“二元一次方程組”復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

■謝蓓蓓

【教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)】

1.構(gòu)建本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

2.經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解—解釋與應(yīng)用”的學(xué)習(xí)過(guò)程，加深理解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)。

3.通過(guò)思考、交流等活動(dòng)，體會(huì)類(lèi)比、轉(zhuǎn)化、由特殊到一般等數(shù)學(xué)思維方式。

【教學(xué)過(guò)程】

一、環(huán)節(jié)一:創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

問(wèn)題1：將一根100cm的繩子剪成兩段，兩段的長(zhǎng)度分別是多少？

師：同學(xué)們，老師手中有一根長(zhǎng)為100cm的繩子。如果我將它剪成兩段，你們知道這兩段分別是多長(zhǎng)嗎？

生：不知道。

師：為什么？

生：情況太多了，有可能是50cm和50cm，也有可能是40cm和60cm……

生：不一定是整數(shù)，也有可能是10.5cm和89.5cm。

師：嗯，確實(shí)情況比較多。大家還有什么想法？

生：我覺(jué)得這其實(shí)就是一個(gè)二元一次方程式。設(shè)兩段繩子的長(zhǎng)度分別是xcm和ycm，就可以得到x+y=100，而這個(gè)方程的解有無(wú)數(shù)組，所以情況也有無(wú)數(shù)種。

師：眼光獨(dú)到！這位同學(xué)將現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的方程模型，這是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程。而二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)，也正好解釋了繩子兩段的長(zhǎng)度有無(wú)數(shù)種可能。

問(wèn)題2：怎樣使兩段繩子的長(zhǎng)度只有一種可能？

師：大家能不能想個(gè)辦法，使兩段繩子的長(zhǎng)度只有一種可能？

生：添加一個(gè)條件，就可以再得到一個(gè)二元一次方程，將其與前面的方程構(gòu)成二元一次方程組。二元一次方程組的解是唯一的。

師：非常好！下面，就請(qǐng)各位同學(xué)自己添加一個(gè)條件，解決這個(gè)問(wèn)題。

（學(xué)生在學(xué)習(xí)單上演算3分鐘后，陸續(xù)舉手。）

生：我添加的條件是兩段繩子的長(zhǎng)度相同，也就是x=y，算出兩段繩子的長(zhǎng)度都是50cm。

生：我添加的條件是一段繩子比另一段長(zhǎng)10cm，列出了方程組然后算出一段繩子的長(zhǎng)度為55cm，另一段繩子的長(zhǎng)度為45cm。

生：我添加的條件是一段繩子的長(zhǎng)度是另一段的4倍，列出了方程組然后算出一段繩子的長(zhǎng)度為80cm，另一段繩子的長(zhǎng)度為20cm。

二、環(huán)節(jié)二:再解方程組

問(wèn)題3：如何解方程組？

師：大家剛剛是用什么方法來(lái)解方程組的呢？

生：加減法。

生：代入法。

師：這都是我們常用的方法。解二元一次方程組的基本思路是什么？

生（齊）：消元。

師：消元的目的是什么？

生：使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

師：所以說(shuō)，一元一次方程才是我們解題的根本。

（一名學(xué)生板演，其他學(xué)生在學(xué)習(xí)單上書(shū)寫(xiě)。板演的學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤，另一名學(xué)生指出，并在教師允許下，上臺(tái)幫助同學(xué)修改錯(cuò)誤。）

師：剛剛他使用的是什么方法？

生（齊）：加減法。

師：還有其他方法嗎？

生（齊）：代入法。

師：你們?yōu)槭裁床挥么敕ǎ?/p>

生：x和y的系數(shù)都不是1，變形時(shí)會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，用代入法比較麻煩。

師：分析得不錯(cuò)。請(qǐng)大家再仔細(xì)觀察一下x和y的系數(shù)，有沒(méi)有其他發(fā)現(xiàn)？

生：第2個(gè)方程中的x的系數(shù)是第1個(gè)方程中的x的系數(shù)的2倍，我們可以將3x看作一個(gè)整體，由方程1得3x=8+2y，代入方程2。

師：這位同學(xué)運(yùn)用了整體思想，非常棒！我們知道，解二元一次方程組的基本思路是消元，只要我們能想出辦法，使二元變成一元，問(wèn)題就可以迎刃而解。大家再想一想，還有沒(méi)有其他方法呢？

（學(xué)生演算后，進(jìn)行小組展示。略。）

師：剛剛的解法都很精彩，同學(xué)們利用“構(gòu)造”和“換元”等方法實(shí)現(xiàn)了“消元”。所以說(shuō)，解題無(wú)定法，只要能將二元轉(zhuǎn)化為一元就可以了。

三、環(huán)節(jié)三:活動(dòng)探究

問(wèn)題4：針對(duì)這根100cm的繩子，大家還有哪些想法？

（學(xué)生獨(dú)立思考，組內(nèi)交流；小組派代表進(jìn)行匯報(bào)。）

生：我們小組想要把這根繩子剪成三段，設(shè)最長(zhǎng)的那段為xcm，最短的那段為ycm，剩下的那段為zcm，這樣就可以得到三元一次方程x+y+z=100。

師：由二元到三元，不錯(cuò)！你們想怎么研究三元一次方程呢？

生：我們參照了二元一次方程的解題過(guò)程。因?yàn)槿淮畏匠桃灿袩o(wú)數(shù)個(gè)解，所以我們添加了兩個(gè)條件：第一個(gè)條件是最長(zhǎng)的那段繩子是其余兩段之和，第二個(gè)條件是最長(zhǎng)的繩子比最短的繩子長(zhǎng)30cm，這樣就可以得到三元一次方程組

師：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，列出三元一次方程，再添加條件，列出三元一次方程組，不錯(cuò)！下面呢？

生：我們可以解三元一次方程組。先將第二個(gè)式子分別代入其他兩個(gè)式子，消去x，然后解出y和z，最后再求x。我們算出這個(gè)方程組的解為

師：厲害了！你們是怎么想到的？

生：這和解二元一次方程組是一樣的，用的還是代入法和加減法，把三元變成二元就行了。

師：非常精彩！說(shuō)到底還是要用“消元”的方法，將三元轉(zhuǎn)化為二元，二元轉(zhuǎn)化為一元。如果是四元一次方程組，你們能不能解？

生：可以！把四元轉(zhuǎn)化為三元，三元轉(zhuǎn)化為二元，二元轉(zhuǎn)化為一元！

師：非常好！哪怕是多元方程，我們也可以采用轉(zhuǎn)化的方法來(lái)解決。

師：大家還有沒(méi)有其他的思路？

生：我們小組想將這根繩子圍成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：不錯(cuò)的想法。然后怎么研究呢？

生：可以圍成的長(zhǎng)方形有無(wú)數(shù)個(gè)，周長(zhǎng)都是100，面積卻不相同。我們?cè)谒伎?，怎么才能?chē)勺畲竺娣e的長(zhǎng)方形呢？

師：這個(gè)問(wèn)題問(wèn)得好！由數(shù)想到形，由確定的數(shù)值想到不確定的數(shù)值，再想到最值，你們組很棒！你們找到最大面積的長(zhǎng)方形了嗎？

生：我們感覺(jué)圍成正方形的時(shí)候，面積最大，然后也舉了一些例子，發(fā)現(xiàn)確實(shí)如此。

師：先進(jìn)行猜想，然后舉些特例，這都是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法。不過(guò)要驗(yàn)證這個(gè)猜想，我們必須進(jìn)行證明。你們組可以嗎？

生：我們暫時(shí)還沒(méi)想到辦法。

師：那么，其他組的同學(xué)能解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是xcm和ycm，則x+y=50，面積可以表示為xy，也就是x（50-x）=-x2+50x，可以將-x2+50x進(jìn)行配方，變成-（x-25）2+625。當(dāng)x=25時(shí)，最大面積是625，而x等于25，y也等于25，證明此時(shí)的圖形正好是個(gè)正方形。

師：你太厲害了！說(shuō)說(shuō)你是怎么想的？

生：設(shè)出未知數(shù)，表示出長(zhǎng)方形的面積，這樣就把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

師：對(duì)，將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)設(shè)未知數(shù)的方式進(jìn)行建模。這是方程模型嗎？

生（齊）：不是。

師：這其實(shí)是我們后面要學(xué)習(xí)的函數(shù)模型。

生：上一章我們學(xué)習(xí)了完全平方公式，此時(shí)就可以利用配方的辦法求出最大值了。

師：非常好！兩位同學(xué)帶領(lǐng)我們經(jīng)歷了從特殊到一般，從猜想到證明，從方程到函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程。

四、環(huán)節(jié)四:總結(jié)與提升

問(wèn)題5：本節(jié)課的收獲是什么？

師：學(xué)習(xí)了本節(jié)課之后，大家有什么新的感悟嗎？

生：解二元一次方程組還可以采用構(gòu)造和換元等方法，目的是消元，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化。掌握了這些方法后，我還能解三元甚至多元一次方程組。

生：我們可以將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程模型或者函數(shù)模型來(lái)解決。

生：我覺(jué)得以后再學(xué)習(xí)新的方程時(shí)，都可以按照“實(shí)際問(wèn)題—建立方程模型—解方程—回到實(shí)際問(wèn)題”的步驟去研究。

師：這個(gè)想法不錯(cuò)，我們可以采取一以貫之的數(shù)學(xué)思維去解決新問(wèn)題！

【教學(xué)反思】

在數(shù)學(xué)課堂上，教師創(chuàng)設(shè)一個(gè)一以貫之的問(wèn)題情境，可以讓學(xué)生不斷進(jìn)行深入、連貫的思考，感受數(shù)學(xué)思維，掌握數(shù)學(xué)方法。本節(jié)課是“二元一次方程組”的復(fù)習(xí)課，筆者改變以往做題講題的教學(xué)方式，創(chuàng)設(shè)了“一根繩子”的問(wèn)題情境，使之成為不同知識(shí)點(diǎn)之間的紐帶，在不同的教學(xué)內(nèi)容中發(fā)揮價(jià)值。

在課堂教學(xué)中，教師的問(wèn)題直接決定了學(xué)生的思維的方向和深度。問(wèn)題1、2、3，不僅能夠讓學(xué)生掌握“實(shí)際問(wèn)題—方程問(wèn)題—解方程—實(shí)際問(wèn)題”這一知識(shí)研究的外在路徑，更能讓他們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)建模以及轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思維的內(nèi)在路徑。在此基礎(chǔ)上，教師提出問(wèn)題4，可以促進(jìn)學(xué)生的思維繼續(xù)生長(zhǎng)。有的學(xué)生借助二元一次方程的經(jīng)驗(yàn)，解決了三元一次方程等方程類(lèi)問(wèn)題；有的學(xué)生由數(shù)想到形，提出問(wèn)題后，建立了新的數(shù)學(xué)模型。整節(jié)課通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，使學(xué)生在思考和探究的過(guò)程中，優(yōu)化和完善了數(shù)學(xué)思維。