設(shè)計真實的探究活動 提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

欒長偉

(大連市甘井子區(qū)教師進修學(xué)校)

中共中央、國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于深化教育教學(xué)改革全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》，其核心內(nèi)容是落實“五育”并舉，實現(xiàn)立德樹人?！吨袊鴮W(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》也對探究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)指明了方向。當(dāng)前的課堂中，設(shè)計能引發(fā)學(xué)生生疑的問題情境，設(shè)計真實可靠的探究過程是落實上述目標(biāo)的重要環(huán)節(jié)。然而，仍有很多教師忽略了探究過程所帶給學(xué)生的探究價值。實際上，要想讓學(xué)生明白知識的形成過程，教師就要設(shè)計科學(xué)合理、深度通透的知識探究過程。

一、設(shè)計能引發(fā)學(xué)生生疑的問題情境

數(shù)學(xué)是促進學(xué)生思維發(fā)展的核心學(xué)科之一。問題情境是現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之間、具體問題與抽象概念之間的橋梁。它的價值不僅僅是激發(fā)學(xué)生的興趣，更應(yīng)該讓學(xué)生通過情境建立新舊知識之間的聯(lián)系并在具體情境中發(fā)現(xiàn)問題，進而提出質(zhì)疑，從而為課堂重點來作鋪墊。通常的問題情境創(chuàng)設(shè)有如下兩種形式。

一是從“數(shù)學(xué)知識內(nèi)部”引入。其更多趨近于“復(fù)習(xí)式引入”，是為了建立新舊知識之間聯(lián)系的渠道，在學(xué)生已有知識的基礎(chǔ)上，在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置既能引發(fā)學(xué)生回憶，又能對新知識產(chǎn)生好奇心的問題情境。例如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級上冊“直線、射線、線段”時，可以在前一節(jié)課的“點動成線”的基礎(chǔ)上，設(shè)計動畫效果，從屏幕的外部飛入一個點，再從屏幕中飛走，形成的路線即是直線，直線上的兩個點即可以表示為直線AB，射線、線段與其類似。

二是從“生活實際問題”引入。這樣一方面容易激發(fā)學(xué)生對現(xiàn)實生活中數(shù)學(xué)價值的探求欲，同時也能讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)不是孤零零的、沒有溫度的，而是來源于生活，貼近于生活的。例如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“整式乘法”中，教材設(shè)計的問題2為：光的速度約是3×105km/s，太陽光照射到地球上的時間是5×102s，你知道地球和太陽之間的距離是多少嗎？這一問題既是學(xué)生現(xiàn)實生活中的問題，又能讓學(xué)生產(chǎn)生強烈的好奇心，同時，還有較高的教學(xué)探究價值。另一方面，很多實際問題的設(shè)計更能凸顯數(shù)學(xué)文化，其實也就是賦予數(shù)學(xué)教學(xué)一種人文情懷。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，每講到一個定理，其背后往往都存在一個故事、一個趣聞、一段歷史或一些體會，這就會使枯燥的定理和公式有了鮮活的色彩和生動的形象，學(xué)生記憶起來會更加深刻。

二、設(shè)計“真實可靠”的探究過程

探究過程實際上是為了給學(xué)生提供一個親身經(jīng)歷知識形成過程的機會，并在學(xué)生親自感悟的基礎(chǔ)上，進行突出數(shù)學(xué)品質(zhì)、提煉數(shù)學(xué)思想方法的引導(dǎo)，這樣才能將知識內(nèi)化成能力。

例如，在“兩點確定一條直線”時，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》稱為“基本事實”，不再稱為“公理”。人教版教材上提出的問題是“用幾個釘子可以固定一根木條”，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“基本事實”是來自于生活的，這樣就具有較好的情境設(shè)計意義。事實上，在課堂實踐中，教師常用可以粘貼的“紙條”來代替“木條”在黑板上演示。我的想法是“木條要盡量細一些，要盡量趨近于直線”。同時，當(dāng)將“紙條”撤下后，要用粉筆將撤下的紙條畫成“直線”，將固定紙條用的磁鐵石畫成“點”，而這個過程就是數(shù)學(xué)中的抽象過程，是數(shù)學(xué)的核心思想，是學(xué)生從實際生活過渡到數(shù)學(xué)問題的有效途徑。

也有的教師設(shè)計了這樣的探究問題：過一個點可以畫幾條直線？過兩個點呢？如此，相當(dāng)于直接從數(shù)學(xué)問題出發(fā)，如果能繼續(xù)追問“過不共線的三個點呢”就會有錦上添花之妙。通過“不同個數(shù)的點畫直線”都會得到同樣一個結(jié)論，學(xué)生才會從內(nèi)心“承認”，“過兩點可以畫一條而且只可以畫一條直線”。

再如，在教學(xué)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“平方差公式”一課時，教材設(shè)計了如下問題：計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（x+1）（x-1）=______；（2）（m+2）（m-2）=______；（3）（2x+1）（2x-1）=______。

此情境的創(chuàng)設(shè)有兩個缺點，一是每個多項式的第二項均是數(shù)字，所以才會有學(xué)生總結(jié)說“一個單項式與一個數(shù)字的和乘以這個多項式與這個數(shù)字的差”；另一個缺點是所有的兩個多項式都滿足“兩數(shù)和與兩數(shù)差的積”的形式，這對于學(xué)生歸納能力的培養(yǎng)是存在不足的。歸納結(jié)構(gòu)的前提是對已有結(jié)構(gòu)的分類，所以要在問題中加入不滿足平方差條件的形式。如，（3x+2）（3x-4）=_______；（2x-y）（3x+3y）_______。然后，可以追問：“等號左邊的哪幾個多項式具有共同特點？他們積有什么特點？”

從實際課堂的總結(jié)中可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于平方差的描述，學(xué)生會總結(jié)出兩種規(guī)律，一是“兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差等于這兩個數(shù)的平方差”，即平方差公式；另一種是“同號兩項的積與異號兩項的積的和”，這是課堂上學(xué)生真實的總結(jié)，是建立“真實可靠”的探究過程所得到的學(xué)生自然生成。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生再舉出滿足結(jié)構(gòu)的多項式乘積，驗證自己的猜想是否正確，這才是從特殊歸納出一般，再回到特殊的思維過程。

最后是關(guān)于用幾何圖形驗證平方差公式的過程，很多教師不理解為什么要用圖形驗證。實際上，圖形的驗證過程是一種“數(shù)形結(jié)合”的方法體現(xiàn)，也是在后期學(xué)習(xí)中，例如“勾股定理”探究的一種方法鋪墊。教材中圖形設(shè)計的意圖很明顯（如圖1）。

圖1

此圖可以看成是邊長為a的正方形減去邊長為b的正方形，再將剩下的①部分拼接到②位置，得到變成為（a+b）的正方形；或者理解為長為（a+b），寬為（a-b）的長方形的長邊上截取寬為b，長為（a-b）的長方形（即②），并將其拼接到①位置。相比之下，從學(xué)生的課堂的認知反應(yīng)來看，北師版教材中關(guān)于平方差公式的驗證更符合學(xué)生的認知規(guī)律（如圖2和圖3及例題）。

圖2

圖3

例題：如圖2，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。

（1）請表示圖2中陰影部分的面積。

（2）小穎將陰影部分拼成了一個長方形（如圖3），這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？

（3）比較（1）和（2）的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？

就是說，將兩個圖形分開，看起來會相對更清晰一些。在圖2的提示下，我們可以嘗試設(shè)計更加開放的問題探究：

師：有的同學(xué)將邊長為a的正方形剪掉一個邊長為b的正方形，將剩下部分按虛線裁剪成①和②兩部分（如圖4），并將這兩部分分別拼成梯形（如圖5）和平行四邊形（如圖6），請你借助圖5和圖6完成平方差公式的證明。

師：有的同學(xué)在邊長為a的正方形的內(nèi)部剪掉一個邊長為b的正方形（如圖7），你能用兩種方法表示①②③④部分面積和嗎？

圖4

圖5

圖6

圖7

經(jīng)過以上完整的驗證過程，學(xué)生經(jīng)歷了從整式乘法的計算尋找共同規(guī)律，從而猜想出平方差公式，再用文字和符號兩種語言進行描述，最后通過圖形設(shè)計開放性的面積驗證策略，這是探究的實際價值。學(xué)生得到的不僅僅是一個廣為應(yīng)用的平方差公式，更是以后進行命題探究的基本方式。

基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)課堂，教師應(yīng)該堅守以人為本的教育理念，圍繞數(shù)學(xué)核心知識，通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，提出有效的數(shù)學(xué)問題，開展適度的深度探究。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)、批判地學(xué)、通透地學(xué)，進而在知識與技能形成的中，在情感與態(tài)度升華中，在思想與經(jīng)驗的積累過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。