一種應用于彈道導彈控制的朗伯特導引方法

高 勇

（海軍駐航天科技集團公司第一研究院軍事代表室，北京 100076）

與大氣層內使用升力進行操縱的戰(zhàn)術攔截器不同，大氣層外攔截器需要使用推力矢量裝置以響應制導命令。如果所有用以轉向的燃料已經(jīng)耗盡，攔截器就不再可操縱了。也就是說，燃料是一種超量，因為根據(jù)火箭方程，攔截器的重量按燃料重量的指數(shù)倍增長。因此，與大氣層內戰(zhàn)術導彈不同，大氣層外攔截器需要消耗燃料最少的制導規(guī)律。本文中采用的導引方法，能夠用于將一枚攔截彈發(fā)射到與彈道目標導彈相同的彈道軌跡上，通過改變攔截彈的飛行時間，可以使完成彈道飛行所消耗的額外燃料最少[1-2]。

由橢圓軌道朗伯特飛行時間定理可知：設1點和2點為空間兩個任意的固定點，它們的向徑分別為r1和r2，若r1+r2=常數(shù)，橢圓半長軸a=常數(shù)，1點和2點之間的距離c=常數(shù)，則從1點至2點的飛行時間Δt也是固定的。朗伯特導引用于計算在預定的飛行時間內以彈道方式從位置1運行到位置2所需要的速度，該方法已廣泛應用于控制主動段內的導彈，在預定時間擊中射向范圍內的目標點[3]。然而，朗伯特導引僅能用于將攔截彈導引到與目標導彈相撞的軌道，而不能控制攔截彈到達目標導彈時的末段速度。如果攔截彈的速度矢量與目標導彈的速度矢量不一致，兩枚導彈將在到達最接近的位置后相互分離。如果用某種導引方法使攔截彈在與目標導彈最接近的位置時具有相同的速度矢量，那么兩枚導彈將從該點開始以相同的彈道軌跡飛行。

利用動力系統(tǒng)的剩余能量，可以使經(jīng)典朗伯特導引方法得到拓展，從而實現(xiàn)匹配彈道目標位置和速度的目的，一旦位置和速度相一致，攔截彈就將跟隨彈道目標飛行。應用迭代方法可以使攔截彈與彈道目標之間的速度差Δv最小，如果把彈道目標的速度表示為時間的函數(shù)并且存在閉合解，則可求得解析解。攔截彈發(fā)動機關機時的速度和彈道傾角可被設定成用于生成一個橢圓軌道，在到達彈道目標時，使它的速度在特定時刻唯一最小化。使用開普勒飛行時間方程可以解決到達未來某一位置的飛行時間問題，通用的飛行時間方程必須通過迭代方法求解，其結果代入開普勒常數(shù)以計算未來某一時刻t的速度。有很多參考資料描述了環(huán)繞地球運行的人造衛(wèi)星的優(yōu)化會合軌道問題，它們都是以軌道衛(wèi)星的平面變換問題為基礎的。通常，這種平面變換中的Δv機動(其結果對軌道有影響)可以超過一個或多個軌道周期(100 min或更多)。彈道導彈與軌道衛(wèi)星相比，飛行時間較短，在與彈道目標碰撞之前，Δv機動必須經(jīng)歷一段幾十秒到幾百秒的周期來到達有效會合點。

1 朗伯特導引

朗伯特問題涉及物體在牛頓引力場中的運動規(guī)律，其解決方案給出了在僅受重力的情況下，物體在特定時間內從初始位置rl運動到最終位置r2所需要的瞬時速度。假設在大氣層內飛行的主動段導彈(受推力、氣動力和重力作用)，在每一個積分步內都要解決朗伯特問題，需要速度(朗伯特速度)vL減去當前導彈實際速度vM即得到待增速度vG，如圖1所示。待增速度的物理含義是：由導彈的當前狀態(tài)(r，v）給其瞬時增加速度增量vG，而后導彈依慣性飛行便可命中目標，因而將vG稱為待增速度。在低大氣層中，導彈以一個固定的彈道傾角飛行，這樣可以減小大氣阻力的損耗。導彈沿vG加速，當vG達到某一限定范圍時，導彈的推力中止，導彈以彈道方式飛向預定目標[4]。

圖1 朗伯特導引速度矢量圖

初始位置矢量rl和終點位置矢量r2如圖2所示，rl為攔截彈的瞬時位置矢量，r2為與彈道目標的預定會合點位置矢量。θf是由飛行方向確定的角度，可由公式表達為：

圖2 含初始位置矢量和終點位置矢量的朗伯特平面圖

文中使用的所有彈道的延伸范圍均小于地球圓周的一半(即θf＜180°)。對于角度大于180°的情況，則不存在速度作為時間函數(shù)的閉合解。朗伯特導引解算過程為，速度可通過迭代法求得，彈道傾角γ可選定，速度v和飛行時間tf的計算方法如下[1]。

a) 選擇彈道傾角γ。

b) 按公式(2)、(3)計算v、tf：

c) 如果tf＞理想值，則彈道較高，應減小γ，執(zhí)行e)步。

d) 如果tf＜理想值，則彈道較低，應增大γ，執(zhí)行e)步。

e) 重新選擇彈道傾角γ，繼續(xù)上述計算，直到tf收斂到理想值。

由二維平面彈道結構變換為三維地心慣性仿真計算結構的朗伯特方法參見圖2和上述計算，vL表示在地心慣性坐標系中的朗伯特速度矢量，導彈沿vG矢量運動，使vM和vL趨近于一條直線，仿真交匯在目標耗盡燃料之后開始進行，此時目標位于可見大氣層之上的某一海拔高度。在再入之前的任一時刻，目標在引力場中的位置可用其耗盡關機時刻的狀態(tài)矢量信息推算出來。在仿真中，攔截彈飛向計算好的會合時刻的目標點，其關機時刻的狀態(tài)矢量取決于輸入的目標彈道。也可以使用同一導引方法，在沿目標彈道的多個位置進行攔截仿真，從而使導彈攔截器的方案和結構設計達到最優(yōu)。

2 匹配目標速度的末修機動

仿真應用朗伯特導引方法使攔截彈在三維空間中到達與彈道目標相同的位置，然而，當導彈到達目標點時，朗伯特導引沒有直接控制導彈的速度，如果導彈速度矢量不改變，導彈在到達目標后將不能以相同的彈道軌跡跟隨目標運動。為了與目標相匹配，可以設計一個短暫的末修段，用來改變導彈的速度矢量。推力矢量P(沿矢量Δv)用于改變導彈的速度矢量，推力矢量P的x、y、z分量與Δv矢量的各分量方向一致：，這里，

推力大小等于比沖Is乘以推進劑燃燒速率，因為末修機動在外大氣層進行，所以阻力可以忽略不計。末修級啟動時的初始質量為W4，當火箭發(fā)動機工作時，質量開始消耗，末修級沿矢量Δv的運動方程為[7]：

重力引起的加速度可以忽略不計，因為攔截彈和彈道目標都處于同一個重力場，重力比火箭發(fā)動機的推力要小，該公式用于計算為減小攔截彈與彈道目標之間的Δv而消耗的發(fā)動機工作時間，Δv只是一個相對速度，不是一個絕對速度。這個公式可以解釋為，由末修級發(fā)動機工作產(chǎn)生的加速度：

加速度對時間積分就可以得到速度：

公式(7)是一個標準火箭方程的形式，以下表示的是速度公式，將發(fā)動機燃燒時間ΔT表示為必須達到的速度變化Δv的函數(shù)：

即，導彈仿真的末修段在導彈距目標會合點ΔT時沿Δv矢量開始運行，可是這種短暫的末修段將導致導彈無法到達理想的目標點，這是因為末修段將導彈推離了彈道目標點，為了補償這種誤差，朗伯特導引將引導導彈到達新點為預定的彈道目標點，ΔR為由末修段引起的脫靶距離，如圖3所示。

圖3 由末修段引起的位置偏移

用推導的方程計算需要由末修段調節(jié)的位置偏移量ΔR，方程(7)為速度方程，可每秒積分一次，從而得到由末修引起的運動距離，下列方程表示末修運動距離作為發(fā)動機工作時間的函數(shù)：

∵0→t為Δt，則為ΔR，

ΔR矢量的x、y、z分量與ΔV矢量的各分量方向一致，如下列方程和圖3所示：

最終的仿真程序運行是在主動段時使用朗伯特導引將導彈導引至一點，該點與彈道目標點偏移ΔR，當攔截時刻到達ΔT時，短暫的末修段開始，導彈沿著與目標相同的彈道軌跡以需要速度飛向彈道目標。

3 用攔截彈飛行時間使攔截彈與彈道目標之間的速度差最小化

攔截彈在彈道目標射向上的某一點發(fā)射，導彈飛向目標的彈道形狀由2個參數(shù)確定：導彈到達彈道目標的時刻TA和導彈發(fā)射時刻TD，2個時間都與彈道目標的關機時刻有關[8]。

在發(fā)射延遲時間較短時，朗伯特導引將產(chǎn)生高弧線彈道以大傾角與目標彈道相交；在發(fā)射延遲時間較長時，朗伯特導引將產(chǎn)生低弧線彈道，以更合適的角度與目標彈道相交。為匹配彈道目標的速度，需要改變攔截彈的速度，從而產(chǎn)生Δv，該矢量的量級與攔截彈彈道與彈道目標彈道相交的角度有直接關系。在這種情況下，低弧線彈道將導致Δv較小，較小的Δv是希望的，因為這將減少需要執(zhí)行末修段以匹配彈道目標速度所消耗的推進劑，通過減小末修級推進劑的重量，就可以減小整個導彈的重量。

彈道目標到達時間與導彈發(fā)射延遲時間的優(yōu)化組合，可以使導彈與彈道目標速度之差Δv達到最小。Δv是彈道目標到達時間與導彈發(fā)射延遲時間的函數(shù)，該結論由10 164次不同的仿真運算得出，其中加入了84次不同的到達時間(1 000～1 400 s)和121次不同的發(fā)射延遲時間(100～500 s)的運算組合。這是一個簡單的由兩個輸入條件確定的Δv最小化問題，在多維狀態(tài)下用于確定TA與TD的最佳組合，得到最小的Δv。

通過仿真可知，對一個特定的導彈發(fā)射點而言，可以使Δv最小，下一步就要看最優(yōu)的攔截發(fā)射延遲在不同的射向和側向發(fā)射點上如何變化。通過改變與彈道目標彈道相關的攔截彈射向和側向上的發(fā)射點，計算每一個發(fā)射點的最優(yōu)飛行時間Tf，所有的攔截彈仿真都與彈道目標會合于同一點，即TA=1 400 s 。最佳導彈發(fā)射延遲時間TD作為攔截彈發(fā)射位置的函數(shù)，發(fā)射延遲時間TD=1 000 s ，相應的飛行時間Tf=400 s ；發(fā)射延遲時間TD=200 s ，相應的飛行時間Tf=1 200 s 。最佳發(fā)射延遲時間為：在攔截彈發(fā)射點與目標發(fā)射點相距較近時，攔截彈發(fā)射延遲時間較短；在攔截彈發(fā)射點與目標發(fā)射點相距較遠時，攔截彈發(fā)射延遲時間較長。側偏對最優(yōu)發(fā)射延遲是有影響的，當攔截彈發(fā)射點沿目標彈道有側偏時，最優(yōu)攔截彈發(fā)射延遲時間將減小。

4 通過迭代消除由重力影響引起的脫靶距離

通過朗伯特導引，第一步仿真使導彈到達目標點RT，然后計算在最近的到達點時導彈與目標間的Δv，再計算ΔR，進而調整末修段來修正Δv偏差。第二步仿真將導彈導引至偏移R并執(zhí)行末修段以達到與目標相同的位置和速度。然而，導彈的速度還沒有精確地匹配目標的速度，這是因為導彈在第二步仿真導引至偏移R時的運行軌跡與第一步仿真導引至RT時的運行軌跡有微小差異，這種位置上的變化導致最終速度的微小誤差，該誤差是由導彈在飛行過程中的位置變化引起的重力差異而產(chǎn)生的。重力梯度對較短的工作周期，即末修段影響很小，但是，重力梯度對從關機到攔截這種較長的預定間隔的影響并不小，這些差異需要瞄準點策略的迭代計算。為了補償這些誤差，直到仿真運算達到收斂，Δv才會很精確。過程如下：計算Δv，再運行導引至偏移R，并重復計算直到連續(xù)迭代不能改變Δv。通常僅需2～3次迭代，Δv即達到快速收斂。

仿真運算表明，導彈在TA時刻到達目標點，然后迅速飛離，這是因為目標與導彈間的速度差異較大。使用末修級Δv機動后的第1次迭代運算表明，導彈在TA時刻到達了目標點，但隨后慢慢飛離，這是因為，在重力的綜合影響下產(chǎn)生了微小的速度差異。Δv的第2次迭代運算表明，導彈在TA時刻到達目標點，且與目標速度一致，有了這些匹配條件，導彈在隨后的彈道飛行中將跟隨目標運動。

5 最終結果

導彈三自由度仿真用于生成彈道和速度曲線圖，從而在特定到達時刻與彈道目標的位置和速度相匹配。圖4表示3個導彈的飛行彈道，這3條彈道都在預定時刻TA到達彈道目標。彈道A用一個簡單的朗伯特導引到達目標點，但是沒有末修機動以匹配目標速度，彈道A在到達時刻后迅速與彈道目標彈道分離；彈道B用朗伯特導引到達目標，并做末修機動以匹配目標速度，彈道B有一個短暫的延遲時間并以一個大傾角的高弧線彈道到達目標彈道。結果，末修級的Δv較大；彈道C在優(yōu)化延遲時刻發(fā)射，導彈沿低弧線彈道以合適的角度到達彈道目標彈道。結果，Δv比彈道B小很多。因為彈道C以一個合適的角度到達彈道目標彈道，它的末修級待增速度Δv與彈道B相比減小了大約40%，待增速度Δv由于低弧線彈道也減小了，彈道B因為高弧線彈道引起潛在的較大能量變化而損失了很多速度。因此，彈道B在匹配彈道目標速度時，需要彌補更多的速度損失[9-11]。

圖4 匹配彈道目標的位置和速度的攔截彈彈道

6 結論

本文介紹的是一種改進的朗伯特導引方法，它可以用于匹配彈道目標的位置和速度，而傳統(tǒng)的朗伯特導引方法僅可用于匹配目標的位置。通過末修機動可以實現(xiàn)與目標速度的匹配，使攔截彈的飛行時間得到優(yōu)化，使末修級的待增速度Δv達到最小，末修機動的發(fā)動機燃燒速度W˙可被限定在滿足其最大加速載荷的量級。仿真結果表明，該導引方法可將末修級導引至跟隨彈道目標的軌道上，且對于匹配彈道目標的位置和速度是有效的，迭代運算也足夠快，對真實彈道目標可以實時完成解算。將攔截彈導引至與目標導彈相同的彈道軌跡上是可行的，當攔截彈發(fā)射點與目標彈道軌跡相比沿側向和射向距離越遠，則末修級的待增速度Δv就相應增加。當攔截彈發(fā)射點沿目標發(fā)射點的射向移動時，最優(yōu)的攔截彈發(fā)射延遲時間也相應增加。換句話說，當攔截彈發(fā)射點沿射向移動時，可以使攔截彈的發(fā)射時間推遲，該方法可以用于找到使末修級的待增速度Δv最小的攔截彈飛行時間。

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