提升直觀想象素養(yǎng) 引領(lǐng)學生學習函數(shù)

曹穎慧

[摘要]函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的概念之一由于函數(shù)在中學數(shù)學中的核心地位與自身的抽象性、復(fù)雜性，導(dǎo)致它是高一新生面臨的第一個“瓶頸”提升學生直觀想象素養(yǎng)，可以讓學生更好地理解函數(shù)

[關(guān)鍵詞]直觀想象素養(yǎng);函數(shù);中學數(shù)學

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0019-03

函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的概念之一.由于函數(shù)在中學數(shù)學中的核心地位與自身的抽象性、復(fù)雜性以及初高中教材內(nèi)容、學習方法、教學方法、認知水平的差異，導(dǎo)致它是高一新生面臨的第一個“瓶頸”.這就要求教師將比較抽象的學術(shù)形態(tài)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學生容易直觀感知的教育形態(tài)內(nèi)容.

教師在函數(shù)教學中，借助函數(shù)圖像的直觀性，可使得抽象問題變得具體、形象，從而使學生對函數(shù)的認識更清晰、更深刻，有助于學生理解函數(shù)的本質(zhì).下面分三個方面說明如何提升學生直觀想象素養(yǎng)，引領(lǐng)學生度過函數(shù)學習難關(guān).

一、概念性知識教學

每個概念的形成，都可以采用“創(chuàng)設(shè)情境一形成概念一深化理解”這樣一種教學流程，引導(dǎo)學生充分經(jīng)歷概念的建構(gòu)過程.

[案例一]偶函數(shù)概念教學.

1.創(chuàng)設(shè)情境

給出兩個函數(shù)f（x）=X₂和g（x）=2-|x|的圖像，思考并討論以下問題：

（1）這兩個函數(shù)圖像有什么共同特征？

（學生很容易看出兩個函數(shù)圖像都關(guān)于y軸對稱）

（2）相應(yīng)的兩個函數(shù)對應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？請學生填寫下列表格.

學生觀察到f（-l）=f（1）、f（-2）=f（2）、f（-3）=f（3）;g（-1）=g（1）、g（-2）=g（2）、g（-3）=g（3）.

（3）在計算機上作出函數(shù)f（x）=x₂的圖像，如圖3.在圖像上任取一點A，作出點A關(guān)于y軸對稱的點B，發(fā)現(xiàn)點B也在函數(shù)的圖像上.測出點A和點B的坐標，得到橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等.令點A在圖像上移動，點B隨之移動，依然是A、B兩點橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等.

2.形成概念

函數(shù)f（x）=x₂和g（x）=2-|x|對于R內(nèi)任意的一個x，都有f（-x）=（-x）₂=x₂=f（x）、g（-x）=2-|-x|=2-|x|= g（x），這時我們稱函數(shù)f（x）=X₂和g（x）=2-|x|為偶函數(shù).由此我們抽象出偶函數(shù)的概念：一般地，如果對于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作偶函數(shù).

3.深化理解

①請同學們判斷下列兩個函數(shù)是不是偶函數(shù)并作出圖像.經(jīng)判斷，f（x）和g（x）都是偶函數(shù)，圖像如圖4、圖5.

②已知f（x）是偶函數(shù)，試將圖6補充完整.

在概念性知識教學時，一般是先從幾何直觀（觀察圖像）人手，然后運用自然語言描述函數(shù)的圖像特征，最后抽象到用數(shù)學符號刻畫相應(yīng)的數(shù)量特征.

二、綜合函數(shù)的研究性教學

[案例二]探究函數(shù)f（x）=x+1/x

（I）你認為可以從哪些方面研究這個函數(shù)？

（Ⅱ）你認為可以按照怎樣的路徑研究這個函數(shù)？

（Ⅲ）按照你構(gòu)思的路徑研究你想到的問題.

分析：（I）我們研究函數(shù)通常要研究下列幾個方面：圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等.

（Ⅱ）研究路徑：

①求定義域，以確定函數(shù)圖像在礴由上的取值范圍;

②判斷奇偶性，以確定函數(shù)圖像是否具有對稱性;

③y=x和y=1/x是兩個冪函數(shù)，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖像，分析兩個函數(shù)的增長或衰減速度，判斷函數(shù)f（x）=x+1/x的單調(diào)性;

④用定義證明單調(diào)性的判斷是否正確;

⑤根據(jù)定義域、奇偶性、單調(diào)性作出函數(shù)f（x）=x+1/x的圖像草圖;

⑥利用草圖確定函數(shù)的值域;

⑦在計算機上作出函數(shù)f（x）=x+1/x的圖像驗證以上分析.

（Ⅲ）研究問題：

單調(diào)性、奇偶性與函數(shù)圖像有密切關(guān)系.了解了函數(shù)的單調(diào)性，基本上就可以決定函數(shù)圖像的走勢;反過來，掌握了函數(shù)圖像的走勢，也就基本上了解了函數(shù)的單調(diào)性.如果函數(shù)有奇偶性，那么只需要研究x>0的部分，利用對稱性我們就知道x<0部分的性質(zhì).

三、函數(shù)模型的應(yīng)用課教學

[案例三]假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下.

方案一：每天回報40元;

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元;

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

分析：設(shè)第x天所得回報是y元，則方案一可以用函數(shù)y=40x（x∈N*）進行描述;方案二可以用函數(shù)y=10x（x∈N*）進行描述;方案三可以用函數(shù)y=0.4×2_x-1（x∈N*）進行描述.三個模型中，第一個是常數(shù)函數(shù)，后兩個都是增函數(shù).要對三個方案做出選擇，就要對它們的增長情況進行分析.

在同一坐標系中作出三個函數(shù)的圖像，如圖9，方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，方案二、方案三的函數(shù)都是增函數(shù)，但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不相同.方案一和方案二增長量固定不變，而方案三是“指數(shù)增長”，其“增長量”是成倍增加的，從第7天開始，方案三比其他兩個方案增長得快得多.

學生填寫相關(guān)表格（表格形式略），計算出三個方案每天的回報數(shù)v、增長量和累計回報數(shù).然后教師用EXCEL軟件快速填好表格（如表2）.

因此，投資1-6天，應(yīng)選擇方案一;投資7天，應(yīng)選擇方案一或方案二;投資8-10天，應(yīng)選擇方案二;投資11天（含11天）以上，則應(yīng)選擇方案三.

函數(shù)關(guān)系是平面上點的集合，又可以看成平面上的一個“圖形”，在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線.因此，從某種意義上說，研究函數(shù)就是研究曲線的性質(zhì)，研究曲線的變化.在討論函數(shù)問題時，應(yīng)幫助學生養(yǎng)成畫函數(shù)圖像、用函數(shù)圖像思考問題的習慣.樹立“圖形意識”是掌握函數(shù)性質(zhì)、學好函數(shù)的關(guān)鍵.

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S]北京：人民教育出版社，2018.

[2]史寧中，王尚志普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）解讀[M]北京：高等教育出版社，2018.

（責任編輯 黃桂堅）