函數(shù)思想下分段計(jì)費(fèi)問題的教學(xué)探究

鄭祥旦

（福建省大田縣教師進(jìn)修學(xué)校）

分段計(jì)費(fèi)問題是人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級上冊的教學(xué)內(nèi)容，在后繼學(xué)習(xí)中可看作分段函數(shù)的問題。運(yùn)用函數(shù)思想做好分段計(jì)費(fèi)的教學(xué)，需要了解分段教學(xué)的基本思想，需要了解學(xué)生使用圖象法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

一、了解分段函數(shù)的基本思想

分段函數(shù)本身不是初等函數(shù)，但它是由若干個(gè)基本初等函數(shù)組合而成的。例如，人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊有如下的一道例題，其中y與x的函數(shù)解析式可表示為，其圖象如圖1所示。

圖1

例：“黃金1號”玉米種子的價(jià)格為5元/kg，如果一次購買2kg以上的種子，超過2kg部分的種子價(jià)格打8折。

（1）填寫下表。

0．5 1 1．5 2 2．5 3 3．5 4 ……購買量付款金額/元……

（2）寫出購買量關(guān)于付款金額的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)圖象。

x＝2是此分段函數(shù)的分段點(diǎn)，同時(shí)y(x)在x＝2是連續(xù)的。而函數(shù)的連續(xù)性及其相關(guān)的證明通常是微積分的內(nèi)容。

與上題相比，五年級分段計(jì)費(fèi)的例題則是另一種表現(xiàn)形式的分段函數(shù)，y與x的函數(shù)解析式可表示為

x＝3、4、5、6是此分段函數(shù)的分段點(diǎn)，y(x)在x＝3、4、5、6上也是連續(xù)的（如圖2）。

圖2

其圖形在x＝3、4、5、6各點(diǎn)產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，我們稱x＝3、4、5、6為函數(shù)y(x)的跳躍點(diǎn)。

顯然，學(xué)生畫出這樣的圖形是不符合題意的（如圖3），該圖形用函數(shù)解析式表示為：

圖3

進(jìn)一步來說，分段計(jì)費(fèi)的例題是由若干常量函數(shù)組合而成的分段函數(shù)，學(xué)生畫出的圖形是由常量函數(shù)和正比例函數(shù)組合而成的，而八年級所學(xué)的則是由兩個(gè)不同的正比例函數(shù)組合而成的。但這樣的題目也存在于五年級的練習(xí)題，如“某市自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)的每噸2.5元；超過12噸的部分，每噸3.8元。小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？”

二、了解學(xué)生使用圖象法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)

一般來說，表示函數(shù)的方法有三種方法：解析式法、列表法和圖象法。在五年級的教材里，僅在“回顧與反思”階段要求學(xué)生用列表法檢驗(yàn)解答的結(jié)果正確與否。從正向思維的角度來看，該表中的數(shù)據(jù)可以正確的結(jié)果，但從反向思維的角度來看該表中的數(shù)據(jù)既可以是圖2的數(shù)據(jù)，也可以是圖3的數(shù)據(jù)，或者說數(shù)據(jù)所表征的含義不是唯一的。為了正確理解題意，教學(xué)時(shí)需要運(yùn)用圖象法進(jìn)行分析。從邏輯結(jié)構(gòu)分析，線段圖是圖象法的最直接的表現(xiàn)，如圖4所示。

圖4

線段圖需要用線段的長度來表示具體的數(shù)量，而且圖中線段的長短關(guān)系要符合題目的數(shù)量關(guān)系。借助線段圖，學(xué)生建立了數(shù)學(xué)的直觀模型。從另一個(gè)角度來說，條形統(tǒng)計(jì)圖也是圖象法的最直接的表現(xiàn)，只要作簡單的轉(zhuǎn)換條形統(tǒng)計(jì)圖就變成了直角坐標(biāo)系。進(jìn)一步來說，兩者的結(jié)合即是學(xué)生產(chǎn)生可理解的函數(shù)圖象。

三、基于函數(shù)思想的教學(xué)設(shè)計(jì)

函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)（即“規(guī)定思想”）從而利用函數(shù)的性質(zhì)（已知、未知和規(guī)定思想）來解題的一種思維策略?！耙阎?，就是指“定量”；而“未知”則是指“變量”；“規(guī)定思想”則是指根據(jù)事物的規(guī)律而人為的構(gòu)造的一種客觀的函數(shù)關(guān)系?；谶@種思維策略，分段計(jì)費(fèi)的教學(xué)可以這樣設(shè)計(jì)。

（一）讀題，畫線段圖，列式解答

出示主題圖，讀出題意：王叔叔乘坐出租車行駛6.3km。出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：3km以內(nèi)7元；超過3km，每千米1.5元（不足1km按1km計(jì)算）。他要付多少錢？

引導(dǎo)畫線段圖，學(xué)生可能畫出下列各種情形（圖3也是其中的一種）。

不同的學(xué)生可能有不同的思考，或者是從車費(fèi)的角度，或者從是路程的角度，他們從已有的知識經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，畫出線段圖，根據(jù)所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，正確地列式解答。但是，這并不代表他們已經(jīng)完全地理解了分段計(jì)費(fèi)的運(yùn)算原理，特別是從函數(shù)思想的角度去思考問題。

（二）批判性思考，理解“定量”和“變量”的關(guān)系，畫出圖象

引導(dǎo)學(xué)生對解答過程進(jìn)行批判性思考，并與之交流。

教師提問：你確信你的解法是正確的？然后，引導(dǎo)學(xué)生邊讀題邊追問：① 如果王叔叔只乘坐0.5km，要付多少錢？（7元）②如果王叔叔只付7元錢，他最多能乘坐多少km？（3km）③ 如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少錢？（8.5元。④ 如果王叔叔付了8.5元，他可能乘坐多少km？（4km。所以說，8.5元分為兩段：7元，1.5元。）⑤如果王叔叔乘坐4.2km，要付多少錢？（10元。它分為三段：7元，1.5元，1.5元。）

通過反思，學(xué)生會理解行程在0＜x≤3、3＜x≤4、4＜x≤5區(qū)間里時(shí)車費(fèi)y（x）是連續(xù)的，而x＝3、4是函數(shù)的分段點(diǎn)。

教師示范：現(xiàn)在，把線段圖的第一段，3km以內(nèi)7元，畫到新的圖上。（如圖5）

圖5

教師提問：第二段、第三段應(yīng)該怎樣畫呢？學(xué)生嘗試畫出這兩個(gè)線段，并推理畫出第四、五段。師生合作共同把線段圖轉(zhuǎn)換為分段函數(shù)的圖象。（如圖2）

通過畫圖，學(xué)生理解x＝3、4、5、6是函數(shù)的跳躍點(diǎn)。更進(jìn)一步，學(xué)生直觀地理解這是由5個(gè)常量函數(shù)組合而成的分段函數(shù)，所以，列式計(jì)算是：7＋1.5× 4＝13（元）。

教師提問：你能完成出租車的價(jià)格表嗎？學(xué)生獨(dú)立填寫出下表。

4 5 6 7 8 9 1 0行駛的里程/k m出租車費(fèi)/元1 7 2 7 3 7 8．5 1 0 1 1．5 1 3 1 4．5 1 6 1 7．5

教師還可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用查表法，進(jìn)一步理解“定量”和“變量”的關(guān)系，如7km要付13元。

（三）辯證思考，理解新的“變量”，畫出新的圖象

教師提問：如果去掉括號里的要求，題目變成“王叔叔乘坐出租車行駛6.3km。出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：3km以內(nèi)7元；超過3km，每千米1.5元。他要付多少錢？”其解法會一樣嗎？

引導(dǎo)學(xué)生理解第一段“3km以內(nèi)7元”是一樣的。但接著發(fā)生的事就不一樣了。

①如果王叔叔乘坐3.1km，要付多少錢？（7＋1.5×0.1＝7.15元。）②王叔叔乘坐6.3km，要付多少錢？（7＋1.5× 3.3＝11.95元。）

圖象要相應(yīng)地進(jìn)行修改，教師畫出新的圖象（如圖2），描出點(diǎn)（6.3，11.95）的位置。然后，告訴學(xué)生這條線被分成兩段，x＝3是它的分段點(diǎn)。

（四）鞏固練習(xí)，用類比法判斷出不同函數(shù)所相應(yīng)的圖象

教師可以先出示習(xí)題。某市自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)的每噸2.5元；超過12噸的部分，每噸3.8元。

（1）小云家上個(gè)月的用水量為11噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

（2）小可家上個(gè)月的用水量為17噸，應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

要求學(xué)生讀題，畫出相應(yīng)的圖象，得出結(jié)論：第（1）題用水量在12噸以內(nèi)，只畫一條線段；第（2）題分段計(jì)費(fèi)不同于圖2，也不同于圖3，是新的圖形（與圖1類似）。