2020年高考三角函數(shù)試題分析及教學(xué)思考

范力

【摘 要】2020年的全國高考數(shù)學(xué)試卷很好地遵循了課程標(biāo)準(zhǔn)的基本理念和《2020年全國（新課標(biāo)卷）考試說明》的基本要求，突出了數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，突出了對學(xué)生關(guān)鍵能力的考查。試卷體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的考查要求，把握了穩(wěn)定與創(chuàng)新、穩(wěn)定與改革的關(guān)系，對協(xié)同一線教師推進(jìn)高考綜合改革、引導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)都起到了積極的作用?；诖耍疚钠饰?020年高考中的三角函數(shù)試題，探尋新高考背景下的數(shù)學(xué)命題規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】2020年高考;三角函數(shù);備考建議

【中圖分類號】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0041-04

眾所周知，三角函數(shù)知識是高中數(shù)學(xué)知識體系中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。其蘊(yùn)含了方程的思想、函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸的思想、分類討論的思想等重要的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征。它既是初中三角形知識的拓展與延伸，又是學(xué)生將來進(jìn)入大學(xué)后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。因此三角函數(shù)知識一直在高考數(shù)學(xué)試題中占有較大的比重。近年來，高考試卷對三角函數(shù)知識的考查分值始終保持在17分左右。

2020年高考數(shù)學(xué)七套全國卷、四套地方卷中，三角函數(shù)部分的知識點(diǎn)考查分布如表1所示。

從表1可以看出，2020年高考數(shù)學(xué)卷對三角函數(shù)知識點(diǎn)的考査集中在正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、兩角和與差的三角函數(shù)、倍角公式、三角恒等變換、正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用。除全國二卷結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，將三角函數(shù)的考查放在次壓軸21題位置，難度較大以外，其他的都是對一些基礎(chǔ)知識、基本能力的考查。

2020年高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)部分試題分值分布如表2所示。

從表2不難看出，大部分試卷三角函數(shù)所占的分值延續(xù)了2019年的標(biāo)準(zhǔn)，仍為17分左右。常見的出題模式是一道客觀題與一道主觀題。但同時(shí)又有個(gè)別試卷，如北京卷和天津卷，是一道選擇題、一道填空和一道主觀題的組合。北京卷三角函數(shù)部分分值共計(jì)23分，天津卷三角函數(shù)部分分值共計(jì)24分。由此可知，三角函數(shù)這一章仍然是高考考查的重點(diǎn)。

從考查形式看，高考對三角函數(shù)知識的考查仍然分為兩種形式，一種是顯性形式，即直接考查三角函數(shù)知識;一種是隱性形式，即將三角函數(shù)與其他知識點(diǎn)相結(jié)合，如結(jié)合向量、立體幾何、導(dǎo)數(shù)，參數(shù)方程、極坐標(biāo)等進(jìn)行考查。

2020年全國Ⅱ卷理科數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)解答題首次以三角函數(shù)為出題背景，區(qū)別于以往以指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為模型的出題形式。不過這道題的前兩問都是基礎(chǔ)的三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)問題，大部分考生可以答對，但最后一問的難度明顯增加。這種出題方式會導(dǎo)致考生得分容易、得滿分難的結(jié)果。

如題：已知函數(shù) f （x）=sin2xsin2x，

（1）討論f （x）在區(qū)間（0，π）的單調(diào)性;

（2）證明：;

（3）設(shè)，證明sin2xsin22xsin24x...sin22nx

。

（1）問解法一思路分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后通過判斷導(dǎo)函數(shù)的符號來判斷原函數(shù)的單調(diào)性。

解：f '（x）=cosx（sinxsin2x）+sinx（sinxsin2x）

=2sinxcosxsin2x+2sin2xcos2x

=2sinxsin3x，x，

當(dāng)時(shí)，f '（x）>0;當(dāng)x時(shí)，f '（x）<0，所以f （x）在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

點(diǎn)評：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)后，提取公因式2sinx，然后運(yùn)用兩角和與差公式化簡，得出結(jié)果。接下來在給定區(qū)間上解三角不等式，由于要同時(shí)兼顧兩個(gè)因式的符號，所以學(xué)生需有扎實(shí)的三角函數(shù)知識，以便分類討論。

（2）問解法一思路分析：由于函數(shù)f （x）本身是周期函數(shù)，所以要證明不等式成立，只需求一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)的最大值為。這就把題目轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間求極值、求最值的問題。

解：

∵ f （x）的一個(gè)周期為π，

∴ 結(jié)合第一問結(jié)論得：

x 0 π

f '（x） 0 + 0 - 0 + 0

f （x） 0 ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑ 0

，

故。

點(diǎn)評：注意格式與步驟，力爭簡單題得滿分。

（3）問解法思路分析：這是這道次壓軸題的最后一問，難度突然增加。考生做起來有一定難度，需要構(gòu)造函數(shù)。而如何構(gòu)造函數(shù)、為什么這樣構(gòu)造函數(shù)是解決這道題的突破點(diǎn)。不妨結(jié)合不完全歸納法和“兩頭湊”的證明思路來突破這一難點(diǎn)。

當(dāng)n=3時(shí)，

這樣由特殊到一般得到第三問的證明

證明：

（sin2xsin22x...sin22nx）

（1）問解法二：

f （x）=sin2x（2sinxcosx）=2sin3xcosx

f '（x）=2[（sin2x）'cosx+sin3x（-sinx）]

=2（3sin2xcos2x-sin4x）

=2sin2x（3cos2x-sin2x）

=2sin2x（4cos2x-1）

=

x

f '（x） + 0 - 0 +

f （x） ↑ - ↓ - ↑

故 f （x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

點(diǎn)評：第二種解法與第一種解法不同的是，提取了公因式2sin2x，然后因式分解，這樣就得同時(shí)兼顧三個(gè)因式積的符號，對學(xué)生運(yùn)算能力有更高的要求。

（2）問解法二：

由四元均值不等式得

，

。

點(diǎn)評：四元均值不等式是二元基本不等式的拓展，運(yùn)用的難點(diǎn)在于湊定值。解題時(shí)，可以把乘積分解成3sin2xcos2xcos2xcos2x，然后利用3sin2x+3cos2x=3得證。

除了在每個(gè)知識點(diǎn)的考查難度上有調(diào)整，在考查的題目順序上有改變以外，近幾年的高考試題更加突出數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，把數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的歷史事件和我國優(yōu)秀文化中的數(shù)學(xué)內(nèi)容引入到試題中。如2020年北京高考試卷第10題關(guān)注π的兩種計(jì)算方法：中國傳統(tǒng)的割圓術(shù)和數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的求解方法。將中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和世界先進(jìn)思想相結(jié)合，兼容并包，中外融通，在弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化同時(shí)，注意吸收世界數(shù)學(xué)文化精髓，能引導(dǎo)學(xué)生胸懷祖國，放眼世界。

如題（北京卷·10）：2020年3月14日是全球首個(gè)國際圓周率日。歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似，數(shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值，按照阿爾·卡西的方法，π的近似值的表達(dá)式是（? ）

A.

B.

C.

D.

思路分析：

∵ 單位圓內(nèi)接正n邊形每條邊所對的圓周角為，

∴ 每條邊長，周長為，

同理，單位圓的外切正6n邊形的周長為。

。

也可以用特殊值法：令n=1，單位圓內(nèi)接正六邊形周長為6，外切正六邊形周長為，則，故選A。

點(diǎn)評：這道題是根據(jù)教材中提到的“割圓術(shù)”部分內(nèi)容改編而成，緊扣課標(biāo)和教材，既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，又考查了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力。

結(jié)合以上對高考中三角函數(shù)考查內(nèi)容與方式的剖析，筆者對于2021年新一屆高中畢業(yè)生應(yīng)該如何提前做好未來學(xué)習(xí)的規(guī)劃，提出了如下建議。

（1）回歸課本，重視基礎(chǔ)，注重公式、概念、定理、定義的推導(dǎo)過程。這樣面對試卷基礎(chǔ)題的時(shí)候才能得心應(yīng)手，快速解決;面對創(chuàng)新題時(shí)，可以遷移原有概念、原理解決問題;面對較難的綜合題時(shí)，也能快速分解題目，產(chǎn)生思路，將問題逐一破解。

（2）培養(yǎng)能力、注重思維，培養(yǎng)探究精神。題目永遠(yuǎn)不是一成不變的，進(jìn)行日常的解題訓(xùn)練也不是為了背題目、背題型，而是發(fā)掘解題背后的思維邏輯。只有強(qiáng)化分析題目能力，才能在面對創(chuàng)新題、綜合題、變式題的時(shí)候運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析破解。

（3）觀察生活、抽象提煉，分析有實(shí)際背景的數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)在日常生活中是無處不在的，音樂中有數(shù)學(xué)，美術(shù)中也有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)也蘊(yùn)含在建筑、交通、貿(mào)易、游戲中，應(yīng)該有意識主動(dòng)發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，并用所學(xué)的知識加以分析、嘗試解決。久而久之，則能形成較好的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用思維，不光有助于解題，更有助于發(fā)展自己的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)[1]。

【參考文獻(xiàn)】

[1]郭化楠：2020年全國高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)理科卷評[EB/OL].http：//gaokao.eol.cn/shiti/zhenti/202007/t20200708_1737227.

Analysis of University Entrance Examination Paper about Trigonometric Function in 2020 and Teaching Reflection

Li Fan

（The Second Middle School， Heze， Shandong， 274000）

Abstract： The national mathematics test paper of Gaokao in 2020 follows the basic idea of curriculum standard and the fundamental requirements of “2020 National Examination （New Curriculum Standard Paper） Instructions”. It highlights the leading roles of the mathematical application， mathematical exploration and mathematical culture， and so is it for the students main ability effectively. The examination paper demonstrates the testing requirements on fundamentality， comprehensiveness， applicability and innovativeness， balances the relationships of “stability and innovation” and “stability and reformation”. The paper also has positive influence on the collaboration with teachers to promote the Gaokao comprehensive reformation and the guidance to mathematics teaching in senior high schools. On the basis of that， this paper analyzes the trigonometric function items in the Gaokao test paper in 2020 and explores the mathematics propositional pattern under the background of new university entrance examination.

Key words： university entrance examination in 2020; trigonometric function; suggestions on preparing for Gaokao