極限平衡條件在土體剪切平衡狀態(tài)中的應(yīng)用

李曉蓮，楊 靜，魏秦生，呂向明

（1.天水師范學(xué)院 土木工程學(xué)院，甘肅 天水 741001；2.天水師范學(xué)院 機(jī)電與汽車工程學(xué)院，甘肅 天水 741001；3.中石油第二建設(shè)公司，甘肅 蘭州 730060）

當(dāng)土體受力后處于三向應(yīng)力狀態(tài)時，如果土體中任意一點(diǎn)在其某一方位上的剪應(yīng)力τ等于該方位的抗剪強(qiáng)度τf，則該點(diǎn)就處于極限平衡狀態(tài)，[1]也就是說此時土體處于將要破壞而又沒有破壞的界限狀態(tài)；而當(dāng)土體中任意一點(diǎn)在其某一方位上的剪應(yīng)力大于該方位的抗剪強(qiáng)度時，該點(diǎn)即破壞。根據(jù)上述條件，即可判斷土體中某點(diǎn)所處狀態(tài)。如果將土體中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)用莫爾應(yīng)力圓來表示，并同時將其與土體的抗剪強(qiáng)度包線即庫倫強(qiáng)度包線，繪制在同一σ-τ坐標(biāo)圖上，即可根據(jù)莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線之間的相對位置關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)。其中當(dāng)莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線相切時，即該點(diǎn)（某一方向上）的剪應(yīng)力等于抗剪強(qiáng)度，就是土體的強(qiáng)度條件，[2]土體的狀態(tài)稱為極限平衡狀態(tài)。此時土的大、小主應(yīng)力與土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)之間的關(guān)系稱為土的極限平衡條件。[3]由于該條件是由莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線相切的幾何關(guān)系所建立，所以該條件也稱為莫爾-庫倫強(qiáng)度理論，根據(jù)土的極限平衡條件就可以判斷土體中任意一點(diǎn)的剪切破壞狀態(tài)。

下面以平面應(yīng)變問題為例，通過分析莫爾應(yīng)力圓與庫倫強(qiáng)度包線之間的關(guān)系，建立土體的極限平衡條件，給出土體任意一點(diǎn)的剪切破壞狀態(tài)判斷的七種方法。

1 莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度之間的關(guān)系

如果已知某土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c、φ及剪切破壞面上的法向總應(yīng)力σ（c為土體的粘聚力，φ為土體的內(nèi)摩擦角），可以將庫倫公式τf=c+σtanφ在σ-τ坐標(biāo)圖上表示為一條直線-抗剪強(qiáng)度包絡(luò)線，即庫倫強(qiáng)度包線；如果已知土體某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)（平面應(yīng)力狀態(tài)），利用應(yīng)力圓原理，可以將該點(diǎn)各個方位上的應(yīng)力情況在σ-τ坐標(biāo)圖上表示為莫爾應(yīng)力圓，簡稱莫爾圓。將上述抗剪強(qiáng)度包線與莫爾圓繪制在同一張坐標(biāo)圖上（如圖1所示），它們之間的關(guān)系就可能有以下三種情況：

1.1 相離

此時，整個莫爾圓（圓1）位于抗剪強(qiáng)度包線的下方，說明該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力都小于對應(yīng)平面上的抗剪強(qiáng)度，即τ＜τf，因此該點(diǎn)處于安全狀態(tài)。

圖1 莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度之間的關(guān)系

1.2 相切

此時，莫爾圓（圓2）與抗剪強(qiáng)度包線相切于一點(diǎn)，切點(diǎn)為A，說明在A點(diǎn)所對應(yīng)的平面上，其剪應(yīng)力剛好等于抗剪強(qiáng)度，即τ=τf，因此該點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)，A點(diǎn)所對應(yīng)的平面即為試樣的剪切破壞面，此時應(yīng)力圓2稱為極限應(yīng)力圓。

圖2 土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)時的應(yīng)力圓

1.3 相割

此時，莫爾圓（圓3）與抗剪強(qiáng)度包線相交，即抗剪強(qiáng)度包線是應(yīng)力圓的一條割線，理論上說明該點(diǎn)一部分方位上的剪應(yīng)力大于對應(yīng)平面上的抗剪強(qiáng)度，即τ＞τf。但實(shí)際上這種情況不可能出現(xiàn)，因?yàn)樵擖c(diǎn)任何方向上的剪應(yīng)力在與其對應(yīng)平面上的抗剪強(qiáng)度相等時就已經(jīng)破壞，不可能再出現(xiàn)超過土的抗剪強(qiáng)度的現(xiàn)象，即不存在τ＞τf，因?yàn)楫?dāng)土體剪應(yīng)力達(dá)到其抗剪強(qiáng)度時，應(yīng)力已不符合彈性理論解答。[4]

2 極限平衡條件的建立

土體極限平衡條件就是根據(jù)莫爾圓與抗剪強(qiáng)度包線相切的幾何關(guān)系建立的。

在平面問題中，土的極限平衡條件是由莫爾—庫倫強(qiáng)度理論所確定：當(dāng)莫爾圓與抗剪強(qiáng)度包線相切時，土體即處于極限平衡狀態(tài)，由極限應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相切的幾何關(guān)系（如圖2所示），針對粘性土（c≠0）建立的極限平衡條件為：

針對非粘性土(c=0)建立的極限平衡條件為：

式（1）-（4）中，σ1、σ3為實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的第一主應(yīng)力與第三主應(yīng)力，σ1f、σ3f為土體處于極限平衡狀態(tài)時某點(diǎn)應(yīng)有的第一主應(yīng)力與第三主應(yīng)力值，φ為土體的內(nèi)摩擦角。

3 土體剪切破壞狀態(tài)的判斷方法

土體所處狀態(tài)的判斷通常采用極限平衡條件，除此之外，還可以根據(jù)極限平衡狀態(tài)時土體內(nèi)摩擦角與實(shí)際工作狀態(tài)下土體的內(nèi)摩擦角之間的大小關(guān)系去判斷，或者利用極限應(yīng)力圓半徑與實(shí)際應(yīng)力圓半徑之間的大小關(guān)系進(jìn)行判斷等等。下面簡單介紹判斷土體所處狀態(tài)的幾種方法。

3.1 極限平衡條件法

利用極限平衡條件法判斷土體所處狀態(tài)，是根據(jù)建立的極限平衡條件，通過計(jì)算，將實(shí)際情況下的大小主應(yīng)力與該土體處于極限平衡條件下的大小主應(yīng)力做比較，從而判斷土體是否已被剪壞。

利用極限平衡條件中的表達(dá)式，知道土中某點(diǎn)實(shí)際所受的應(yīng)力和土的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)c、φ，就可以很容易判斷該點(diǎn)是否產(chǎn)生剪切破壞。比較計(jì)算所得極限平衡條件下的主應(yīng)力與實(shí)際工作狀態(tài)下的主應(yīng)力數(shù)值大小，判斷土體某點(diǎn)所處狀態(tài)情況如下：

（1）σ1f＜σ1：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）σ1f=σ1：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）σ1f＞σ1：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）。

或

（1）σ3f＞σ3：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）σ3f=σ3：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）σ3f＜σ3：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）。

由以上條件可知：當(dāng)σ1f=σ1或σ3f=σ3時，莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相切，在切點(diǎn)所對應(yīng)的方位上，土體的剪應(yīng)力等于其抗剪強(qiáng)度，土體處于極限平衡狀態(tài)，即將要破壞而又沒有破壞的狀態(tài)，實(shí)際上此時土體應(yīng)劃為破壞狀態(tài)；當(dāng)σ1f＞σ1或σ3f＜σ3時，莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相離，應(yīng)力圓位于抗剪強(qiáng)度包線的下方，說明該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力均小于其抗剪強(qiáng)度，土體處于彈性平衡狀態(tài)，或稱穩(wěn)定狀態(tài)，即此時土體安全；當(dāng)σ1f＜σ1或σ3f＞σ3時，莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相交，應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線有兩個交點(diǎn)，說明這兩點(diǎn)及之間所對應(yīng)的方位上的剪應(yīng)力均大于其抗剪強(qiáng)度，土體處于破壞狀態(tài)。實(shí)際上σ1f＜σ1或σ3f＞σ3是不可能存在的，因?yàn)閲?yán)格來講，當(dāng)σ1f=σ1或σ3f=σ3時土體即開始破壞，不存在σ1f＜σ1或σ3f＞σ3的情況。

由應(yīng)力圓的應(yīng)用特點(diǎn)可知，在圖2中，αf為剪切破壞面的方位角，在三角形ARD中，由外角與內(nèi)角的關(guān)系可知：

式（5）表明，剪切破壞面與大主應(yīng)力σ1作用面的夾角為，或剪切破壞面與小主應(yīng)力σ3作用面的夾角為。由于土體與其他連續(xù)性材料不同，是一種具有內(nèi)摩擦強(qiáng)度的材料。[5]所以，土體的剪切破壞并不產(chǎn)生于最大剪應(yīng)力所在平面，而是在與最大剪應(yīng)力面成φ/2夾角的面上，且通過土中一點(diǎn)可以出現(xiàn)一對滑動面，[3]這對滑動面均與大主應(yīng)力的作用面成αf的夾角，如圖2所示。

3.2 圖解法

將實(shí)際工作狀態(tài)下的莫爾應(yīng)力圓和土體的抗剪強(qiáng)度包線繪制在同一坐標(biāo)系中，[6]利用抗剪強(qiáng)度包線和應(yīng)力圓的位置關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)的結(jié)果如下：

（1）相離：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）相切：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）相割：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）；

判斷結(jié)果如圖1所示。

3.3 內(nèi)摩擦角法

若已知土中某點(diǎn)的主應(yīng)力σ1、σ3，以及土體的內(nèi)摩擦角φ，也可以用內(nèi)摩擦角φ的大小判斷該點(diǎn)土體是否處于破壞狀態(tài)。

由圖2極限平衡狀態(tài)時的應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線之間的關(guān)系可知：

上式中，φ為實(shí)際工作狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角，φm為土體達(dá)極限平衡狀態(tài)時的內(nèi)摩擦角。

根據(jù)計(jì)算所得φm與φ的大小關(guān)系，即可判斷土體某點(diǎn)所處狀態(tài)情況如下：

（1）φ＞φm：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）φ=φm：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）φ＜φm：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）。

如果φ＞φm，表示保持土中某點(diǎn)不發(fā)生破壞所需的內(nèi)摩擦角大于土的極限平衡狀態(tài)時的內(nèi)摩擦角。顯然，此時土體已破壞。若φ＜φm，則土中某點(diǎn)處于安全狀態(tài)，即彈性平衡狀態(tài)。當(dāng)φm=φ，則表示土中某點(diǎn)剛好處于極限平衡狀態(tài)，即將要破壞而又沒有破壞狀態(tài)，或稱塑性平衡狀態(tài)。結(jié)果如圖3所示。

圖3 實(shí)際工作狀態(tài)下的內(nèi)摩擦角與極限平衡狀態(tài)時內(nèi)摩擦角的關(guān)系

3.4 斜率法

將土的抗剪強(qiáng)度包線與實(shí)際工作狀態(tài)下的應(yīng)力圓繪制在同一坐標(biāo)，如圖4所示。過點(diǎn)A（0，c）作莫爾應(yīng)力圓的切線,設(shè)切線的斜率為K=tanφ,設(shè)抗剪強(qiáng)度包線的斜率為Km=tanφm，則有：

（1）Km＜K：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）Km=K：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）Km＞K：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）。

圖4 莫爾應(yīng)力圓切線斜率與抗剪強(qiáng)度包線斜率之間的關(guān)系

3.5 薄弱面法[7]

如前所述，土體達(dá)極限平衡狀態(tài)時的剪切破壞面(即最薄弱面)與大主應(yīng)力σ1作用面的夾角為，利用求出最薄弱面上的剪應(yīng)力τ和法向應(yīng)力σ,然后把法向應(yīng)力σ代入抗剪強(qiáng)度的計(jì)算公式τf=c+σtanφ中，求出最薄弱面上的抗剪強(qiáng)度τf。則根據(jù)最薄弱面上剪應(yīng)力τ與抗剪強(qiáng)度τf的關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)如下：

（1）τf＜τ：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）τf=τ：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）τf＞τ：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）。

3.6 距離法

將土的抗剪強(qiáng)度包線與實(shí)際工作狀態(tài)下的應(yīng)力圓繪制在同一坐標(biāo)。設(shè)d為應(yīng)力圓圓心到抗剪強(qiáng)度包線的垂直距離，為應(yīng)力圓半徑。則根據(jù)d與r的關(guān)系判斷土體所處狀態(tài)如下：

（1）d＜r：土體中某點(diǎn)處于破壞狀態(tài)（不可能狀態(tài)）；

（2）d=r：土體中某點(diǎn)處于極限平衡狀態(tài)（破壞）；

（3）d＞r：土體中某點(diǎn)處于彈性平衡狀態(tài)（安全）。

3.7 半徑法

極限平衡條件的應(yīng)用除了上述幾種方法之外，還可以用圖解法判斷土中某點(diǎn)的安全狀態(tài)，也可稱之為半徑法。

設(shè)想由于某種原因可以使得整個土體在水平方向均勻的伸展或壓縮，[1]即可以任意增加或減小土中應(yīng)力值。將極限平衡狀態(tài)時的應(yīng)力圓半徑用Rf來表示，實(shí)際工作狀態(tài)下的應(yīng)力圓半徑用R來表示。

（1） 當(dāng)σ3→σ1f時，比較若得σ1f＞σ1，則有半徑，[8]即實(shí)際工作狀態(tài)下土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑小于極限平衡狀態(tài)時土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑，此時實(shí)際應(yīng)力圓位于極限應(yīng)力圓下方，說明此時該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力均小于其抗剪強(qiáng)度值，故土體中該點(diǎn)未達(dá)到極限平衡狀態(tài)，處于安全狀態(tài)；反之，則發(fā)生了剪切破壞。將此時的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)所對應(yīng)的應(yīng)力圓與極限應(yīng)力圓之間的半徑關(guān)系表示于σ-τ坐標(biāo)圖中，如圖5中圓I與圓II所示。

圖5 實(shí)際應(yīng)力圓半徑與極限應(yīng)力圓半徑之間的關(guān)系

（2） 當(dāng)σ1→σ3f時，比較若得σ3f＜σ3，則有半徑，即實(shí)際工作狀態(tài)下土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑小于極限平衡狀態(tài)時土體中某點(diǎn)的應(yīng)力圓半徑，此時實(shí)際應(yīng)力圓位于極限應(yīng)力圓下方，說明此時該點(diǎn)所有方位上的剪應(yīng)力均小于其抗剪強(qiáng)度值，故土體中該點(diǎn)未達(dá)到極限平衡狀態(tài)，處于安全狀態(tài)；反之，則發(fā)生了剪切破壞。[9]將此時的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)所對應(yīng)的應(yīng)力圓與極限應(yīng)力圓之間的關(guān)系表示于σ-τ坐標(biāo)圖中，如上圖5中圓I與圓III所示。

上述情況也可表述為：當(dāng)σ1f＜σ1，即極限應(yīng)力圓半徑小于實(shí)際應(yīng)力圓半徑，此時實(shí)際應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相交，所以該點(diǎn)處于剪破狀態(tài)，反之，該點(diǎn)處于安全狀態(tài)；或當(dāng)σ3＜σ3f時，極限應(yīng)力圓的半徑小于實(shí)際應(yīng)力圓半徑，即實(shí)際應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相交，所以該點(diǎn)處于剪破狀態(tài)，反之，該點(diǎn)處于安全狀態(tài)。由實(shí)際應(yīng)力圓半徑與極限應(yīng)力圓半徑之間的大小關(guān)系判斷土體剪切狀態(tài)的方法，即稱之為半徑法。

用半徑法判斷土體的剪切狀態(tài)直觀、可靠、簡便。

4 實(shí)例分析

設(shè)地基中某點(diǎn)的大主應(yīng)力為450kPa，小主應(yīng)力為100kPa，土的內(nèi)摩擦角為30°，粘聚力為10kPa，問該點(diǎn)處于什么狀態(tài)？

解法一：已知σ1=450kPa，σ3=100kPa，

由極限平衡條件，可得

則有σ3f＞σ3，由極限平衡條件法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞?；蛘?，由極限平衡條件，可得：

則有σ1f＜σ1，由極限平衡條件法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

即φm=22.74°，而在實(shí)際工作狀態(tài)下，φ=30°，比較可知，φ＞φm，由內(nèi)摩擦角法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

解法三：由解法一和解法二可知，極限平衡狀態(tài)時的大、小主應(yīng)力分別為σ1f=334.64kPa，σ3f=138.4kPa，而實(shí)際工作狀態(tài)下該點(diǎn)的大、小主應(yīng)力分別為σ1=450kPa，σ3=100kPa，則有：

顯然，R＞Rf，根據(jù)半徑法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

顯然，R＞Rf，根據(jù)半徑法可以判斷此時土中該點(diǎn)已破壞。

由上述實(shí)例結(jié)果可知，三種判斷方法結(jié)果一致。

5 小結(jié)

當(dāng)抗剪強(qiáng)度包線與莫爾應(yīng)力圓的圖形位置相切時，土體即處于極限平衡狀態(tài)，由此得出土的極限平衡條件。根據(jù)土的極限平衡條件判斷土體所處狀態(tài)的方法有多種，文中總結(jié)了七種，并用實(shí)例說明其結(jié)果的一致性。幾種方法雖然形式不同，但基本原理一致，都是根據(jù)土體處于極限平衡狀態(tài)時莫爾應(yīng)力圓與抗剪強(qiáng)度包線相切的原理推得的，對于土體所處狀態(tài)的判斷具有很好的借鑒意義。