汽車總裝線配置的優(yōu)化模型研究

董 慧，唐云芳

（安徽工業(yè)經(jīng)濟(jì)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，合肥230001；中國計量大學(xué)，杭州310018）

1 問題提出

汽車裝配中，由于受生產(chǎn)工藝、質(zhì)量控制及成本等因素影響，總裝線的配置要求多且復(fù)雜，合理安排裝配順序?qū)ΡＷC汽車裝配效率及質(zhì)量，提高競爭力有著重要的意義。結(jié)合這一實際，2018年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題探討了如何優(yōu)化汽車總裝線的配置以實現(xiàn)生產(chǎn)均衡化，即在各裝配要求的約束下給出符合要求且具有較低生產(chǎn)成本的裝配順序[1]。具體要求可以參見全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽官網(wǎng)。

2 問題分析

汽車裝配過程中既要保證生產(chǎn)質(zhì)量，提高裝配效率，又要盡量降低成本，實際上就是要實現(xiàn)生產(chǎn)的均衡化、平衡化，屬于最優(yōu)化問題，因而將配置要求量化構(gòu)建優(yōu)化模型即可實現(xiàn)。

汽車在裝配時主要對確定汽車型號的五種屬性做了詳細(xì)的裝配要求，這五種屬性分別是品牌、配置、動力、驅(qū)動及顏色，其中前四種屬性的要求較少且簡單，顏色的要求較復(fù)雜，因而我們可以將品牌、配置、動力、驅(qū)動作為模塊1，顏色作為模塊2，通過量化裝配要求構(gòu)造出約束條件及目標(biāo)函數(shù)，從而建立出各模塊的優(yōu)化模型。最后，將各模塊的模型綜合起來得出符合要求且具有較低生產(chǎn)成本的裝配順序[1]的優(yōu)化模型，通過遺傳算法求解出模型。

3 問題假設(shè)

①假設(shè)汽車裝配過程中不會出現(xiàn)任何故障，裝配計劃不會臨時調(diào)整。

②同一種油漆噴涂時間過長時，不考慮膠結(jié)凝聚現(xiàn)象。

③假設(shè)噴漆過程不會出現(xiàn)施工質(zhì)量問題。

4 模型建立與求解

每天白班和晚班裝配任務(wù)一樣，在此我們只討論白班的裝配順序。若汽車總數(shù)為偶數(shù)，晚班按同樣的裝配順序，若為奇數(shù)，則白班多裝配一輛，晚班少一輛，通過適當(dāng)調(diào)整可得到。

4.1 按裝配要求劃分模塊

經(jīng)分析，我們將品牌、配置、動力及驅(qū)動作為模塊1，顏色作為模塊2，分別構(gòu)建模型。模塊1中，結(jié)合數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，品牌、動力、驅(qū)動、配置的要求復(fù)雜度依次增高，根據(jù)復(fù)雜度設(shè)置各因素討論的優(yōu)先級，具體劃分如圖1所示。

圖1 模塊劃分圖

4.2 模塊1的數(shù)學(xué)模型

每班次都是按先A1后A2的品牌順序進(jìn)行裝配，而每種品牌里其他因素的要求都一樣，以下我們僅討論白班中A1品牌汽車的裝配順序，其他情況討論方法一樣。

按動力劃分時，柴油汽車相比汽油汽車，數(shù)量非常少，可先裝配汽油汽車，再根據(jù)柴油的裝配要求簡單排序即可。假設(shè)A1品牌汽車有N輛，其中四驅(qū)汽車n輛，為方便討論，我們將總裝線按順序標(biāo)號，即標(biāo)注1,2,...,N。下面我們根據(jù)驅(qū)動和配置的要求分別構(gòu)建模型。

4.2.1 根據(jù)驅(qū)動構(gòu)建模型

由于四驅(qū)汽車最多連續(xù)裝配兩輛，為降低成本，我們按最大連續(xù)裝配允許量兩輛討論，所以四驅(qū)汽車應(yīng)連續(xù)裝配n/2批，夾在兩批四驅(qū)汽車之間裝配的兩驅(qū)汽車為n/2-1組，令第i組兩驅(qū)汽車的數(shù)量為wi，根據(jù)要求應(yīng)滿足下列條件：

③每組兩驅(qū)汽車的數(shù)量應(yīng)盡量均衡，在此，我們引入均衡度α的概念，記,α越小說明每組的數(shù)量越均衡。

4.2.2 構(gòu)建配置連續(xù)數(shù)量最大化模型

令白班中A1品牌中配置為Bm的車共有dm(m=1,2,… 6 輛，

由于相同配置車輛應(yīng)盡量連續(xù)裝配，故以配置連續(xù)數(shù)量最大為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建模型如下：

4.2.3 模塊1的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

根據(jù)構(gòu)建的模型，我們得出優(yōu)化模型Ⅰ

4.3 模塊2的數(shù)學(xué)模型

汽車進(jìn)行噴涂作業(yè)時需按序依次在C1,C2線上交替進(jìn)行，即總裝線上奇數(shù)位的汽車在C1線上噴涂，偶數(shù)位的汽車在C2線上噴涂。為構(gòu)建模型，我們對顏色的要求進(jìn)行量化處理。

1.3.1 顏色編號

我們將9種顏色依次編號，見表1。

4.3.2 符號假設(shè)

為構(gòu)建模型，引入下列記號：

4.3.3 約束條件

①當(dāng)汽車為藍(lán)、黃、紅三種顏色時只能在C1線上進(jìn)行噴涂，即偶數(shù)位未被涂成藍(lán)、黃、紅，則需滿足，當(dāng)k=3、4、5 時，Y2m,k=0 。

②當(dāng)汽車為金色時只能在C2線上進(jìn)行噴涂，即奇數(shù)位未被涂成金色，故Y(2m+1)8=0。

③對于總裝線上要求可連續(xù)排列的顏色，假設(shè)第k1、k2種顏色可連續(xù)排列，則這兩種顏色所在位置的序號差應(yīng)為1，

④對于總裝線上要求必須間隔排列的顏色，假設(shè)第k1、k2種顏色必須間隔排列，則這兩種顏色所在位置的序號差應(yīng)為2，故應(yīng)滿足

⑤顏色切換應(yīng)滿足

⑥同種顏色的汽車連續(xù)噴涂的最大量應(yīng)不大于該種顏色汽車的數(shù)量，故要滿足

⑧當(dāng)汽車為黑色時，它與其他顏色汽車在噴涂線上切換所造成的代價非常高，為降低生產(chǎn)成本，噴涂時黑色汽車應(yīng)避免和其他顏色汽車切換，故應(yīng)安排在裝配線的最前方。

4.3.4 目標(biāo)函數(shù)

5 模塊2的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

綜上，我們得到優(yōu)化模型Ⅱ

4.4 汽車總裝線配置的優(yōu)化模型

根據(jù)構(gòu)建的Ⅰ、Ⅱ優(yōu)化模型，我們得出問題的模型Ⅲ：

4.5 遺傳算法求解模型

模型Ⅲ為優(yōu)化模型，求解數(shù)據(jù)較大，可以用遺傳算法來求解。遺傳算法的基本操作流程簡單明晰，具體操作如圖2所示。

以9月20日為例，品牌A1里無柴油汽車，即柴油汽車的數(shù)量取值為0，代入數(shù)值利用遺傳算法可求得。在此，列舉前20位的裝配順序，見表2。

圖2 遺傳算法流程圖

表2 9月20日裝配順序

5 模型評價

本文通過對各個約束條件的嚴(yán)謹(jǐn)分析，得出了較好的模型，思路清晰，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)。但目標(biāo)函數(shù)有三個且約束條件較多，求解較復(fù)雜，在一定程度上也影響到模型求解的精確度，后續(xù)仍要進(jìn)一步優(yōu)化。