正交各向異性功能梯度微板彎曲行為尺度效應(yīng)

康澤天，張巖，周博，薛世峰

（中國(guó)石油大學(xué)(華東)儲(chǔ)運(yùn)與建筑工程學(xué)院，山東青島，266580)

功能梯度材料是材料組分或幾何尺寸沿結(jié)構(gòu)特定方向成連續(xù)梯度變化的一種新型材料，具有消除應(yīng)力集中、減小殘余應(yīng)力、增強(qiáng)連接強(qiáng)度和減小裂紋驅(qū)動(dòng)力等許多普通均質(zhì)材料不具備的優(yōu)異性能，廣泛應(yīng)用于航空航天、人工智能和微機(jī)電系統(tǒng)等領(lǐng)域[1-3]。隨著微電子科技發(fā)展，功能梯度微納結(jié)構(gòu)的應(yīng)用愈發(fā)廣泛，其在不同加載條件下的力學(xué)行為研究得到青睞。眾多微觀實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)并證實(shí)，當(dāng)結(jié)構(gòu)幾何尺寸進(jìn)入到微/納米量級(jí)時(shí)，其材料力學(xué)行為具有明顯的尺度效應(yīng)[4-5]。為合理解釋尺度效應(yīng)，許多專家學(xué)者在材料本構(gòu)關(guān)系中引入與微觀結(jié)構(gòu)相關(guān)的特征尺度參數(shù)，相繼提出應(yīng)變梯度理論和偶應(yīng)力理論等非經(jīng)典彈塑性理論，描述材料力學(xué)行為的尺度依賴性。偶應(yīng)力理論因引入較少的特征尺度參數(shù)，更適合工程實(shí)際建模。YANG 等[6]在偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上，提出修正偶應(yīng)力理論，只引入1個(gè)長(zhǎng)度尺度參數(shù)，在不失準(zhǔn)確性的前提下，簡(jiǎn)化建模過(guò)程，在微納結(jié)構(gòu)領(lǐng)域應(yīng)用最為廣泛；PARK 等[7]基于該理論建立了能夠描述Bernoulli-Euler 梁彎曲行為尺度效應(yīng)的力學(xué)模型，通過(guò)與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性；ASGHARI等[8-9]基于修正偶應(yīng)力理論，在線彈性范圍建立了能夠描述功能梯度Euler-Bernoulli 和Timoshenko 微梁彎曲及自由振動(dòng)尺度效應(yīng)的力學(xué)模型；KE 等[10]基于修正偶應(yīng)力理論分析功能梯度Timoshenko 微梁的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性問(wèn)題；在修正偶應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上，REDDY[9]和NATEGHI 等[11]分析多種功能梯度微梁的屈曲，并探討邊界條件對(duì)屈曲臨界載荷的影響。除此之外，許多專家學(xué)者對(duì)微板力學(xué)行為的尺度效應(yīng)進(jìn)行了理論研究。TSIATAS[12]基于修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff 板理論，建立能夠描述不同邊界條件下任意邊界形狀微板彎曲行為尺度效應(yīng)的力學(xué)模型；KE 等[13]基于修正偶應(yīng)力理論和一階剪切變形板理論，研究不同邊界條件下Mindlin 微板自由振動(dòng)行為，并分析材料尺度參數(shù)和板跨厚比等因素對(duì)尺度效應(yīng)的影響；THAI 等[14]基于Kirchhoff, Mindlin 和Reddy 板理論對(duì)功能梯度微板彎曲、自由振動(dòng)和屈曲行為進(jìn)行理論建模，并探討材料尺度參數(shù)對(duì)板彎曲撓度、自振頻率以及屈曲載荷的影響；LOU 等[15]考慮幾何非線性，基于修正偶應(yīng)力理論提出1種能夠描述功能梯度微板尺度效應(yīng)的統(tǒng)一高階板理論，并利用哈密頓原理推導(dǎo)微板的控制方程和邊界條件。上述研究對(duì)象均為各向同性材料結(jié)構(gòu)，隨著材料科學(xué)的發(fā)展和研究逐漸深入，許多專家學(xué)者對(duì)各向異性功能梯度微結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為進(jìn)行理論建模分析。GUO等[16-17]基于修正偶應(yīng)力理論，研究各向異性復(fù)合板的彎曲行為，并分析功能梯度參數(shù)和材料長(zhǎng)度對(duì)微板位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)尺度效應(yīng)的影響；CHEN 等[18]在修正偶應(yīng)力理論基礎(chǔ)上提出1種適用于各向異性材料的新修正偶應(yīng)力理論，并開展一系列有關(guān)層合梁板結(jié)構(gòu)彎曲、振動(dòng)和穩(wěn)定性等問(wèn)題的研究[19-20]；賀丹等[21-22]基于新修正偶應(yīng)力理論，研究平面正交各向異性功能梯度微梁以及斜交鋪設(shè)層合Kirchhoff 微板彎曲行為的尺度效應(yīng)；YANG等[23]基于新修正偶應(yīng)力理論和虛功原理研究正交各向異性功能梯度Kirchhoff 微板彎曲變形過(guò)程中撓度和正應(yīng)力的尺度效應(yīng)。上述研究均假設(shè)材料參數(shù)以冪指數(shù)形式變化，定性分析各向異性和指數(shù)變化對(duì)微結(jié)構(gòu)撓度、應(yīng)力和固有頻率尺度效應(yīng)的影響，但沒(méi)有定量分析微結(jié)構(gòu)考慮尺度效應(yīng)的幾何尺寸參數(shù)以及對(duì)微結(jié)構(gòu)中偶應(yīng)力尺度效應(yīng)。本文作者基于新修正偶應(yīng)力理論和Kirchhoff 板理論，研究材料參數(shù)沿板厚方向呈正弦梯度變化的正交各向異性簡(jiǎn)支微板的靜彎曲行為，重點(diǎn)考察各向異性和功能梯度參數(shù)對(duì)微板撓度、正應(yīng)力和偶應(yīng)力尺度效應(yīng)的影響，為微電子機(jī)械系統(tǒng)(MEMS)中微結(jié)構(gòu)的理論分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論基礎(chǔ)和技術(shù)參考。

1 新修正偶應(yīng)力理論

CHEN 等[18-20]提出新修正偶應(yīng)力理論，并給出彈性體應(yīng)變分量εij和曲率分量χij的表達(dá)式為：

式中：ui為平動(dòng)位移分量；

式中：ωi為轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量；eijk為置換符號(hào)；uk,j為位移分量uk對(duì)j坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)；下標(biāo)j和k均為啞標(biāo)；下標(biāo)i為自由標(biāo)。

各向異性彈性體的本構(gòu)關(guān)系可以描述為：

式中：σij為應(yīng)力分量；Dijkl為彈性常數(shù)分量；mij為偶應(yīng)力分量；Gi和Gj分別為2個(gè)正交方向的剪切模量；li和lj分別為2個(gè)正交方向的材料尺度參數(shù)。

2 正交各向異性功能梯度微板模型

2.1 基本變量描述

圖1所示為任意橫向分布載荷作用下Kirchhoff微板示意圖，其中，xy平面與微板中面重合。

根據(jù)Kirchhoff 板假設(shè)，板的位移場(chǎng)可以表示為

圖1 橫向載荷作用下正交各向異性微板示意圖Fig.1 Schematic diagram of orthotropic microplate under transverse load

式中：u，v和w分別為板內(nèi)任意一點(diǎn)沿x，y和z方向上的位移分量；u0和v0分別為變形后，板中面沿x和y方向上的位移。將式(6)代入式(1)，得到微板的非零應(yīng)變分量為

將式(6)和式(3)代入式(2)，得到微板的非零曲率分量為

由式(4)可知本構(gòu)關(guān)系可以表示為：

式中：D為剛度矩陣；σ和ε分別為應(yīng)力列向量和應(yīng)變列向量。剛度矩陣D中非零元素為

式中：μxy和μyx為材料不同方向的泊松比；Ex和Ey分別為材料沿x和y方向的彈性模量；Gxy，Gxz和Gyz分別為材料xy，xz和yz方向的剪切模量；lx和ly分別為材料沿x和y方向的特征尺度參數(shù)。

2.2 基于最小勢(shì)能原理的平衡方程

最小勢(shì)能原理表述為在一個(gè)保守系統(tǒng)的所有可能位移場(chǎng)中，真實(shí)位移場(chǎng)引起系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值，即總勢(shì)能的一階變分為零，表示為

式中：П為總勢(shì)能；U為彈性應(yīng)變能；Vp為外力勢(shì)能。彈性應(yīng)變能變分運(yùn)算結(jié)果為

將式(7)和式(8)代入式(13)，得

式中：

微板在橫向分布載荷q(x,y)作用下的外力勢(shì)能變分為

將式(14)和(15)代入式(12)，得

將式(7)和式(9)代入式(16)，得

式中：

式中：

對(duì)任意δu0，δv0和δw，式(17)均成立，可得

式(21)即為微板靜力學(xué)平衡方程。當(dāng)lx= 0，ly=0時(shí)，式(21)將退化為經(jīng)典彈性平衡方程。

3 尺度效應(yīng)

工程中任何形式的載荷均可描述為三角級(jí)數(shù)的形式，為突出微板結(jié)構(gòu)所承受實(shí)際載荷的復(fù)雜情況和本文解的普遍性，本節(jié)以受雙向正弦載荷的四邊簡(jiǎn)支微板為例，如圖2所示，研究正交各向異性功能梯度微板彎曲行為的尺度效應(yīng)。其中，a，b和h分別為微板的長(zhǎng)度、寬度和厚度。其材料參數(shù)Ex，Ey，Gxy，Gxz，Gyz，lx和ly均沿板厚方向呈正弦梯度變化，如圖3所示，梯度函數(shù)為

式中：X為微板材料參數(shù)，上標(biāo)s 表示微板表面；上標(biāo)c表示微板中面；

α為定義的量綱一功能梯度參數(shù)，當(dāng)α=1時(shí)，材料模型退化為正交各向異性均質(zhì)模型。

圖2 雙向正弦載荷作用下正交各向異性功能梯度簡(jiǎn)支微板示意圖Fig.2 Schematic diagram of orthotropic functionally graded simply supported microplate under bidirectional sinusoidal load

圖3 功能梯度簡(jiǎn)支微板截面材料參數(shù)梯度變化示意圖Fig.3 Schematic diagram of material parameter graded variation in the functionally graded simply supported microplate section

作用于微板的載荷函數(shù)關(guān)系式為

式中：q為微板所受橫向分布載荷；q0為常數(shù)。

簡(jiǎn)支微板的位移邊界條件

設(shè)滿足式(25)的位移勢(shì)函數(shù)為

式中：和為待定系數(shù)。將式(26)和(18)～(20)代入式(21)，得

式中：

將式(26)代入式(7)和式(9)，可得微板正應(yīng)力和偶應(yīng)力表達(dá)式為

為了便于分析，定義量綱一坐標(biāo)x'和y'，量綱一撓度w'，量綱一正應(yīng)力σx'和σy'以及量綱一偶應(yīng)力mx'，my'和mxy'的表達(dá)式分別為

式中：和分別為不考慮尺度效應(yīng)即材料特征尺度參數(shù)lx=0和ly=0時(shí)的經(jīng)典正應(yīng)力。

根據(jù)上述力學(xué)模型，對(duì)正交各向異性功能梯度簡(jiǎn)支微板在雙向正弦載荷作用下的撓度，正應(yīng)力和偶應(yīng)力分布進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。其中，載荷參數(shù)q0=1 000 MPa，微板的結(jié)構(gòu)尺寸為a=b=0.2 mm,h=0.025 mm,其材料參數(shù)如表1所示。

表1 正交各向異性功能梯度微板材料參數(shù)[23]Table 1 Material parameters of orthotropic functionally gradient microplate[23]

4 討論

4.1 撓度分析

圖4 所示為量綱一功能梯度參數(shù)α=1 時(shí)，微板量綱一撓度變化曲線。圖4(a)可見：微板沿x方向的撓曲線均呈正弦分布，且最大撓度出現(xiàn)在微板中間位置。由圖4(b)可見：當(dāng)h/lx較小時(shí)，微板量綱一撓度較小，當(dāng)h/lx小于5 時(shí)，微板撓度具有明顯的尺度效應(yīng)。隨著h/lx增大，量綱一撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明h/lx對(duì)微板沿x方向撓曲線的影響逐漸減弱，當(dāng)h/lx大于10時(shí)，隨著h/lx增大，微板最大量綱一撓度基本保持恒定，微板撓度的尺度效應(yīng)消失。除此之外，隨著h/ly增大，微板最大量綱一撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明h/ly也是影響微板撓度尺度效應(yīng)的重要因素。

圖4 量綱一撓度曲線特征Fig.4 Dimensionless deflection curves

圖5所示為不同功能梯度參數(shù)情況下微板中心最大量綱一撓度的變化曲線。由圖5可見：當(dāng)功能梯度參數(shù)較小時(shí)，微板最大量綱一撓度較小，隨著功能梯度參數(shù)增大，微板最大量綱一撓度逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明功能梯度參數(shù)對(duì)微板撓度的影響逐漸減弱。對(duì)比圖5(a)和5(b)可以發(fā)現(xiàn)：材料沿2個(gè)正交方向的長(zhǎng)度尺度參數(shù)對(duì)微板撓度尺度效應(yīng)的影響程度不同。

4.2 正應(yīng)力分析

圖6 所示為量綱一功能梯度參數(shù)α=1 時(shí)，微板量綱一正應(yīng)力σx'在x=a/2處截面沿y方向的變化曲線。由圖6可見：微板量綱一正應(yīng)力σx'均沿y方向均呈正弦分布，且最大正應(yīng)力出現(xiàn)在微板中間位置。當(dāng)板厚與材料長(zhǎng)度尺度參數(shù)比值較小時(shí)，微板量綱一正應(yīng)力較小，微板正應(yīng)力具有明顯的尺度效應(yīng)。隨著板厚與材料長(zhǎng)度尺度參數(shù)比增大，量綱一正應(yīng)力逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明板厚與材料尺度參數(shù)比對(duì)微板正應(yīng)力沿y方向變化曲線的影響逐漸減弱，微板正應(yīng)力的尺度效應(yīng)逐漸消失。對(duì)比圖6(a)和6(b)可以發(fā)現(xiàn)：材料沿2個(gè)正交方向的材料尺度參數(shù)對(duì)微板正應(yīng)力的尺度效應(yīng)影響程度不同。

圖7 所示為微板最大量綱一正應(yīng)力σx'隨板厚與材料x方向長(zhǎng)度尺度參數(shù)比值的變化曲線。由圖7(a)可見：當(dāng)h/lx小于5時(shí)，微板正應(yīng)力具有明顯的尺度效應(yīng)。當(dāng)h/lx大于10時(shí)，微板最大量綱一正應(yīng)力基本保持恒定，微板正應(yīng)力的尺度效應(yīng)消失。除此之外，隨著h/lx和h/ly同時(shí)增大，微板最大量綱一正應(yīng)力逐漸趨近于1，即微板最大正應(yīng)力的新修正偶應(yīng)力理論解逐漸趨近于不考慮尺度效應(yīng)時(shí)的經(jīng)典彈性理論解，從而驗(yàn)證了本文結(jié)果的準(zhǔn)確性。由圖7(b)可見：當(dāng)功能梯度參數(shù)較小時(shí)，微板最大量綱一正應(yīng)力較小，隨著功能梯度參數(shù)增大，微板最大量綱一正應(yīng)力逐漸增大，但增大程度逐漸減緩，表明功能梯度參數(shù)對(duì)微板正應(yīng)力的影響逐漸減弱。

4.3 偶應(yīng)力分析

圖7 微板最大量綱一正應(yīng)力隨h/lx的變化曲線Fig.7 Maximum dimensionless normal stress of microplate vs.dimensionless thickness h/lx

圖8(a)所示為h/lx取值不同時(shí)，微板量綱一偶應(yīng)力mx'在x=a/2處截面沿y方向的變化曲線。由圖8(a)可見：微板量綱一偶應(yīng)力mx'均沿y方向呈余弦分布，且最大偶應(yīng)力出現(xiàn)在微板邊界位置，中心處偶應(yīng)力為零；當(dāng)h/lx較小時(shí)，微板量綱一偶應(yīng)力較大。隨著h/lx增大，量綱一偶應(yīng)力逐漸減小，但減小程度逐漸減緩，表明h/lx對(duì)微板偶應(yīng)力的影響逐漸減弱，尺度效應(yīng)逐漸消失。圖8(b)所示為h/ly取值不同時(shí)，微板量綱一偶應(yīng)力mx'在x=a/2 處截面沿y方向的變化曲線。由圖8(b)可見：當(dāng)h/ly較小時(shí)，微板量綱一偶應(yīng)力較?。浑S著h/ly增大，量綱一偶應(yīng)力逐漸增大并趨于穩(wěn)定值，表明h/ly對(duì)微板偶應(yīng)力的影響逐漸減弱，尺度效應(yīng)逐漸消失。

對(duì)比圖8(a)和8(b)可以發(fā)現(xiàn)：沿2 個(gè)正交方向的長(zhǎng)度尺度參數(shù)對(duì)微板偶應(yīng)力的尺度效應(yīng)影響程度不同。材料x方向長(zhǎng)度尺度參數(shù)對(duì)微板量綱一偶應(yīng)力mx'的影響較大，材料y方向長(zhǎng)度尺度參數(shù)對(duì)微板量綱一偶應(yīng)力mx'的影響較小。h/lx減小對(duì)量綱一偶應(yīng)力mx'具有減弱作用，而h/ly減小對(duì)量綱一偶應(yīng)力mx'具有增強(qiáng)作用。

圖8 微板量綱一偶應(yīng)力沿y方向分布曲線Fig.8 Dimensionless couple stress curves along y direction

圖9(a)所示為h/ly不同時(shí)，微板最大量綱一偶應(yīng)力mx'隨h/lx取值變化曲線。由圖9(a)可見：當(dāng)h/lx小于5時(shí)，微板最大量綱一偶應(yīng)力mx'隨板厚與材料尺度參數(shù)比值變化明顯；當(dāng)h/lx取值大于12 時(shí)，微板偶應(yīng)力趨于0，尺度效應(yīng)消失。圖9(b)所示為不同功能梯度參數(shù)情況下，微板最大量綱一偶應(yīng)力mx'隨h/lx取值的變化曲線。由圖9(b)可見：當(dāng)功能梯度參數(shù)較小時(shí)，微板最大量綱一偶應(yīng)力mx'較大；隨著功能梯度參數(shù)增大，微板偶應(yīng)力逐漸減小，但減小程度逐漸減緩，表明功能梯度參數(shù)對(duì)微板偶應(yīng)力的影響逐漸減弱。

圖9 微板最大量綱一偶應(yīng)力隨h/lx的變化曲線Fig.9 Maximum dimensionless couple stress of microplate vs.dimensionless thickness h/lx

5 結(jié)論

1) 基于新修正偶應(yīng)力理論和最小勢(shì)能原理，建立材料參數(shù)沿板厚方向呈正弦梯度變化的平面正交各向異性功能梯度微板的彎曲模型。

2)板厚與材料長(zhǎng)度尺度參數(shù)比值越小，微板撓度、正應(yīng)力和偶應(yīng)力的尺度效應(yīng)越明顯；當(dāng)板厚與材料長(zhǎng)度尺度參數(shù)比值大于10 時(shí)，微板彎曲行為的尺度效應(yīng)可以忽略不計(jì)。

3)材料沿2個(gè)正交方向的長(zhǎng)度尺度參數(shù)對(duì)微板撓度、正應(yīng)力和偶應(yīng)力的尺度效應(yīng)影響程度不同，且材料沿2個(gè)正交方向的長(zhǎng)度尺度參數(shù)變化引起偶應(yīng)力的變化趨勢(shì)相反。

4)功能梯度參數(shù)對(duì)微板撓度、正應(yīng)力和偶應(yīng)力的尺度效應(yīng)有一定影響，且隨著功能梯度參數(shù)增大，功能梯度參數(shù)對(duì)微板撓度、正應(yīng)力和偶應(yīng)力的影響逐漸減弱。