中考應(yīng)用題解題策略研究

于艷芹

[摘要]探討數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的解題策略具有重要的現(xiàn)實(shí)意義不僅能讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題，還能提高學(xué)生的解題能力

[關(guān)鍵詞]中考;應(yīng)用題;解決策略

[中圖分類號(hào)]

G633. 6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（2020）17-0012-02

在近幾年的中考數(shù)學(xué)中，增加了應(yīng)用題，這些應(yīng)用題具有鮮明的特色，它的背景素材取白現(xiàn)實(shí)生活，并與熱點(diǎn)鏈接，且涉及面廣.題日通常文字?jǐn)⑹霰容^冗長(zhǎng)，有諸多干擾因素.如果學(xué)生不能抓住要害，找出解答的關(guān)鍵信息，就不能正確解題.在解答這類題時(shí)，要學(xué)會(huì)“抽絲剝繭”，聯(lián)系學(xué)過的知識(shí)，通過觀察、分析、概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決.

一、應(yīng)用方程或方程組解決二氧化碳排放問題

中考數(shù)學(xué)常把方程作為命題的重點(diǎn)，這就要求學(xué)生要關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活，了解現(xiàn)代社會(huì)的日常事務(wù)，能夠用方程思想審視和解決一些實(shí)際問題.運(yùn)用方程或方程組解決問題的一般步驟為：一認(rèn)真審清題意，分清題中的已知量與未知量;二根據(jù)所求量設(shè)出未知數(shù)，要注意統(tǒng)一單位;三是找出等量關(guān)系，使它能夠反映應(yīng)用題的全部意義;四構(gòu)造方程或者列方程組;五解方程（組）;六檢驗(yàn)并寫出答案.

[例1]近幾年某地在全面推進(jìn)“兩型社會(huì)”建設(shè)方面成效顯著，低碳環(huán)保、生態(tài)節(jié)能的生活方式已成為社會(huì)共識(shí).楊先生要從某地到長(zhǎng)沙，若乘飛機(jī)需要3h，乘汽車需要9h這兩種交通工具每小時(shí)排放的二氧化碳總量為70kg，已知飛機(jī)每小時(shí)二氧化碳的排放量比汽車多44kg.問：

（1）汽車、飛機(jī)每小時(shí)二氧化碳的排放量各是多少千克？

（2）楊先生若乘汽車來長(zhǎng)沙，那么他此行與乘飛機(jī)相比將減少二氧化碳排放量多少千克？

解析：（1）設(shè)汽車每小時(shí)二氧化碳的排放量是x千克，飛機(jī)每小時(shí)二氧化碳的排放量是y千克，根據(jù)題意列出方程組.即

故汽車每小時(shí)二氧化碳的排放量是57千克，飛機(jī)每小時(shí)二氧化碳的排放量是13千克.

（2）利用“減少二氧化碳排放量=飛機(jī)每小時(shí)二氧化碳的排放量×乘飛機(jī)所需時(shí)間-汽車每小時(shí)二氧化碳的排放量×乘汽車所需時(shí)間”計(jì)算，即57x3-13x9=54（千克）.

評(píng)注：本題關(guān)注的熱點(diǎn)是“低碳生活”，通過問題向?qū)W生普及了乘飛機(jī)比乘汽車排放的二氧化碳要多得多，鼓勵(lì)人們?cè)陲w機(jī)與汽車之間選擇時(shí)，應(yīng)選擇乘汽車.在解決問題的過程中，關(guān)注其中的數(shù)量關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵。

二、應(yīng)用不等式或不等式組解決方案設(shè)計(jì)問題

在現(xiàn)實(shí)世界里，不僅存在相等的數(shù)量關(guān)系，也存在不相等的數(shù)量關(guān)系.如大于、小于、不等于、至少、至多等.這是因?yàn)橹T多現(xiàn)實(shí)問題有時(shí)不容易確定其具體數(shù)值，有時(shí)也不需要確定其具體數(shù)值，但是要想對(duì)所關(guān)注的問題有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)，需要確定這些量的波動(dòng)范圍，這就是不等式或不等式組所解決的問題.建立不等式或不等式組時(shí)，從題意出發(fā)，只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，弄清問題所描述的實(shí)際情況，找出能反映應(yīng)用題全部含義的不等關(guān)系.

[例2]為了改善我市職工生活環(huán)境，完善小區(qū)生活配套設(shè)施，市政府決定在“綜合整治”規(guī)劃中將200噸水泥和120噸外墻涂料運(yùn)往我市的A鎮(zhèn)，現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共8輛將這批水泥和外墻涂料全部運(yùn)出，已知一輛甲種貨車可裝水泥和外墻涂料各20噸，一輛乙種貨車可裝水泥40噸和外墻涂料10噸.

（l）如果同時(shí)使用這兩種貨車，一次性送到A鎮(zhèn)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一下運(yùn)輸方案.

（2）如果甲貨車使用一次需要960元，乙貨車使用一次需要1200元，如何運(yùn)輸費(fèi)用最少？

解析：（1）設(shè)安排甲貨車x輛，乙貨車（8-x）輛，根據(jù)題意列出不等式組

解得4≤x≤6.又x為整數(shù)，所以x為4，5，6，有三種方案.

方案一：甲貨車4輛，乙貨車4輛.

方案二：甲貨車5輛，乙貨車3輛.

方案三：甲貨車6輛，乙貨車2輛.

（2）根據(jù)（1）得出三種方案的費(fèi)用，進(jìn)而比較即可.

方案-：4x960+4x1200=8640（元）.

方案二：5x960+3x1200=8400（元）.

方案三：6x960+2x1200=8160（元）.

8640>8400>8160

評(píng)注：本題考查了方案設(shè)計(jì)問題.有時(shí)解決問題的方案可能不止一種，那么到底有哪幾種方案可供選擇？在這幾種方案中，哪一種是合適的？這里的“合適”需要根據(jù)實(shí)際情況而定，有時(shí)優(yōu)先考慮時(shí)間，有時(shí)優(yōu)先考慮費(fèi)用，有時(shí)優(yōu)先考慮事情的方便，等等.此題優(yōu)先考慮費(fèi)用問題，把它作為方案的首選因素.

三、應(yīng)用二次函數(shù)解決最大利潤(rùn)問題

函數(shù)及其圖像是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接最好的部分.中考數(shù)學(xué)一方面考查函數(shù)的圖像與性質(zhì)，另一方面考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，函數(shù)的應(yīng)用題常作為中考數(shù)學(xué)的壓軸題，難度相對(duì)較大，所以應(yīng)把函數(shù)的應(yīng)用作為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重點(diǎn).解決這類問題首先要審清題意，辨析出問題對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型，嘗試用一個(gè)變量的代數(shù)式表示另一個(gè)變量，實(shí)際上就是建立函數(shù)關(guān)系式，同時(shí)，應(yīng)根據(jù)題意明確自變量的取值范圍，在實(shí)際問題里，白變量的取值范圍都有一定的局限性，必須使實(shí)際問題有意義.

[例3]母親節(jié)人們常為母親送花，星星鮮花超市采購(gòu)了一批鮮花，經(jīng)分析上一年的銷售情況，發(fā)現(xiàn)該鮮花禮盒的周銷售量y（盒）是銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)，已知銷售單價(jià)為70元/盒時(shí)，銷售量為160盒;銷售單價(jià)為80元/盒時(shí)，銷售量為140盒.

（1）求該周銷售量y（盒）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的一次函數(shù)解析式;

（2）若按去年方式銷售，已知今年該鮮花禮盒的進(jìn)價(jià)是每盒50元，商家要求該周至少要賣110盒，請(qǐng)你幫店長(zhǎng)算一算，要完成商家的銷售任務(wù)，銷售單價(jià)不能超過多少元？

（3）在（2）的條件下，銷售單價(jià)x為何值時(shí)，花店該周銷售鮮花禮盒獲得的利潤(rùn)最大？并求出獲得的最大利潤(rùn).

解析：（l）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kx+b，把x=70、y=160和x=80、y=140代入求出k、b的值即可.設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=kX+b，

（2）由y≥ll0列出關(guān)于x的不等式，解之可得.由題意可得v≥ll0， -2x+300≥110，解得x≤95， 銷售單價(jià)不能超過95元.

（3）設(shè)銷售利潤(rùn)為w元，根據(jù)“總利潤(rùn)=單價(jià)利潤(rùn)×銷售量”列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得.即設(shè)銷售利潤(rùn)為w元，

則w=（x-50）（-2x+300）=-2x2+400x-15000=-2（x-100）₂+5000.

∵-2<0，對(duì)稱軸為x=100，∴當(dāng)50≤x≤95時(shí)，w隨x的增大而增大，

∴當(dāng)x=95時(shí)，w取得最大值，最大值為4950.

評(píng)注：本題的銷售量與銷售單價(jià)成一次函數(shù)，銷售利潤(rùn)與銷售單價(jià)成二次函數(shù).確定一次函數(shù)關(guān)系式時(shí)采用待定系數(shù)法，確定二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)采用列代數(shù)式的方法.二次函數(shù)中自變量的取值范圍來自一次函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)緊密聯(lián)系在一起.一般地，求最值的實(shí)際問題，常需要建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)最值的性質(zhì)去求.

四、應(yīng)用統(tǒng)計(jì)了解中學(xué)生的課余生活

統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)模型比其他數(shù)學(xué)模型有著更豐富的生活背景，它的應(yīng)用價(jià)值也更強(qiáng)，也是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問題，它主要考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思想、用樣本估計(jì)總體的思想等，另一方面也考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、分析處理數(shù)據(jù)的能力.

[例4]為了解某中學(xué)學(xué)生課余生活情況，包括看課外書、體育鍛煉、觀看視頻、參與社會(huì)活動(dòng)，調(diào)查時(shí)抽取幾名學(xué)生，并將得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行了收集整理，并制成了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（如圖1），根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，解答：

（1）n=____，扇形統(tǒng)計(jì)圖中看課外書的扇形網(wǎng)心角為

;

（2）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;

（3）已知這所中學(xué)有學(xué)生1200個(gè)，那么這所中學(xué)喜歡看電視的有多少人？

解析：（1）根據(jù)社會(huì)實(shí)踐的學(xué)生數(shù)和所占的百分比可以求得本次調(diào)查的人數(shù)和扇形統(tǒng)計(jì)圖中看課外書的扇形網(wǎng)心角的度數(shù).即n=5÷10%=50，扇形統(tǒng)計(jì)圖中看課外書的扇形網(wǎng)心角為360°×15/50=108°，故答案為50，108.

（2）根據(jù)（1）中n的值可以得到看電視的學(xué)生數(shù)，從而可以將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.即：選擇看電視的學(xué)生有：50-15-20-5=10，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖2所示.

（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出該校喜愛看電視的學(xué)生人數(shù)1200×10/50= 240（人）.

數(shù)學(xué)知識(shí)來自于生活，又高于生活，是對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)的提煉與概括，是實(shí)際問題的一般形式，揭示了事物的本質(zhì)特征.我們掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)后，反過來可以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析現(xiàn)實(shí)問題，指導(dǎo)我們的生活，這就是數(shù)學(xué)與生活的相互聯(lián)系.在解決實(shí)際問題時(shí)，首先要分析出它對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，是方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)還是幾何圖形，然后應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識(shí)解答，也就將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)問題的解決，從而解決實(shí)際問題.