矩陣對(duì)數(shù)公式及其應(yīng)用

李 婉，張 林

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

量子信息科學(xué)是近年來興起的一門量子力學(xué)與信息學(xué)的交叉學(xué)科?！办亍弊鳛榱孔有畔⒅械囊粋€(gè)重要概念，用來度量系統(tǒng)狀態(tài)的不確定性，在量子信息論、量子計(jì)算、量子通信中均有廣泛應(yīng)用。而量子態(tài)的馮·諾依曼熵與相對(duì)熵的定義[1]都涉及矩陣對(duì)數(shù)的計(jì)算，所以關(guān)于矩陣對(duì)數(shù)的研究非常有意義。文獻(xiàn)[2]提出并非所有矩陣都存在矩陣對(duì)數(shù)，矩陣存在對(duì)數(shù)的充要條件為該矩陣可逆，且可逆矩陣的對(duì)數(shù)不唯一；文獻(xiàn)[3]提出無負(fù)實(shí)數(shù)特征值的可逆矩陣存在唯一的矩陣對(duì)數(shù)，特別地，正定矩陣存在唯一的矩陣對(duì)數(shù)。而關(guān)于矩陣對(duì)數(shù)的計(jì)算已有眾多研究，文獻(xiàn)[4]針對(duì)k-循環(huán)矩陣、斜k-循環(huán)矩陣、Hermitiank-循環(huán)矩陣三類循環(huán)矩陣給出矩陣對(duì)數(shù)的算法；文獻(xiàn)[5]提出一種計(jì)算主矩陣對(duì)數(shù)的Fibonacci-Horner和多項(xiàng)式分解的方法；但這些結(jié)果仍未給出具體的矩陣對(duì)數(shù)計(jì)算公式，文獻(xiàn)[6]針對(duì)集合{I(1-t)+At∶t∈[0,1]}(I為單位矩陣，A為任意實(shí)矩陣)中的矩陣給出其主矩陣對(duì)數(shù)的顯式多項(xiàng)式公式。本文則針對(duì)有限階具有互異特征值的正定矩陣給出矩陣對(duì)數(shù)公式，將矩陣對(duì)數(shù)僅表示成有限個(gè)矩陣冪的線性組合的形式。

1 n階正定矩陣的對(duì)數(shù)公式

本文的矩陣對(duì)數(shù)是指函數(shù)演算意義下的矩陣對(duì)數(shù)。具體而言，對(duì)于n×n階正定矩陣A，設(shè)a1,a2,…,an為其特征值，diag(a1,a2,…,an)表示以a1,a2,…,an作為對(duì)角元的對(duì)角矩陣。存在酉矩陣U，使得A=Udiag(a1,a2,…,an)U-1，則矩陣對(duì)數(shù)ln(A)按如下方式計(jì)算：

下面給出的矩陣對(duì)數(shù)公式將矩陣對(duì)數(shù)表示為有限個(gè)矩陣冪的線性組合，線性組合的系數(shù)僅與矩陣的特征值有關(guān)。

ln(A)=α0In+α1A+…+αn-1An-1

證明若pA(x)=det(xIn-A)=xn+c1xn-1+c2xn-2+…+cn-1x+cn為矩陣A的特征多項(xiàng)式，則由Cayley-Hamilton定理[7]，可得：

pA(A)=An+c1An-1+c2An-2+…+cn-1A+cnIn=0

即In,A,A2,…,An線性相關(guān)。又由矩陣A有n個(gè)互異的特征值，易知In,A,A2,…,An-1線性無關(guān)，則可設(shè)

E=ln(A)=α0In+α1A+…+αn-1An-1

(1)

在式(1)兩邊依次左乘矩陣A,A2,…,An-1，對(duì)所得矩陣方程組的各式兩邊取跡有

即有

(2)

又由a1,a2,…,an為矩陣A的n個(gè)特征值，有

(3)

聯(lián)立式(2)、式(3)，可得：

(4)

量子態(tài)的馮·諾依曼熵與相對(duì)熵的定義均涉及矩陣對(duì)數(shù)的計(jì)算，有了上述正定矩陣的矩陣對(duì)數(shù)公式，下面給出量子比特的馮·諾依曼熵與相對(duì)熵的新的表示。

2 量子比特的熵與相對(duì)熵

在量子信息中，量子態(tài)的數(shù)學(xué)描述為密度矩陣，即跡為1的半正定矩陣。下面給出n階量子態(tài)的馮·諾依曼熵與相對(duì)熵的定義。

定義[1]對(duì)于給定的n階量子態(tài)ρ和σ，ρ的馮·諾依曼熵定義為：

S(ρ)=-Tr(ρlnρ)

(5)

ρ和σ的相對(duì)熵定義為：

(6)

量子態(tài)馮諾依曼·熵的計(jì)算在量子信息中具有重要的應(yīng)用，比如量子Jensen-Shannon散度[8]作為混合態(tài)之間區(qū)分度的一種測(cè)量，其定義涉及到量子態(tài)的馮·諾依曼熵的計(jì)算。下面利用量子比特態(tài)的Bloch表示給出量子比特態(tài)的馮·諾依曼熵與相對(duì)熵的簡單表示。

推論1對(duì)于量子比特態(tài)ρ，記其Bloch矢量的長度為r。若0

ln(ρ)=α0(r)I2+α1(r)ρ

(7)

推論2ρ,σ為2個(gè)量子比特態(tài)，記ρ,σ的Bloch矢量分別為r=(r1,r2,r3)，s=(s1,s2,s3)，ρ,σ的Bloch矢量的長度分別為0

(1)ρ的馮·諾依曼熵為

(2)ρ,σ的相對(duì)熵為

其中，α0(r),α0(s),α1(r),α1(s)由推論1給出，〈r,s〉=r1s1+r2s2+r3s3表示向量內(nèi)積。

證明由推論1，有

ln(ρ)=α0(r)I2+α1(r)ρ，ln(σ)=α0(s)I2+α1(s)σ，

將ln(ρ)，ln(σ)代入式(5)易得S(ρ)。將ln(ρ)，ln(σ)代入式(6)，有

證畢。

3 結(jié)束語

本文主要研究任意有限階具有互異特征值的正定矩陣的對(duì)數(shù)公式，并利用二階正定矩陣對(duì)數(shù)公式及二階量子態(tài)的Bloch表示給出量子比特的馮·諾依曼熵與相對(duì)熵的新的表示。本文得到的矩陣對(duì)數(shù)公式形式簡單具體，便于進(jìn)行含有矩陣對(duì)數(shù)的量之間的運(yùn)算。量子比特的熵與相對(duì)熵的新的表示為二階量子態(tài)的熵的相關(guān)運(yùn)算提供更多便利。在此基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究量子比特態(tài)的量子Jensen-Shannon散度新的表示，從而進(jìn)一步研究其下邊界。