平面幾何入門的語言教學(xué)探究

熊娜

摘? 要：幾何語言作為幾何證明的表達方式，是平面幾何入門時必跨的一道門檻。不少學(xué)生剛接觸時，覺得很困難，第一個關(guān)卡就是幾何語言，比如：概念不理解、圖形不熟悉、不會表達等。本文在教學(xué)實踐的基礎(chǔ)上進行了探索，對原因和語言教學(xué)進行了分析。

關(guān)鍵詞：平面幾何? 幾何語言? 幾何教學(xué)

中圖分類號：G633.6? ? ? ? ?文獻標(biāo)識碼：C? ? ? ? ? ? 文章編號：1672-1578（2020）01-0092-02

平面幾何是在平面上研究幾何圖形的形狀、位置、數(shù)量關(guān)系等性質(zhì)[1]。在平面幾何的入門教學(xué)中，基本概念、名詞、符號語言等都將一一出現(xiàn)。學(xué)生在小學(xué)階段習(xí)慣于數(shù)式計算，而進入初中后要開始研究圖形，這就使得部分學(xué)生在初學(xué)幾何時感到不適應(yīng)。所以，抓好平面幾何的入門教學(xué)可以幫助學(xué)生順利進入圖形的學(xué)習(xí)。在平面幾何入門教學(xué)中，學(xué)生要想理解概念、找出基本圖形、準(zhǔn)確而靈活地進行邏輯推理和演繹推理，就必須先學(xué)會準(zhǔn)確地理解、表述幾何語言。

1? ?問題提出

1.1 統(tǒng)計調(diào)查

近幾年，在七、八兩個年級中對部分學(xué)生進行了調(diào)查，結(jié)果從主觀和數(shù)據(jù)上都反映幾何語言已經(jīng)成為幾何教學(xué)中的一項急需解決的問題。部分調(diào)查如下：

（1）“在學(xué)習(xí)幾何時，你覺得哪個方面最困難？”

A、基本概念? ?B、識別圖形? ?C、幾何語言的理解與表述

D、順利說理? ?E、沒有困難

據(jù)2017、2018年統(tǒng)計，選C的學(xué)生占29.8%，僅次于選D的38.1%;而選擇A、B、E的分別占5.2%、11.8%和15.1%。

（2）作圖：在直線AB上取一點C。

據(jù)2018年統(tǒng)計，50%的七年級學(xué)生畫成圖1。

（3）不能改正“直線外一點到直線的垂線段，叫做這個點到這條直線的距離”這句話錯誤的學(xué)生占48%。

1.2 分析原因

1.2.1 教學(xué)內(nèi)容的變化

教學(xué)內(nèi)容從代數(shù)到圖形的變化，引起數(shù)學(xué)語言從代數(shù)語言到幾何語言的變化。例如，有理數(shù)減法法則“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”，可以表述為a-b=a+（-b）。代數(shù)中類似的文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言都比較簡單，學(xué)生容易理解。但是，幾何中的文字語言，對于不同的圖形、不同的字母并沒有統(tǒng)一規(guī)定。因而，學(xué)生可能會把圖形語言、文字語言、符號語言這三者分裂開來，只是單純地記憶概念、定理，做題時卻不會靈活地進行推理論證。

1.2.2 幾何語言與日常用語的沖突

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要求嚴(yán)謹(jǐn)，七年級學(xué)生思維能力、分析能力不強，很多學(xué)生會混淆概念、定理中的文字語言與日常生活用語。例如，上面調(diào)查中，在直線AB上取一點C，很多初學(xué)者都畫成點C在直線AB上方。究其原因，是我們在日常生活中，對“上”的理解多為方位上的上方。這是由于幾何概念的本質(zhì)，引起幾何語言與日常用語的不同。

1.2.3 圖形語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)化

學(xué)生不能根據(jù)題目要求將圖形語言準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為符號語言。例如圖2，AD平分∠BAC，可以轉(zhuǎn)化為符號語言：∠BAD=∠CAD，∠BAD=1/2∠BAC，∠CAD=1/2∠BAC，∠BAC=2∠BAD，∠BAC=2∠CAD，具體使用哪個結(jié)論要看題目要求。而很多學(xué)生只會得出∠BAD=∠CAD這個結(jié)論。

1.3 反思提問

在幾何入門中，類似的問題層出不窮，筆者認(rèn)為要解決此類問題，不妨讓學(xué)生先學(xué)會運用幾何語言。那么，又有哪些常用的幾何語言？如何在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的幾何語言，加強符號語言能力，幫助學(xué)生度過語言這一關(guān)呢？這些正是本文要探索解決的。

2? ?入門階段使用的幾何語言

平面幾何在入門階段的教學(xué)中，提出并使用了大量的符號語言，它們更簡練、更嚴(yán)謹(jǐn)，主要有以下幾種：

2.1 常用的幾何術(shù)語

如“任意（取）” “任何一個” “分別” “有且只有”等，學(xué)生常常會理解錯誤。例如，“在直線AB外取一點C”，這里“取”并不完全是“隨意取”，因為直線可以向兩邊無限延長，所以要保證直線不經(jīng)過點C;而“在射線OA上取一點P”，這里的“取”就是“任意取”的意思。

2.2 表示圖形位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的名詞

如“相交” “相鄰” “垂直” “等角” “補角” “平分”等，學(xué)生常常不能分辨出這些名詞是指幾個圖形之間的關(guān)系。例如，“等角的補角相等”，部分學(xué)生不明白這句話指的是幾個角之間的關(guān)系;它們還分不清“互余”、“互補”都是指兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，而不是位置關(guān)系[2]。

2.3 表示畫圖、尺規(guī)作圖的語句

如“連接” “延長” “反向延長線段AB至點C，使得AC=AB”、“過點P作直線AB的垂線CD，垂足為點O”等，部分學(xué)生不能根據(jù)題意準(zhǔn)確地畫出圖形;反過來，尺規(guī)作圖后又不能使用規(guī)范的文字語言來描述圖形語言。

3? ?加強學(xué)生幾何語言能力的教學(xué)探索

平面幾何教學(xué)中涉及三種數(shù)學(xué)語言：文字語言、圖形語言和符號語言。正確掌握這三種數(shù)學(xué)語言之間的相互轉(zhuǎn)化，是初步學(xué)好幾何的重要條件[3]。針對學(xué)生學(xué)習(xí)幾何語言產(chǎn)生的種種困難及原因，筆者進行了一些教學(xué)探索。

3.1 教師的課堂語言

幾何學(xué)習(xí)入門階段，教師在課堂上對圖形的描述、分析、畫法，以及講解例題和板書時，都會對學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響。例如，教學(xué)“兩點之間確定一條直線”，要引導(dǎo)學(xué)生理解“確定”是“有且只有”的意思，“有”表示存在，“只有”表示唯一存在。不能用日常語言去理解類似的符號語言，兩者之間是有區(qū)別的。

在學(xué)習(xí)同位角的概念時，如圖3，蘇教版七年級下冊教材上是這樣給的“在兩條直線a、b被第三條直線c所截而成的8個角中，像∠1與∠2這樣的一對角稱為同位角”。會有學(xué)生這樣理解，認(rèn)為同位角即“位置相同”的角，誤以為圖4中的∠1與∠2是同位角。教學(xué)中應(yīng)該明確闡述“位置相同”的含義，是指“這兩個角分別在兩條直線相同的一側(cè)，并且都在第三條直線的同旁”。因此，教師在課堂上必須要做到語言精準(zhǔn)、板書準(zhǔn)確、畫圖規(guī)范，給學(xué)生正確的示范。

3.2 重視基礎(chǔ)語言訓(xùn)練

從基本概念、基本事實、定理入手，抓好幾何語言的教學(xué)。嚴(yán)格要求學(xué)生在課堂上仔細(xì)閱讀教材，讀懂教材上的文字語言所表達的內(nèi)容，對概念、基本事實、定理進行復(fù)述和記憶，從而使學(xué)生進一步理解常用的幾何語言[2]。這樣也有利于培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，避免因看不懂題而無從下筆。

必要時應(yīng)幫助學(xué)生分析幾何語句，使學(xué)生能理清句子的主要成分，從而理解句子所要表達的意思。例如，在定理“直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短”的教學(xué)中，幫助學(xué)生把點到直線的距離理解為“垂線段的長度”。這樣，不僅有利于學(xué)生對概念本質(zhì)的掌握，也避免前面調(diào)查第3題的錯誤。

3.3 加強文字語言與符號語言的互相轉(zhuǎn)化訓(xùn)練

3.3.1 將文字語言翻譯為符號語言

根據(jù)概念、定理的文字語言，準(zhǔn)確地畫出圖形，再轉(zhuǎn)化為簡明的符號語言。例如，在教定理“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”時，應(yīng)該先讓學(xué)生理解文字語言所表達的含義，再讓他們畫出正確的圖形（如圖5），最后根據(jù)圖形語言準(zhǔn)確地表達出符號語言。在此基礎(chǔ)上，可以訓(xùn)練學(xué)生對于命題的證明。

例如，證明“直角三角形的兩個銳角互余”：

已知：如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，求證：∠A+∠C=90°。

這樣，在證明文字命題時，用同樣的方法根據(jù)文字語言畫出圖形語言，分清“已知”與“求證”，從而克服在推理教學(xué)中語言轉(zhuǎn)化的障礙，對于后面的說理論證很有幫助。

3.3.2 將符號語言翻譯為文字語言

可以采用讓學(xué)生“看圖說話”的形式，即先把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，再轉(zhuǎn)化為文字語言。如圖7，學(xué)生根據(jù)圖中的OM=ON，l⊥MN于點O，說出“直線l垂直平分MN”等。教學(xué)中還可以讓學(xué)生概括出一些簡單的定理，比如“平行線的性質(zhì)” “三角形的內(nèi)角和定理”等。

在此基礎(chǔ)上，進而要求學(xué)生根據(jù)圖形語言和符號語言，用簡練準(zhǔn)確的文字語言表達出相應(yīng)的幾何結(jié)論（如命題等）。

例如，如圖8，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點M、N，MG平分∠AMF，NH平分∠CNE，MG、NH相交于點O，求證：MG⊥NH（證明過程略）。

根據(jù)圖8，用對應(yīng)的符號語言說出條件和結(jié)論，學(xué)生可以概括出命題“兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相垂直”。

4? ?結(jié)語

綜上所述，抓好幾何語言是平面幾何教學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好平面幾何，有利于提高學(xué)生的邏輯思維能力，更好地發(fā)展學(xué)生合情推理、演繹推理的能力，也為立體幾何的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。從七年級開始，教師就要不斷地探索幾何語言的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生扎實的幾何語言基本功，帶領(lǐng)學(xué)生感受平面幾何的美。

參考文獻：

[1] 高一子.基本圖形在平面幾何中的教學(xué)運用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2015（6）：38.

[2] 楊裕前.平面幾何入門教學(xué)[M].江蘇：江蘇教育出版社，1988：66.

[3] 謝一平.淺談幾何入門的語言教學(xué)和推理論證教學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化：學(xué)研版，2013（5）：50.