換熱管流體激振的動力學(xué)特性及穩(wěn)定性分析

冀 航

（蘭州理工大學(xué)石油化工學(xué)院）

換熱管是換熱器中的重要部件，通常采取增加流速、 減薄換熱管壁厚等手段提高換熱效率。但在進(jìn)行換熱強(qiáng)化的同時，高流速意味著管路不穩(wěn)定性的增加，可能會引起流體誘導(dǎo)振動［1］等多種形式的破壞，因此，為保證設(shè)備高效且安全運(yùn)行，有必要對換熱管流致振動的動力學(xué)特性和穩(wěn)定性進(jìn)行研究。

對于換熱管流致振動，一部分是管程流體縱向流動產(chǎn)生的振動，另一部分則是由殼程流體橫向沖刷引起的［2］。 由于折流板與換熱管之間留有安裝空隙，因此振動使換熱管的相對位置發(fā)生變化，改變了流場形態(tài)，此時激振力會持續(xù)作用于換熱管并使之振動，長此以往會對換熱器造成嚴(yán)重的破壞，需要在設(shè)計時避免［3］。

針對換熱管因流體誘導(dǎo)振動產(chǎn)生的不穩(wěn)定性，Chen S S總結(jié)了兩種基本的不穩(wěn)定性機(jī)理，即速度機(jī)理和位移機(jī)理。 速度機(jī)理認(rèn)為流體力與圓柱體流體的速度成正比，而位移機(jī)理認(rèn)為流體力與圓柱體的位移成正比［3］。 當(dāng)流體誘導(dǎo)振動的能量無法被自身完全消耗時， 系統(tǒng)產(chǎn)生不穩(wěn)定性。然而在工程實際中，這兩種不穩(wěn)定性機(jī)理并不能很好地統(tǒng)一起來，并且對于振動的能量衰減與不穩(wěn)定性之間的關(guān)系尚未存在明確的解釋。

此外，國內(nèi)外對于管程流體誘發(fā)振動的研究主要集中在對管路臨界流速和對換熱管自振頻率的求解［4，5］，對換熱管振動特性和流動穩(wěn)定性并無明確的研究。

筆者將針對換熱管的結(jié)構(gòu)特點建立動力學(xué)模型并分析其振動特性，找出影響振動的因素和條件，并對其穩(wěn)定性判據(jù)進(jìn)行分析，可為換熱器的設(shè)計與使用提供依據(jù)與指導(dǎo)。

1 換熱管動力學(xué)模型的建立

與縱向流體的誘導(dǎo)振動相比，管外橫向流產(chǎn)生的激振力更大，其振動也更為劇烈。 因此在工程實踐中主要考慮流體的橫向振動［6］。

可將換熱管視為兩端由管板固定，中間多個折流板簡支的細(xì)長梁，取其中固支到簡支的一段進(jìn)行分析，考慮到換熱管柔度較大，因此忽略軸向力和截面繞中性軸轉(zhuǎn)動慣量的影響，其受力分析如圖1所示。

圖1 換熱管受力分析

取換熱管上任意一微元體，其剪力與彎矩如圖2所示。

圖2 微元體受力圖

微元體的豎向平衡條件為：

由此可得：

微元體右截面與x軸交點取矩：

忽略二階無窮小量，可得：

材料力學(xué)中梁的彎矩與變形的關(guān)系為：

聯(lián)立式（2）、（4）、（5），得到換熱管的橫向振動微分方程：

對于均質(zhì)等截面的換熱管，其橫向振動微分方程可簡化為：

在換熱管實際振動過程中，還必須考慮阻尼的影響， 換熱管所受到的阻尼力來自于兩部分，一部分是外界介質(zhì)對換熱管運(yùn)動的阻抗，為外阻尼力； 另一部分則是由于振動導(dǎo)致的反復(fù)變形，沿?fù)Q熱管截面產(chǎn)生的分布阻尼應(yīng)力， 為內(nèi)阻尼力，二者阻尼形式均可視為粘性阻尼，其中外阻尼力是振速的函數(shù)，設(shè)其阻尼系數(shù)為c，即外阻尼力fn（x）可表示為：

內(nèi)阻尼力與材料應(yīng)變速度成正比，設(shè)其阻尼系數(shù)為cs，則內(nèi)阻尼力σi（x）可表示為：

將式（8）、（9）代入式（7），則可得到換熱管有阻尼振動的偏微分方程：

2 換熱管動力學(xué)特性分析

對于式（10）而言，方程的左側(cè)由慣性力、彈性力和阻尼力3個部分構(gòu)成，右側(cè)為激振力項，當(dāng)P（x，t）=0時，即換熱管不受外力作用時，其方程形式與彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)高度相似， 則可按照該模型進(jìn)一步分析，換熱管自由振動模型如圖3所示。

圖3 換熱管自由振動模型

對應(yīng)的運(yùn)動方程可以簡寫為：

該方程的解形為：

考慮特征方程為復(fù)根的情況， 即λ1，2=-h±jω，其中：

故方程通解為：

其中，A、B由初始條件決定，設(shè)t=0時，x=x0，則得到位移和速度的表達(dá)式為：

進(jìn)一步改寫為如下形式：

其中：

該形式的振動屬于衰減振動過程，并且其振幅按照指數(shù)規(guī)律衰減。 系統(tǒng)相繼兩次通過平衡位置之間的時間間隔T=2π/ω。

對于圖3所示的模型而言， 振動規(guī)律具有衰減振動特征，其表達(dá)式如式（17），此外，由于假設(shè)了阻力正比于速度，因此振動的最大值才會按指數(shù)規(guī)律衰減，故對數(shù)衰減僅適用于線性系統(tǒng)中。

3 換熱管穩(wěn)定性分析

得知微分方程（12）的解，便可求出所在的相軌線簇的方程， 在相平面x、y上的參數(shù)方程可寫為：

對x、y進(jìn)行坐標(biāo)變換，令u=ωx，v=y＋hx，記ωK=C1，則：

利用極坐標(biāo)，可以使相軌線擁有更加簡單的形式ρ=C1e-ht，φ=-（ωt＋α），消去時間，可得ρ=。這樣， 可見相軌線在u、v平面上是一個以坐標(biāo)原點為漸近點的對數(shù)螺線簇，具體如圖4所示。

圖4 u-v平面相軌線

可得相軌線的坐標(biāo)方程為：

由于相軌線在做逆變換時不會改變定性性質(zhì)，因此，x、y面上的相軌線簇也是以坐標(biāo)原點為漸近點的螺線簇。

滿足變換前的性質(zhì)，因此，相鄰的相徑之間按指數(shù)規(guī)律衰減，其對數(shù)衰減率d=hT，做出表示全部可能運(yùn)動的圖像，如圖5所示。

圖5 x-y平面相軌線簇

由圖4、5可見， 所有相軌線都對應(yīng)于趨向于平衡位置的衰減振動，并且奇點滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件，在相平面則表述為運(yùn)動的穩(wěn)定性與積分曲線的卷攏和展開有關(guān)，由于坐標(biāo)的選擇單值地決定了相點的運(yùn)動方向，因此便可以單值確定奇點的穩(wěn)定，反之，若螺線處于展開的形式，那么奇點就是不穩(wěn)定的。 對應(yīng)的穩(wěn)定性條件則表示在方程（22）中，積分曲線卷攏的條件為h＞0，因為只有在這個情況下，沿順時針方向運(yùn)動時，其相徑才會減小，系統(tǒng)最終才會趨于穩(wěn)定。

進(jìn)一步返回到方程（11）所表示的關(guān)系式中，則該穩(wěn)定條件對應(yīng)的物理意義為：系統(tǒng)的阻尼為正，且該過程中阻尼不斷消耗系統(tǒng)能量，這種阻止運(yùn)動且消耗功的正阻力不會引起不穩(wěn)定，并且，若在無阻尼系統(tǒng)的平衡位置是穩(wěn)定時，則存在阻尼時，該系統(tǒng)仍然是穩(wěn)定的。

4 結(jié)束語

筆者采用理論分析方法研究了換熱管受流體激振的動力學(xué)穩(wěn)定性問題，首先建立了換熱管流體誘導(dǎo)振動的動力學(xué)方程，并進(jìn)一步對其振動特性進(jìn)行分析，結(jié)果表明指數(shù)衰減振動僅存在于線性系統(tǒng)當(dāng)中；其次，結(jié)合李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，推導(dǎo)出換熱管受流體激振的穩(wěn)定性對應(yīng)于換熱管動力學(xué)方程在相平面內(nèi)積分曲線的卷攏狀態(tài)，結(jié)果表明當(dāng)相徑減小時，系統(tǒng)最終趨于穩(wěn)定。此外，分析了系統(tǒng)阻尼對穩(wěn)定性的影響，結(jié)果表明正阻尼不會引起系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象，對于初始平衡狀態(tài)的無阻尼系統(tǒng)， 當(dāng)存在正阻尼作用時，系統(tǒng)最終會保持穩(wěn)定。