一堂“高斯算法”探究課實錄與反思

時花

[摘要]對高斯算法進(jìn)行了合理的延伸、探究，能讓學(xué)生體驗探究之樂，提高學(xué)生探究能力

[關(guān)鍵詞]高斯算法;探究課;實錄;啟示

[中圖分類號]

G633. 6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0001-02

在日常教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，教師的備課不是上課的“腳本”，我們應(yīng)根據(jù)學(xué)情，根據(jù)教學(xué)大綱不斷調(diào)整，這樣才能上出能讓學(xué)生“心動”的好課，筆者就曾經(jīng)遇到一回，為此撰文如下，與大家共享.

一、問題背景

筆者有幸聽了蘇教版七年級上冊第一章《我們與數(shù)學(xué)同行》第1.2節(jié)《活動思考》的一節(jié)公開課.在創(chuàng)設(shè)情境部分，教師出示了德國數(shù)學(xué)家高斯對于正整數(shù)從1加到100的巧妙算法，學(xué)生大為驚訝，夢想自己也能有新發(fā)現(xiàn).為了讓學(xué)生一試身手，筆者對高斯算法進(jìn)行了合理地延伸、開發(fā)，安排了一節(jié)探究課，讓學(xué)生體驗探究之樂.

二、探究之旅

第一站 高斯算法與數(shù)列

[例1]用字母n分別表示下面各數(shù)列第n項及前n項的和：

（I）l、3、5、7、9、…;

（2）1、5、9、13、17、…;

（3）1、2、4、7、11、16、….

數(shù)列（1），學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)它們?nèi)瞧鏀?shù)，既然是奇數(shù)，那么第n項就是2n-l.如何求前n項的和？有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了以下解法：

“還有沒有其他算法呢？”筆者接著啟發(fā)學(xué)生.看著學(xué)生一時找不到突破口，筆者提示：這個數(shù)列按從小到大進(jìn)行排列，若將數(shù)列從大到小進(jìn)行排列，找找看有什么新發(fā)現(xiàn)？學(xué)生很快找到以下算法：

看著學(xué)生學(xué)習(xí)熱情高漲，筆者又提出了數(shù)列（2），學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列中彼此相鄰的兩個數(shù)的差距都是4，因此，這數(shù)列可以表示為1、l+lx4、1+2x4、1+3x4、1+4x4、…、1+4（n-l），所以第n項就是4n-3，前n項

沒有翻不過的高山，沒有趟不過的大河.只要努力，就可以攻克更難的問題.接著，筆者又出示了數(shù)列（3），提問學(xué)生：你們有什么發(fā)現(xiàn)？師生討論后發(fā)現(xiàn)相鄰兩數(shù)的差距依次多1，數(shù)列（3）可以分解如下：

實際上，上述計算分別應(yīng)用了倒序相加法及拆項重組法，學(xué)生在步步深入的問題中收獲頗豐.

第二站高斯算法與幾何計數(shù)

[例2]如圖1，線段上有3個點時，線段共有3條;如圖2，線段上有4個點時，線段共有6條;如圖3，線段上有5個點時，線段共有10條.

（1）當(dāng)線段上有6個點時，線段共有多少條？

（2）當(dāng)線段上有n個點時，線段共有多少條？（用n的代數(shù)式表示）

（3）當(dāng)n=100時，線段共有多少條？

解析：當(dāng)線段上有3個點、4個點、5個點時，我們可以一個一個地數(shù)出，當(dāng)線段上有100個點、n個點時就不能一個一個地數(shù)出了，必須找出其中的規(guī)律來.通過下面的列表，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

[例3]用火柴棒擺出下列一組圖形：

（1）填寫下表：

（2）照這樣的方式擺下去，寫出擺第n個圖形中的火柴棒數(shù);（用含n的代數(shù)式表示）

（3）如果某一圖形共有2012根火柴棒，你知道它是第幾個圖形嗎？

解析：（l）第一個圖形中火柴棒數(shù)=2+5=7，第二個圖形中火柴棒數(shù)=2+5+5=12，第三個圖形中火柴棒數(shù)=2+5+5+5 =17;故答案為：7;12;17;

（2）由（1）的規(guī)律可知，第n個圖形的火柴棒根數(shù)=2+5n：

（3）由題意可知2012=2+5n，解得n=402，所以，是第402個圖形.

經(jīng)過解決上述三個問題，學(xué)生能很快解決以下課本探究問題：

有一批大小相同的呈正方體形的物件，按照上面少、下面多的方式，堆放于倉庫的墻角處.從上至下，第一層放1件，第二層放3件，第三層放6件……各層放置的平面圖形如下：

如果這堆物件一共堆放了10層，則第10層放有

件這樣的物件;這一堆共有

件這樣的物件.

三、教學(xué)啟示

通過系列問題的探究，一方面使學(xué)生看到了數(shù)學(xué)在計數(shù)方面獨特的價值，另一方面學(xué)生在解決生活中的問題后，感到無比的快樂，增加了學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這樣學(xué)生學(xué)到的數(shù)學(xué)才是有價值的.進(jìn)行歸類教學(xué)，通過多題歸宗的方法，使學(xué)生能看到問題的本質(zhì)，做到觸類旁通.同時，問題的設(shè)計是遞進(jìn)式的，符合人認(rèn)識問題的規(guī)律，在問題的聚與散過程中，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維，啟迪了學(xué)生的創(chuàng)新意識，使學(xué)生享受著數(shù)學(xué)探究帶來的快樂.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）