Hilbert K-模上框架的框架變換和正交投影

董芳芳

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

1 預(yù)備知識

HilbertC?-模和Hilbert空間的主要不同在于：HilbertC?-模不一定可補，并且HilbertC?-模不一定有標(biāo)準(zhǔn)正交基，因此，M.Frank和D.R.Lar?son將HilbertC?-模膨脹到：

同時在l2(A)上定義模和內(nèi)積：對 ?a∈A和?{ai},{bi}∈l2(A),

這樣l2(A)就為HilbertC?-模，它有雙邊的平凡的標(biāo)準(zhǔn)正交基：{em}m∈Ζ，{em}={0,…,0,1,0…}，在m位置為1，在其他位置為0，其中1為A中的單位元，然后在HilbertC?-模到l2(A)上定義算子θ:H→l2(A)，使得對 ?x∈H，，其中{xi,i∈J}為H的框架，{ei,i∈J}為l2(A)的標(biāo)準(zhǔn)正交基，并將θ定義為框架{xi,i∈J}的框架變換（見[1]）.

Hilbert K-模是一種緊算子代數(shù)模，也是特殊的HilbertC?-模，其中底代數(shù)K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C?-代數(shù)，顯然I?K，因此，這種模無法膨脹，也就是說引入l2(K)毫無意義，D.Bakic和B.Guljas在文獻[2]中證明了Hilbert K-模一定有特殊的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其特殊點在于相同基向量的內(nèi)積為K中的一個秩為1的自伴投影（見定義1.2），因此，本文直接在Hilbert K-模M本身上引入了廣義框架的框架變換（見定義1.4）.

定義1.1[2]設(shè)K為作用在Hilbert空間Η上的全體緊算子組成的C?-代數(shù)，Μ是復(fù)數(shù)域C上的線性空間，Μ 是左K-模，滿足：μ(kx)=(μk)x=k(μx)，其中任意的μ∈C，k∈K，x∈Μ，若具有性質(zhì):

定義1.2[2]稱序列{vλ,λ∈Λ}為Hilbert K-模 Μ的標(biāo)準(zhǔn)正交序列，若對?λ,μ∈Λ，

其中ξ∈H，且 ‖ξ‖=1(H為Hilbert空間)，eξ,ξ∈K滿足： ?η∈H，eξ,ξ(η)=(η,ξ)ξ.其中，(·,·)指 Hil?bert空間中元素的內(nèi)積；若該標(biāo)準(zhǔn)正交序列完備，即,?λ∈Λ，則稱它為Μ的標(biāo)準(zhǔn)正交基，將eξ,ξ稱為支撐投影.

定義1.3[2]稱Hilbert K-模Μ中的序列{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為框架，若存在常數(shù)a＞0,b＞0，使得對?x∈M，

若a=b，則 稱 {xλ,λ∈ Λ}為緊框架；若a=b=1，則稱{eξ,ξxλ,λ∈Λ}為正規(guī)緊框架.

定義 1.4設(shè)M為 Hilbert K-模，{eξ,ξxλ,λ∈Λ}

2 Hilbert K-模上框架的分解

3 框架變換與正交投影之間的關(guān)系