，在上述推導(dǎo)過程中，因?yàn)橄滦写矁?nèi)大多數(shù)區(qū)域的顆粒徑向速度遠(yuǎn)小于軸向速度，因此引入了p,r/ 0zv? ?= 的假設(shè)。

為了獲得Kutta-Joukowski橫向力的數(shù)值，需要確定速度矢量差vp,z-vg,z及速度梯度 ?vp,z/?r的值。

本文式(7)中速度梯度是基于ZHANG等[19]和WANG等[5]發(fā)表的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過讀取局部顆粒速度的數(shù)值，得到速度梯度的數(shù)值。

式(7)中vp,z-vg,z顯然與局部滑落速度密切相關(guān)，計(jì)算局部滑落速度的方法主要有2種。第1種是LI等[20]基于EMMS模型，推導(dǎo)得到的下行床局部滑移速度與局部空隙率的關(guān)系，如式(8)所示：

式中：mfε為起始流化空隙率，ε為局部空隙率，D為系數(shù)。

第2種方法則是曹春社等[21]通過同時(shí)測(cè)定氣相和固相的局部速度獲得的，即

式中：ε為局部空隙率，Re為雷諾數(shù)，Ret為終端速度雷諾數(shù)。

通過試算，發(fā)現(xiàn)由式(8)計(jì)算得到的局部滑落速度遠(yuǎn)小于顆粒終端速度；而采用式(9)獲得的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，因此本文采用式(9)來確定式(7)中的局部滑落速度。

下行床內(nèi)Kutta-Joukowski橫向力的方向與速度矢量差(即滑落速度的方向)有關(guān)，因此在通過式(7)計(jì)算Kutta-Joukowski橫向力時(shí)，得到的計(jì)算結(jié)果并不能準(zhǔn)確的表示Kutta-Joukowski橫向力的方向，還需要進(jìn)行具體分析。

3 氣體速度徑向分布特征

速度矢量差(即滑落速度的方向)決定了Kutta-Joukowski橫向力的方向，應(yīng)分析下行床內(nèi)局部氣速、顆粒速度的相對(duì)大小關(guān)系。

根據(jù)WANG等[3,5-6]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果——顆粒于邊壁大量聚集而中心區(qū)濃度較低，分析可知：由于顆粒大量聚集于邊壁，限制了氣體在邊壁區(qū)域的流動(dòng)——大部分氣體流經(jīng)除邊壁的中間區(qū)域，因此中心r/R = 0～0.316區(qū)域的氣速比較高，顆粒速度始終小于局部氣速；而在r/R ≈ 0.8～0.95的邊壁高濃度區(qū)，由于顆粒大量聚集，顆粒之間相互碰撞同樣會(huì)使顆粒動(dòng)能大量耗散，同時(shí)床內(nèi)顆粒會(huì)“裹挾”氣體下行，對(duì)氣體有“助力”作用，因此顆粒速度小于局部氣速。而對(duì)于r/R ≈ 0.316～0.8區(qū)域內(nèi)氣體速度與顆粒速度之間的關(guān)系則需要進(jìn)一步分析。

曹春社等[21]的研究表明：沿下行床徑向，氣體速度從中心逐漸增加并在r/R ≈ 0.86～0.96達(dá)到極大值然后減小(事實(shí)上，曹春社等[21]、楊勇林等[22]實(shí)驗(yàn)中，顆粒速度的極大值也出現(xiàn)在r/R ≈ 0.86～0.96區(qū)域內(nèi))，但卻從未有人對(duì)下行床中這個(gè)氣相速度分布的形成原因進(jìn)行分析。顯然，這個(gè)分布在對(duì)稱管流中非?！昂币姟保芰魉俣茸罡唿c(diǎn)沒有出現(xiàn)在管中心。本文認(rèn)為，這正是由于邊壁大量顆粒下滑“帶動(dòng)氣體”向下運(yùn)動(dòng)造成的，邊壁區(qū)域大量下行的顆粒相當(dāng)于“構(gòu)造”了一個(gè)“運(yùn)動(dòng)的邊壁”，從而改變了速度分布，使氣相速度最高點(diǎn)的位置向邊壁移動(dòng)，如圖2(a)所示。具體理論分析采用單相流體力學(xué)“比擬”，認(rèn)為下行氣體對(duì)氣相流場(chǎng)的影響相當(dāng)于是形成了一個(gè)以速度Vw向下移動(dòng)的邊壁。以WANG等[3,5-6]的實(shí)驗(yàn)為例分析了下行床內(nèi)局部氣速的分布特征。

圖2 柱坐標(biāo)中流體的定常流動(dòng) Fig.2 Steady flow of fluid in cylindrical coordinate

假設(shè)氣體在下行床中做定常流動(dòng)，對(duì)一般流體而言——流體密度為常量而且溫度變化范圍不大，在不可壓縮條件下狀態(tài)方程消失，連續(xù)方程和動(dòng)量方程[23]可寫為

在如圖2(b)所示柱坐標(biāo)系中，慮到定常條件?u/?t=0以及連續(xù)性，方程可簡(jiǎn)化為

考慮到軸對(duì)稱性——即u=u(r),對(duì)方程關(guān)于r積分兩次得

如圖2(c)所示，邊界條件取在r = R2(R2＞0.8)——即“運(yùn)動(dòng)的邊壁”，以及r = R1(0 ＜ R1＜ 0.316)——床層中心區(qū)域(之所以不取r = 0，是因?yàn)樵谠撨吔鐥l件下積分常數(shù)C1恒為零，失去意義)。床層中心區(qū)域的氣速不為零，因此在r = R1處u ≠ 0；而由于“運(yùn)動(dòng)的邊壁”的存在，在r = R2處同樣有u ≠ 0。所以，邊界條件為

代入邊界條件得

于是求得積分常數(shù)為

則該空間內(nèi)的速度分布為

相應(yīng)的速度極值出現(xiàn)在r0處：

顯然氣體速度的極值點(diǎn)r0存在而且與Vc和Vw的具體數(shù)值有關(guān)；由式(16)可知，在r/R ≈ R1-R2的區(qū)域氣體速度存在極值點(diǎn)。這也印證了曹春社等[21]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，因此認(rèn)為在r = r0處為速度極大值點(diǎn)；該點(diǎn)并不像通常單相對(duì)稱管流一樣，位于r/R = 0及r/R = 1處。若Vw增加，這個(gè)極值速度所處的位置r0向邊壁移動(dòng)；若Vc增加，r0向床中心移動(dòng)。根據(jù)上述單相管流的“比擬”分析可知，對(duì)于氣固下行床，當(dāng)操作條件改變時(shí)，邊壁高濃度區(qū)的顆粒濃度、速度也會(huì)改變，從而影響邊界條件所取Vw值改變，導(dǎo)致速度極值點(diǎn)r0發(fā)生變化。

4 Kutta-Joukowski橫向力對(duì)顆粒徑向分布的“貢獻(xiàn)”

圖3 下行床顆粒濃度徑向分布 Fig.3 Radial distribution of particle solid holdup in a downer

4.1 顆粒濃度徑向分布的兩種形式

ZHANG等[4]實(shí)驗(yàn)中下行床顆粒濃度徑向分布如圖3(a)所示。沿下行床徑向，上部濃相區(qū)是典型的“環(huán)-核結(jié)構(gòu)”，同一截面的中心區(qū)域顆粒濃度低，邊壁環(huán)形區(qū)顆粒濃度高。隨著氣固并流下行，顆粒濃度的局部最大值從邊壁向中心“移動(dòng)”，最終形成呈中心濃、邊壁稀的“反環(huán)-核分布”。WANG等[5]通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得的顆粒濃度分布如圖3(b)，循環(huán)量為100 kg?m-2?s-1時(shí)，顆粒濃度在r/R ≈ 0～0.8區(qū)域分布比較均勻，僅在近壁區(qū)(r/R＞0.8)有所增加；在較高循環(huán)量下，顆粒濃度沿徑向增加并在邊壁達(dá)到最大值，與提升管中顆粒濃度的分布相似——“環(huán)-核結(jié)構(gòu)”(雖然濃度梯度明顯小于提升管)。針對(duì)這2種明顯不同徑向分布“形態(tài)”，需根據(jù)顆粒質(zhì)量流率、入口氣速-壓力等具體條件分析Kutta-Joukowski橫向力。

本文根據(jù)公開發(fā)表的ZHANG等[4,19]和WANG等[3,5-6]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過分析式(7)中的速度矢量差及速度梯度數(shù)值的正負(fù)，分析Kutta-Joukowski力對(duì)下行床顆粒濃度徑向分布的“貢獻(xiàn)”。

4.2 Kutta-Joukowski力對(duì)下行床顆粒濃度徑向分布的“貢獻(xiàn)”

下行床內(nèi)不同區(qū)域顆粒(群)所受Kutta-Joukowski力如圖4所示。由上述分析可知，下行床顆粒(群)受到的Kutta-Joukowski力的方向?yàn)関g-vp矢量方向沿速度環(huán)量方向的反方向旋轉(zhuǎn)90°。根據(jù)讀取的ZHANG等[19]實(shí)驗(yàn)中顆粒速度數(shù)據(jù)，不同截面內(nèi)沿徑向有?vp,z/?r ＜ 0，即速度旋度Ω ＞0，Г ＞0。

圖4 Kutta-Joukowski力對(duì)下行床內(nèi)顆粒群的作用 Fig.4 Effects of Kutta-Joukowski force on particles in the downer

與提升管不同，下行床內(nèi)顆粒逐漸加速，最終甚至超過局部氣速，因此式(7)中vp,z-vg,z的方向沿軸向?qū)l(fā)生變化，須分區(qū)進(jìn)行討論。如圖3、4所示，在顆粒加速段的中心區(qū)(A區(qū)域)，由于顆粒剛開始加速，顆粒速度小于氣速，即vg-vp的方向豎直向下，而速度環(huán)量為順時(shí)針，因此顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力指向下行床壁面。在顆粒加速段邊壁區(qū)(B區(qū)域)，顆粒軸向速度較小，而氣體速度則由于邊壁的存在其數(shù)值為 0，因此顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力指向中心。在充分發(fā)展段的中心區(qū)(C區(qū)域)，此時(shí)顆粒已經(jīng)完成軸向加速過程，其軸向速度大于氣體速度，因此顆粒受到的Kutta-Joukowski橫向力指向床中心。在充分發(fā)展段的邊壁區(qū)(D區(qū)域)，氣體速度由于邊壁限制趨近于 0，其內(nèi)顆粒所受Kutta-Joukowski橫向力也指向床中心。

綜合圖3、4可知Kutta-Joukowski橫向力對(duì)顆粒濃度徑向分布的影響過程：顆粒在入口處大量聚集于近壁區(qū)，顆粒濃度在該處達(dá)到最大值。在顆粒加速段，由于A、B區(qū)域中Kutta-Joukowski橫向力方向相反，在該力的“驅(qū)動(dòng)下”，大量顆粒聚集在介于邊壁和床中心的區(qū)域，因而該處出現(xiàn)了顆粒濃度的最大值，而后由于顆粒的加速運(yùn)動(dòng)——到了充分發(fā)展段，C、D區(qū)域內(nèi)顆粒所受Kutta-Joukowski橫向力均指向中心，使得顆粒濃度的最大值由從邊壁轉(zhuǎn)移到中心。

而在WANG等[3,5-6]的實(shí)驗(yàn)中，顆粒速度沿徑向逐漸增加，在r/R ≈ 0.8處達(dá)到最大值然后減小。在床層中心r/R = 0～0.316區(qū)域內(nèi)存在顆粒濃度的局部極小值——顯然床層中心存在顆粒濃度降低的區(qū)域，如圖3(I區(qū)域)。該區(qū)域內(nèi)顆粒速度沿徑向逐漸增加，有?vp,z/?r ＞0，速度旋度Ω＜ 0，Г＜ 0；而且顆粒速度始終小于局部氣速。如圖5(A區(qū)域)所示，vg-vp的方向豎直向下，速度環(huán)量為逆時(shí)針，因此該區(qū)域Kutta-Joukowski力方向?yàn)関g-vp的方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，指向下行床中心。而在r/R ≈ 0.8～0.95的高濃度區(qū)——圖3( Ⅲ區(qū)域)，由于顆粒速度有減小的趨勢(shì)，因此有：?vp,z/?r＜ 0，速度旋度Ω ＞0，Г ＞0。該區(qū)域內(nèi)顆粒速度小于局部氣速，因此vg-vp的方向豎直向下，速度環(huán)量為順時(shí)針，顆粒(群)受到的Kutta-Joukowski力方向?yàn)関g-vp的方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，指向下行床邊壁，在邊壁形成高濃度區(qū)，如圖5(B區(qū)域)所示。

根據(jù)上節(jié)內(nèi)容，氣體速度在r/R ≈ R1-R2區(qū)域內(nèi)先增加后減小，而且在邊界r = R1、r = R2處氣體速度均大于顆粒速度，因此可以判斷在r/R ≈ R1-R2整個(gè)區(qū)域內(nèi)氣體速度大于顆粒速度，同理r/R ≈ 0.316～0.8區(qū)域內(nèi)氣體速度大于顆粒速度。在r/R ≈ 0.316～0.8區(qū)域內(nèi)顆粒速度沿徑向增加，因此有?vp,z/?r ＞0，速度旋度Ω＜ 0，Г＜ 0。同時(shí)局部氣速始終大于顆粒速度——vg-vp的方向豎直向下，速度環(huán)量為逆時(shí)針，因此該區(qū)域內(nèi)Kutta-Joukowski力指向中心，如圖5(A區(qū)域)所示。

圖5 Kutta-Joukowski力對(duì)下行床內(nèi)顆粒群的作用 Fig.5 Effects of Kutta-Joukowski force on particles in the downer

但是，r/R ≈ 0.316～0.8區(qū)域內(nèi)顆粒濃度沿徑向接近均勻分布(Gs=100 kg?m-2?s-1)或者沿徑向緩慢增加(Gs＞100 kg?m-2?s-1)，而Kutta-Joukowski力的方向卻指向床層中心，很明顯是矛盾的。之所以出現(xiàn)這種結(jié)果，本文認(rèn)為是因?yàn)樵搮^(qū)域內(nèi)顆粒濃度較低，而且Kutta-Joukowski力也非常小——約為r/R ≈ 0.8～0.95區(qū)域Kutta-Joukowski力的1/10，因此對(duì)顆粒徑向分布的作用不明顯。

綜上所述，可知顆粒濃度沿徑向的不均勻分布主要受Kutta-Joukowski橫向力的影響，Kutta-Joukowski橫向力是導(dǎo)致局部顆粒濃度徑向分布的主要原因。

5 結(jié)果與討論

5.1 顆粒群所受Kutta-Joukowski力和“濃度梯度力”

FAN等[13]針對(duì)氣固并流上行提升管的研究表明：Kutta-Joukowski橫向力和固含率沿提升管徑向的分布具有極其相似的“形態(tài)”。由此可以判斷，沿徑向方向，提升管內(nèi)的顆粒群一定受到某個(gè)指向提升管中心的力(即由濃度高處指向濃度低處)，與Kutta-Joukowski橫向力相平衡，使得提升管內(nèi)顆粒濃度的徑向分布保持相對(duì)穩(wěn)定。即顆粒濃度會(huì)產(chǎn)生一個(gè)濃度“勢(shì)”，在靠近邊壁的環(huán)形區(qū)域顆粒濃度高，其濃度“勢(shì)”較大，在中心區(qū)域顆粒濃度相對(duì)較低，其濃度“勢(shì)”較小。

與此類似，本文按照式(7)中Kutta-Joukowski橫向力的計(jì)算方法，結(jié)合ZHANG等[4,19]和WANG等[3,5-6]的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算了所有徑向位置的Kutta-Joukowski橫向力。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，Kutta-Joukowski橫向力的絕對(duì)值與濃度梯度的絕對(duì)值沿下行床徑向的分布具有極其相似的“形態(tài)”——甚至二者“拐點(diǎn)”的位置也幾乎一致，如圖6所示。在r/R = 0～0.7區(qū)域，Kutta-Joukowski橫向力和濃度梯度較小。在r/R ＞0.7區(qū)域，Kutta-Joukowski橫向力和濃度梯度較大且沿徑向快速增加。

圖6 Kutta-Joukowski橫向力和顆粒濃度梯度的徑向分布 Fig.6 Radical distributions of Kutta-Joukowski force and solid concentration gradient

鑒于這種徑向分布是穩(wěn)定存在的，則沿下行床徑向方向，顆粒群一定受到某個(gè)力(即由濃度高處指向濃度低處)與Kutta-Joukowski橫向力相平衡，使得下行床內(nèi)顆粒濃度的徑向分布保持相對(duì)穩(wěn)定。事實(shí)上，對(duì)于類似的氣固并流上行提升管中兩相流動(dòng)體系，即存在一個(gè)“濃度梯度力”與提升管內(nèi)顆粒群受到的Kutta-Joukowski橫向力相平衡[13]。

濃度梯度dρ/dr與顆粒徑向分布有關(guān)，雖然不是矢量，但是有正、負(fù)之分。上述濃度梯度力Fρ方向?yàn)椋簼舛雀咛幹赶驖舛鹊吞?。結(jié)合dρ/dr的正負(fù)差異，可以看出：當(dāng)dρ/dr為正值時(shí)，F(xiàn)ρ指向下行床中心；當(dāng)dρ/dr為負(fù)值時(shí)，F(xiàn)ρ指向下行床邊壁。因此，可以認(rèn)為每個(gè)徑向位置dρ/dr的值決定了該位置Fρ的方向。

下行床中濃度梯度力定義為

式中：K為濃度梯度力系數(shù)，單位是m3?s-2；ρ為顆粒的局部密度，可由顆粒密度與局部固含率計(jì)算；A為“濃度勢(shì)”作用區(qū)域面積沿垂直于力作用方向的投影。

濃度梯度力Fρ與Kutta-Joukowski橫向力的方向是相反的，因此每個(gè)徑向位置dρ/dr的正負(fù)與Kutta-Joukowski力的方向呈對(duì)應(yīng)關(guān)系。因此本文認(rèn)為，濃度梯度dρ/dr與Kutta-Joukowski橫向力呈顯著的對(duì)應(yīng)關(guān)系。dρ/dr的正負(fù)與Kutta-Joukowski力的方向的對(duì)應(yīng)關(guān)系很明顯是確定的，為了表征濃度梯度dρ/dr與Kutta-Joukowski橫向力在數(shù)值上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本文均采用絕對(duì)值進(jìn)行分析。

5.2 顆粒循環(huán)量對(duì)Kutta-Joukowski力的影響

圖7為Kutta-Joukowski橫向力隨顆粒循環(huán)量的變化。結(jié)果表明，Kutta-Joukowski橫向力隨顆粒循環(huán)量增大而增大，而且近壁區(qū)Kutta-Joukowski橫向力增加的幅度大于中心區(qū)域。這是因?yàn)殡S著顆粒循環(huán)強(qiáng)度增加，各徑向位置的局部顆粒濃度增大，顆粒之間的動(dòng)量交換增強(qiáng)，導(dǎo)致顆粒速度徑向不均勻程度增加——即顆粒速度梯度增加，從而使Kutta-Joukowski橫向力增大。而且，大量顆粒聚集于近壁區(qū)，導(dǎo)致近壁區(qū)顆粒之間動(dòng)量交換強(qiáng)于中心區(qū)顆粒，從而使近壁區(qū)Kutta-Joukowski橫向力增加的幅度大于中心區(qū)域。

圖7 Kutta-Joukowski橫向力和顆粒濃度梯度的徑向分布 Fig.7 Radical distributions of Kutta-Joukowski force and solid concentration gradient

5.3 不同軸向位置的Kutta-Joukowski力

不同軸向位置Kutta-Joukowski橫向力的徑向分布如圖8所示。結(jié)果表明，Kutta-Joukowski橫向力隨軸向位置增高先減小再增加，并逐漸趨于穩(wěn)定。

氣固并流下行床內(nèi)顆粒會(huì)經(jīng)歷第1加速段、第2加速段及充分發(fā)展段[1]。根據(jù)式(7)中Kutta-Joukowski橫向力的計(jì)算方法，可知其大小與顆粒速度梯度及滑落速度有關(guān)。沿下行床軸向，滑落速度的變化很小，因此Kutta-Joukowski橫向力的大小主要受顆粒速度梯度影響。而顆粒速度梯度沿下行床軸向先減小后增大然后趨于穩(wěn)定，所以Kutta-Joukowski橫向力出現(xiàn)以上分布特征。

圖8 顆粒循環(huán)量Gs=102 kg?m-2?s-1、表觀氣速Ug=10.1 m?s-1時(shí)不同軸向位置Kutta-Joukowski力的分布 Fig.8 Radial profiles of Kutta-Joukowski force at different axial heights with Gs=102 kg?m-2?s-1 and Ug=10.1 m?s-1

5.4 表觀氣速對(duì)Kutta-Joukowski力的影響

圖9 表觀氣速對(duì)Kutta-Joukowski力的影響 Fig.9 Effects of superficial gas velocity on Kutta-Joukowski force

圖9為不同表觀氣速下Kutta-Joukowski橫向力和顆粒濃度梯度沿下行床徑向的分布?？梢钥闯?， Kutta-Joukowski橫向力隨表觀氣速的增大而減小。這是因?yàn)楸碛^氣速增加，各徑向位置的顆粒濃度隨之減小，顆粒之間的動(dòng)量交換減弱，導(dǎo)致顆粒速度徑向不均勻程度減小——即顆粒速度梯度減小，從而使Kutta-Joukowski橫向力減小。

圖6～9均表明Kutta-Joukowski橫向力在下行床中心處為零，且與濃度梯度的變化特征相似。在下行床中心處，由于顆粒速度沿軸線對(duì)稱，所以速度梯度為零，因此該位置對(duì)應(yīng)的Kutta-Joukowski力為零，與計(jì)算結(jié)果吻合。沿下行床徑向，Kutta-Joukowski橫向力與顆粒濃度梯度有相同變化趨勢(shì)。在圖6～9中，Kutta-Joukowski力與濃度梯度的曲線會(huì)出現(xiàn)“波動(dòng)”。主要是因?yàn)閃ANG等[3,5-6]和ZHANG等[4,19]實(shí)驗(yàn)中顆粒速度、濃度沿徑向的分布會(huì)出現(xiàn)局部“波動(dòng)”，這些“波動(dòng)”的存在使Kutta-Joukowski力與濃度梯度計(jì)算時(shí)出現(xiàn)誤差。但是，誤差的存在并不影響Kutta-Joukowski橫向力與濃度梯度變化特征的一致性，不會(huì)影響研究結(jié)果。

5.5 下行床內(nèi)Kutta-Joukowski力徑向分布的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)

下行床內(nèi)Kutta-Joukowski橫向力的分布主要受顆粒循環(huán)強(qiáng)度、表觀氣速、顆粒濃度梯度、下行床直徑、氣體運(yùn)動(dòng)黏度、徑向位置、軸向位置影響，所以局部Kutta-Joukowski橫向力的函數(shù)形式可假設(shè)為

將各參數(shù)進(jìn)行無量綱化后可得如下表達(dá)式：

根據(jù)文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，用該式對(duì)下行床內(nèi)局部Kutta-Joukowski橫向力的徑向分布進(jìn)行關(guān)聯(lián)，得到經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式。

(1) 下行床內(nèi)顆粒濃度呈“環(huán)-核結(jié)構(gòu)”分布——以WANG等[3,5-6]實(shí)驗(yàn)為例。

(2) 下行床內(nèi)顆粒濃度呈“環(huán)-核結(jié)構(gòu)”及“反環(huán)-核結(jié)構(gòu)”分布——以ZHANG等[4,19]實(shí)驗(yàn)為例。

由經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到的Kutta-Joukowski橫向力與實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比見圖10，計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值的最大誤差為25.9%，可供工程設(shè)計(jì)參考。

6 結(jié) 論

本文分析了WANG等[3,5-6]和ZHANG等[4,19]實(shí)驗(yàn)中下行床顆粒濃度徑向分布不均勻結(jié)構(gòu)；同時(shí)用流體運(yùn)動(dòng)方程分析了局部氣速的徑向分布特征，理論分析的結(jié)果與前人實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。將空氣動(dòng)力學(xué)的Kutta-Joukowski定理“移植到”兩相流分析中，用Kutta-Joukowski橫向力解釋了下行床顆粒濃度的不均勻分布。結(jié)合目前公開發(fā)表的文獻(xiàn)數(shù)據(jù)，分析了下行床Kutta-Joukowski橫向力的分布特征，給出了下行床內(nèi)Kutta-Joukowski橫向力的經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式，得到以下結(jié)論：

(1) 下行床內(nèi)顆粒群所受Kutta-Joukowski力可由FK-J=-ρg(vp-vg)(?p/?r)r計(jì)算，力的方向由濃度較低區(qū)域指向濃度較高區(qū)域。

(2) 通過引入“移動(dòng)邊壁”，分析了氣相、固相速度在r/R ≈ 0-0.96出現(xiàn)極值的原因。下行床內(nèi)局部氣速沿徑向先增大后減小。

(3) Kutta-Joukowski橫向力在下行床中心處為零，沿徑向方向與顆粒濃度徑向梯度的分布一致。

(4) 表觀氣速一定，Kutta-Joukowski力隨顆粒循環(huán)量增加而增加；顆粒循環(huán)量一定，Kutta-Joukowski力隨表觀氣速的增加而減小。

(5) Kutta-Joukowski力的主要影響因素為表觀氣速、顆粒循環(huán)量、濃度梯度、無因次徑向、軸向位置。給出了Kutta-Joukowski橫向力的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ褪?，可供工程設(shè)計(jì)參考。

符號(hào)說明：

A — 面積，m2

dp— 顆粒平均粒徑，μm

FK-J— Kutta-Joukowski橫向力，N?m-2

Fρ— 濃度梯度力，N?m-2

Gs— 顆粒循環(huán)量，kg?m-2?s-1

h — 測(cè)點(diǎn)截面高度，m

H — 下行床總高度，m

I — 渦強(qiáng)度，m2?s-1

K — 濃度梯度力系數(shù)，m3?s-2

r — 徑向位置，m

R — 下行床外徑，m

Ret— 終端速度雷諾數(shù)

Ug— 表觀氣速，m?s-1

ut— 顆粒終端速度，m?s-1

us— 滑落速度，m?s-1

vp,r— 顆粒徑向速度，m?s-1

vp,z— 顆粒軸向速度，m?s-1

Vc— 中心氣體速度，m?s-1

Vw— 邊壁氣體速度，m?s-1

z — 下行床軸向坐標(biāo)高度，m

Z — 下行床軸向坐標(biāo)軸，m

ρ — 局部顆粒密度，kg?m-3

ρg— 氣體密度，kg?m-3

ρp— 顆粒密度，kg?m-3

ε — 局部空隙率

εmf— 起始流化空隙率

Г — 環(huán)量，m2?s-1

Ω — 速度旋度，s-1

上標(biāo)

b — 系數(shù)

c — 系數(shù)

d — 系數(shù)

e — 系數(shù)

下標(biāo)

g — 氣體

p — 顆粒

r — 徑向

z — 軸向