非線性模糊Volterra積分微分方程的解析解

馬逸民，洪世煌

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

模糊Volterra積分微分方程是模糊分析理論的重要組成部分，在控制理論中具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。許多學(xué)者對(duì)模糊Volterra積分微分方程做了大量研究。如B.Bede等[1-2]給出廣義Hukuhara導(dǎo)數(shù)的概念，利用特征定理將一階模糊微分方程轉(zhuǎn)化為微分方程組，求出一階模糊微分方程的數(shù)值解。J.Matkowski[3]研究了度量空間上的廣義壓縮。本文主要討論非線性模糊Volterra積分微分方程的解析解，證明了非線性模糊Volterra積分微分方程解的存在唯一性，推廣了文獻(xiàn)[2]中的特征定理，并獲得了非線性模糊Volterra積分微分方程的解的解析表達(dá)式。

1 預(yù)備知識(shí)

R表示實(shí)數(shù)集，記RF={u|u∶R→[0,1]}，若下列性質(zhì)成立，則稱RF為模糊數(shù)空間[1-2]。

(1)u是正規(guī)的，即存在x0∈R，使得u(x0)=1；

(3)u在R上是上半連續(xù)的；

顯然R∈RF，其中R={X{x}∶x是一個(gè)常實(shí)數(shù)}，X是一個(gè)特征函數(shù)。

定義函數(shù)d∞∶RF×RF→R+∪{0}如下：對(duì)于任意的u,v∈RF，

定理1[3]令(X,d)是完備度量空間，自映射T∶X→X滿足

定義1[2,4]令x,y∈RF。若存在z∈RF，使得x=y+z，則稱z是x與y的Hukuhara差，記作x-Hy。

定義2[1]令f∶(a,b)→RF且x0∈(a,b)。若存在f′(x)∈RF使得：

(1)對(duì)于足夠小的h>0，f(x0+h)-Hf(x0)和f(x0)-Hf(x0-h)存在且極限

則稱f在點(diǎn)x0是(1)-可微的；

(2)對(duì)于足夠小的h>0，存在f(x0)-Hf(x0+h)和f(x0-h)-Hf(x0)使得

則稱f在點(diǎn)x0是(2)-可微的。

當(dāng)f在點(diǎn)x0是(1)-可微或(2)-可微時(shí)，則稱f在點(diǎn)x0是強(qiáng)廣義可微的。

引理2[5]非線性模糊Volterra積分微分方程

(1)

等價(jià)于下列模糊積分方程之一，其中f,k為模糊函數(shù)：

2 主要結(jié)果

(2)

(3)

進(jìn)一步，若u(t)是定義1中的(1)-可微，將方程(1)轉(zhuǎn)化為：

(4)

若u(t)滿足定義1中的(2)-可微，將方程(1)轉(zhuǎn)化為：

(5)

利用方程(2)和方程(3)，不難將方程(1)轉(zhuǎn)化為：

(6)

下面的定理見(jiàn)文獻(xiàn)[5]，本文采用與文獻(xiàn)[5]不同的方法給予證明。

定理2假設(shè)f∶[0,1]×C([0,1],RF)→RF，k∶[0,1]2×C([0,1],RF)→RF連續(xù)。若存在常數(shù)L1，L2>0,使得：

則方程(1)對(duì)每種可微性在[0,1]上都有唯一解。

證明假設(shè)方程(1)是(1)-可微的，任給u∈RF，t∈[0,1]，定義算子G如下：

那么G∶C([0,1],RF)→RF連續(xù)，且對(duì)給定的t0∈[0,1]，有

G∶C([t0,t0+a],RF)→C([t0,t0+a],RF)，這里0

對(duì)于每一個(gè)u,v∈C([t0,t0+a],RF)，且u≤v，由Hausdorff距離的性質(zhì)，有

若方程(1)是(2)-可微的，證明類似。證畢。

定理3設(shè)f∶[0,1]×RF→RF，k∶[0,1]2×RF→RF滿足如下條件：

(ii)存在L1，L2>0，使得

對(duì)所有r∈[0,1]都成立，則方程(1)與方程(6)等價(jià)。

下面考慮方程(1)是帶三角模糊初值條件的情形：其中

(7)

(8)

將方程(1)轉(zhuǎn)化為下列積分微分方程組：

(9)

故方程(1)和方程(9)均存在唯一解。由于方程(9)等價(jià)于積分方程：

3 結(jié)束語(yǔ)

本文給出了非線性Volterra模糊積分微分方程解存在唯一性的充分條件和解析解的表達(dá)形式，研究過(guò)程是先給出非線性Volterra積分微分方程的兩種特征定理，并利用特征定理將其轉(zhuǎn)化為積分微分方程組，然后驗(yàn)證方程組的解的存在性。下一步將研究高階Volterra模糊積分微分方程的求解方法。