多面體外接球的求解策略

陳文旭

[摘要]多面體外接球的問題，逐漸成為近幾年高考的熱門考點(diǎn)為了強(qiáng)化多面體外接球問題的教學(xué)效果，需要對這類問題做一個(gè)詳細(xì)的分析，總結(jié)求解策略并推廣應(yīng)用

[關(guān)鍵詞]多面體;外接球;求解策略

[中圖分類號]

G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058（2020）17-0010-02

多面體外接球的問題比較抽象，空間想象能力一般的學(xué)生往往都找不到球心位置，無法建立必要的數(shù)量關(guān)系等式.高中數(shù)學(xué)人教版必修2教材，只是涉及球的概念、球表面積公式和體積公式，對多面體外接球的幾何性質(zhì)涉及的內(nèi)容很少.筆者對此類問題做一個(gè)補(bǔ)充，以讓學(xué)生會求解此類問題，并學(xué)會舉一反三.

一、公式法

對于規(guī)則的多面體，運(yùn)用公式直接求多面體外接球的半徑.例如：

正方體外接球半徑： （a為正方體棱長）.

長方體外接球半徑： 別為長方體的長、寬、高）. 直棱柱外接球半徑： c底面多邊形外接網(wǎng)的半徑r，直棱柱的高h(yuǎn)）.

[例1]-個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9/8，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為

二、補(bǔ)形法

一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直（題目條件可能隱含，需要加以證明兩兩垂直），且其長度分別為a、b、c，則可將這個(gè)三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長方體.于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為R，則有 （注意：當(dāng)a=b=c時(shí)，補(bǔ)成正方體）.

[例2]已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為（

）.

分析：本題考查學(xué)生的空間想象力，用補(bǔ)形法解決外接球問題.通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決.

三、確定球心位置法

若幾何體無法補(bǔ)形，可考慮根據(jù)多面體幾何性質(zhì)，找出球心的位置，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.

[例3]設(shè)A、B、C、D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為 ，則三棱錐D- ABC體積的最大值為（

）.

分析：本題確定了球心的位置后，可判斷出當(dāng)DM上平面ABC時(shí)，三棱錐D-ABC體積最大.由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到 ，再由前面所提到的公式 得到OM，進(jìn)而解決問題.

[例4]正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（

）.

解：如圖3，正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO¹上，記為O，PO=AO=R，PO¹=4，oo¹=4-R，

在Rt△AOO¹中， 由勾股定理R₂=2+（4-R）₂得R=9/4，

球的表面積 .

四、尋求軸截面圓法

尋找外接球的一個(gè)軸截面網(wǎng)，該網(wǎng)的半徑就是所求的外接球半徑，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化成平面幾何問題.

[例5]中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉儒，如圖4為一個(gè)陽馬與一個(gè)鱉儒的組合體，已知PA上平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=2，ED=1，若鱉儒P-ADE的外接球的體積為9/2π，則陽馬P- ABCD的外接球的表面積等于

分析：由鱉儒定義可知，四個(gè)面都為直角三角形，軸截面網(wǎng)的直徑PE所對的網(wǎng)周角∠PDE、∠PAE都是直角，PE是鱉膈P-ADE外接球的軸截面網(wǎng)的直徑.同理，圓周角∠PDC、∠PBC、∠PAC都是直角，PC為陽馬P-ABCD外接球的直徑.

綜上所述，解決多面體與球的內(nèi)接問題的關(guān)鍵是緊扣球心的位置，球心到多面體各頂點(diǎn)的距離等于球的半徑，或者尋找兩個(gè)不同的球截面，過截面的網(wǎng)心分別作面的垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)即是球心.具體先看多面體是否可以補(bǔ)為長方體，若可以，則長方體的體對角線長即為外接球的直徑;若不可以，找球心的大致位置，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來求解.

[參考文獻(xiàn)]

[1]黃喜濱，江澤基于核心素養(yǎng)的空間幾何體外接球之探究[J]福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（8）：15 -18

[2]武增明確定多面體外接球的球心的策略[J]中學(xué)數(shù)學(xué)雜志.2013（1）：36-37.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）