美聯(lián)航事件中的機(jī)票超售問(wèn)題研究

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（湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

2017年發(fā)生的美聯(lián)航事件引起各方關(guān)注，事件起因是美國(guó)由來(lái)已久的機(jī)票超售制度。超售制度起源于20世紀(jì)初的歐洲國(guó)家，是航空公司為了避免出現(xiàn)空位損失，在飛機(jī)起飛前售出大于飛機(jī)實(shí)際座位數(shù)的一種銷(xiāo)售模式。在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，總有訂座之后因?yàn)楦鞣N原因不能來(lái)登機(jī)和起飛前退票的旅客，這種現(xiàn)象稱(chēng)為No-show[1]。文獻(xiàn)[2]提出即使是完全售空的航班，在航班起飛前都會(huì)有5%～15%的旅客No-show，而為了減少No-show 旅客帶來(lái)的空座損失，航空公司會(huì)采取超售的方式使得利益達(dá)到最大化。所以早期學(xué)者們主要根據(jù)No-show 人數(shù)分布來(lái)研究最優(yōu) 超 售 水 平。1958年，M.J.Beckmann等[1]將Noshow 旅客帶來(lái)的總損失用泊松分布和伽馬分布進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)伽馬分布與航空實(shí)際情況比較符合，并依此提出一個(gè)靜態(tài)超售模型，文獻(xiàn)[3]運(yùn)用Bellman-Jacobi 方程對(duì)模型進(jìn)行分析，并求解了分段超售限制的最優(yōu)解，該模型得到了各大航空公司的認(rèn)可，并進(jìn)行試用。但這一模型也有不利的一面，當(dāng)?shù)菣C(jī)人數(shù)超過(guò)了飛機(jī)實(shí)際座位數(shù)時(shí)，就會(huì)造成有些買(mǎi)了票的旅客無(wú)法登機(jī)，這種旅客被稱(chēng)為DB（denied boarding）旅客，而因此產(chǎn)生的一系列費(fèi)用稱(chēng)為DB 補(bǔ)償[4]，文獻(xiàn)[4]重點(diǎn)研究DB 旅客對(duì)超售收益的影響，并提出在保證盈利情況下航班能承受的最大DB 率。在美聯(lián)航事件中就是因?yàn)楸籇B 旅客拒絕放棄登機(jī)，其他乘客也沒(méi)人愿意放棄登機(jī)，才導(dǎo)致了事件的發(fā)生。相對(duì)發(fā)達(dá)國(guó)家來(lái)說(shuō)我國(guó)的超售制度引入較晚，相關(guān)的制度也不夠完善。但是隨著人們生活水平的提高，航運(yùn)已經(jīng)成為人們經(jīng)常選擇的交通方式，特別是在節(jié)假日時(shí)，通常會(huì)出現(xiàn)一票難求的現(xiàn)象。所以，為了保證航班最大限度地使用運(yùn)力，讓更多旅客享受便捷的航空服務(wù)，機(jī)票超售不可避免。因?yàn)榇蟊妼?duì)機(jī)票超售的認(rèn)同感很低，還有一部分甚至不知道機(jī)票超售概念，所以由“機(jī)票超售”引起的投訴和訴訟也不少。我國(guó)在這方面的研究還很少，其中文獻(xiàn)[5-6]建立了基于二項(xiàng)分布的超售模型，但都只討論No-show 人數(shù)對(duì)總收益的影響，未考慮DB 人數(shù)對(duì)總收益的影響；文獻(xiàn)[7]同時(shí)考慮了這兩個(gè)因素，借助Matlab 軟件采用枚舉法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，求出不同條件下的最佳銷(xiāo)售量與其對(duì)應(yīng)的超售總成本，并通過(guò)分析得出No-show 人數(shù)和DB 人數(shù)對(duì)最佳銷(xiāo)售量和超售總成本的影響。

本文從航班總收益和最佳超售水平的角度出發(fā)，綜合考慮了No-show 人數(shù)和DB 人數(shù)對(duì)最佳銷(xiāo)售量和超售總成本的影響，最后得出了與文獻(xiàn)[7]一致的部分結(jié)論，同時(shí)利用Matlab 軟件繪制了函數(shù)圖像，更直觀(guān)地呈現(xiàn)了在不同條件下航班總收益與訂票水平的關(guān)系，并從航班收益最高點(diǎn)附近的圖像走勢(shì)中得出No-show 人數(shù)和DB 人數(shù)對(duì)航班總收益的影響，然后在結(jié)論的基礎(chǔ)上給出有效建議，并通過(guò)實(shí)例加以驗(yàn)證，增加了模型的可靠性。

2 基于二項(xiàng)分布的航空機(jī)票超售模型的建立

2.1 模型的假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明

為了強(qiáng)化旅客No-show 人數(shù)分布對(duì)于航空機(jī)票超售量的影響作用，便于模型的構(gòu)建，作出如下3個(gè)假設(shè)：

假設(shè)1由于旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)是相互獨(dú)立的，所以假設(shè)旅客達(dá)到是離散的。

假設(shè)2不考慮多級(jí)票價(jià)的情況，即航班的座位具有無(wú)差異性。

假設(shè)3No-show 人數(shù)k服從二項(xiàng)分布。

為了便于模型的構(gòu)建以及問(wèn)題的理解與說(shuō)明，作以下符號(hào)設(shè)定：

f，為航班的飛行總成本，不隨旅客人數(shù)的變化而變化，是一個(gè)固定值，作為常數(shù)處理；N，為航班飛機(jī)所載額定旅客數(shù)，即實(shí)有座位量；n，為飛行中飛機(jī)所載旅客數(shù)；g，為旅客所購(gòu)機(jī)票的票價(jià)；m，為航班起飛前訂座人數(shù)；k，為航班起飛時(shí)，Noshow 旅客人數(shù)；b，為航班起飛時(shí)，處理一名被DB的旅客給航空公司所在成的平均損失費(fèi)用；s，為本次飛行完成后，航空公司所得的利潤(rùn)；p，為一個(gè)訂座的旅客到達(dá)的概率；q，為一個(gè)訂座的旅客“Noshow”的概率；p(k)，為k人“No-show”的概率。

2.2 預(yù)期收益模型的建立

根據(jù)以上假設(shè)以及符號(hào)說(shuō)明可知：在某次航班飛行周期中，需要登機(jī)的旅客人數(shù)為m-k，航空公司的預(yù)期收益為

因?yàn)閷?duì)于某一特定的航班來(lái)說(shuō)，No-show 人數(shù)k是一個(gè)隨機(jī)變量，所以航空公司的預(yù)期收益用預(yù)期收益的數(shù)學(xué)期望來(lái)表示，會(huì)更加適當(dāng)和準(zhǔn)確，它表示所有可能No-show 人數(shù)k值對(duì)應(yīng)的情況下的預(yù)期收益乘以相對(duì)應(yīng)的概率的和，記為，因此航班的預(yù)期收益為

本模型的難點(diǎn)是如何確定Pk的值，需要考慮眾多因素，對(duì)大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對(duì)航班的實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的監(jiān)控，才能確定Pk的值。為了便于問(wèn)題的研究，假設(shè)旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率是p，旅客被No-show的概率為q，又因?yàn)槊總€(gè)旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)是相互獨(dú)立的事件，所以k服從二項(xiàng)分布，且

研究超售的任務(wù)是找一個(gè)最佳平衡點(diǎn)，使得航班的期望收益盡可能的大，而旅客被DB的人數(shù)盡可能的少，即最佳訂票水平。所以在超售模型中，怎樣正確評(píng)估航空公司對(duì)每個(gè)航班不同的DB，計(jì)算出航空公司所能承受的最大DB 旅客人數(shù)，是保證航班最大期望收益的關(guān)鍵。

設(shè)X為一次航班飛行周期中旅客被DB的人數(shù)，則可以算出至少z個(gè)旅客被DB的概率：

2.3 模型求解

在k服從二項(xiàng)分布的狀態(tài)下，建立了航班的預(yù)期收益模型。因?yàn)榍沂莐的期望值，用來(lái)表示，則可以簡(jiǎn)化模型（2），變?yōu)?/p>

式中：f、g、b為不被航空公司短期因素影響的參數(shù)；N為不可變參數(shù)；k為外部不可控參數(shù)，不受航空公司控制；m為航空公司短期靈活可控參數(shù)。

則在某一特定情況下g、b、f、k、N是固定值，此時(shí)只隨訂票水平m的變化而變化。所以只要用Matlab 數(shù)學(xué)軟件編制程序，輸入任意g、b、f、k、N和訂票水平m，就可以求出對(duì)應(yīng)的。當(dāng)取得最大值時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的m就是最優(yōu)的超售水平。

又因?yàn)樵谝淮物w行中，在載客率超過(guò)60%時(shí)，航空公司才能盈利，所以假設(shè)f=0.6Ng，且=qm，繼續(xù)化簡(jiǎn)式（5）得：

則此時(shí)最大期望收益變成了最大期望收益率的問(wèn)題，且最大期望收益與處理一名DB 旅客的賠償額和票價(jià)的比值b/g建立了函數(shù)關(guān)系。

3 模型分析

對(duì)式（7）用Matlab 軟件編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行數(shù)值分析。以南方航空公司的波音B737-700為例，N=120，分以下兩種情況討論。

3.1 b 保持不變

取b/g=0.3，可得最大訂票水平m的值隨旅客的到達(dá)率p的變化曲線(xiàn)，如圖1所示。

圖1 不同p值下期望收益率/f 隨訂票水平m的變化情況Fig.1 Expected return /f changes with booking level m under different values of p

此時(shí)根據(jù)式（4）計(jì)算可得出，當(dāng)獲得最大期望收益時(shí)所對(duì)應(yīng)的至少z個(gè)旅客被DB的概率，在本次模型中根據(jù)2017年本航班在每個(gè)飛行周期中被DB人數(shù)的眾數(shù)來(lái)確定z的值，取z=3，則有：

當(dāng)p=0.95，m=128時(shí)，P(X≥3)=0.378 4；

當(dāng)p=0.90，m=136時(shí)，P(X≥3)=0.503 9；

當(dāng)p=0.85，m=145時(shí)，P(X≥3)=0.579 5。

從圖1中的曲線(xiàn)走勢(shì)可以看出：

2）最佳訂票水平m與旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率p值成負(fù)相關(guān)，所以當(dāng)旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率p較低時(shí)，為了彌補(bǔ)因?yàn)镹o-show 帶來(lái)的空位損失，就要提高超售水平，以保證航班的收益率；

3）最大期望收益率基本穩(wěn)定，雖然隨著旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率p值的減小，最大期望收益率也在減小，但是收益率減少量與最優(yōu)訂票水平的上升量完全不成正比，這就說(shuō)明了期望收益率受p值的影響較小，基本上是穩(wěn)定的，也從側(cè)面說(shuō)明了采取超售的方式進(jìn)行售票，可以在一定程度上保證航空公司的收益率，證明該方式是可行的；

4）至少有3 人被DB的概率與旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率值成負(fù)相關(guān)，而旅客被DB的概率越大，航空公司進(jìn)行DB 補(bǔ)償?shù)目偨痤~就越大，航空公司的期望收益率就越小，所以，為了保證收益率，需要將P(X≥z)限制在某個(gè)范圍內(nèi)。

3.2 p 保持不變

取p=0.9，可得最大訂票水平m隨b/g變化的曲線(xiàn)，如圖2所示。

圖2 不同b/g值下期望收益率/f 隨訂票水平m的變化情況Fig.2 Expected return /f changes with booking level m under different values of b/g

此時(shí)可根據(jù)式（4）計(jì)算得出，當(dāng)獲得最大期望收益時(shí)所對(duì)應(yīng)的至少3個(gè)旅客被DB的概率分別如下：

當(dāng)b/g=0.2，m=137時(shí)，P(X≥3)=0.604 0；

當(dāng)b/g=0.3，m=136時(shí)，P(X≥3)=0.503 9；

當(dāng)b/g=0.4，m=135時(shí)，P(X≥3)=0.400 9；

當(dāng)b/g=0.5，m=135時(shí)，P(X≥3)=0.378 4。

從圖2的曲線(xiàn)走勢(shì)可以看出：

1）隨著b/g值的增大，最大期望收益率減小，與之相對(duì)應(yīng)的最大期望收益的訂票水平m有所減少但是幅度比較小，這就說(shuō)明最大期望收益率對(duì)于b/g的變化不敏感，結(jié)果與實(shí)際情況是相符合的，當(dāng)處理一名DB的旅客的費(fèi)用b很高時(shí)，航空公司一般會(huì)采取保守的超售政策，降低訂票水平來(lái)規(guī)避DB的發(fā)生，減少因此而帶來(lái)的損失；

2）至少3 人被DB的概率隨著b/g值的增大而顯著下降，直至不再發(fā)生變化變。這說(shuō)明被DB的人數(shù)對(duì)b/g的變化非常敏感，所以確定合適的DB 補(bǔ)償值b可以減少DB的概率，從而提高航空公司的預(yù)期收益率。

4 實(shí)例分析

選取廣州-昆明航線(xiàn)，飛機(jī)型號(hào)為B737-300的航班進(jìn)行實(shí)例分析，已知客容量N=120，機(jī)票價(jià)格g=1 000，DB 補(bǔ)償額b=300。根據(jù)2017年1月—2017年12月中國(guó)民用航空局發(fā)表的旅客訂票信息數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)航班起飛時(shí)旅客登機(jī)狀態(tài)分布，如表1所示（數(shù)據(jù)來(lái)源為http//www.caac.gov.cn）。

表1 航班起飛時(shí)旅客登機(jī)狀態(tài)分布Table1 Passenger boarding status distribution at flight departure

根據(jù)航班起飛時(shí)旅客登機(jī)狀態(tài)分布表中的數(shù)據(jù)，利用Matlab可得旅客在航班起飛前到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率p的均值為

分別將N=120、g=1 000、b=300以及p=E(P)= 0.897 5 代入式（7）中，并利用Matlab 進(jìn)行計(jì)算，得出航班在本次飛行中的最大期望收益率所對(duì)應(yīng)的訂票水平，如圖3所示。

圖3 實(shí)例結(jié)果圖Fig.3 Case results chart

由圖3可以看出，期望收益率隨著訂票水平的增加先增加后減少，在訂票水平m=136時(shí)，期望收益率取得最大值。即航空公司在該航線(xiàn)上的最優(yōu)訂票水平為m=136。

雖然得出的結(jié)果136 略大于實(shí)際運(yùn)營(yíng)中的旅客的訂票需求量134，但是這個(gè)結(jié)果仍然具有很大的現(xiàn)實(shí)意義以及較高的參考價(jià)值。第一，在不考慮多級(jí)票價(jià)的情況下，這個(gè)模型在一定程度上很大地降低了實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中存在的空座率和被DB 率，使更多的人能夠成功出行的同時(shí)也提高了航空公司的收益；第二，根據(jù)實(shí)例中的條件，計(jì)算所得最大訂票水平m所對(duì)應(yīng)的收益率接近航班最大收益率；第三，這個(gè)結(jié)果為航空公司制定訂票水平提供了量化依據(jù)。

綜上所述，本模型與在實(shí)際運(yùn)營(yíng)過(guò)程中的擬合度較高，可以作為航空公司制定訂票水平時(shí)的參考。

5 結(jié)語(yǔ)

本研究從No-show 旅客人數(shù)的分布入手，基于二項(xiàng)分布的航空機(jī)票超售模型，通過(guò)對(duì)模型的求解和分析，得到了航班的最優(yōu)訂票水平與旅客到達(dá)機(jī)場(chǎng)的概率以及處理DB 旅客的費(fèi)用關(guān)系[8-10]。從仿真數(shù)值分析的結(jié)果可以看出，最大期望收益率的值基本穩(wěn)定，這也說(shuō)明了采用超售方式進(jìn)行售票可以保證航空公司的穩(wěn)定收益。從理論上來(lái)說(shuō)模型具有一定的價(jià)值性。但是由于計(jì)算的復(fù)雜性，本研究暫時(shí)沒(méi)有考慮多等級(jí)票價(jià)和旅客在訂票周期中的訂票狀態(tài)對(duì)最優(yōu)訂票水平的影響，另外由于網(wǎng)上訂票的普及性，人們訂票越來(lái)越便捷的同時(shí)，退票也越來(lái)越迅速，所以如何對(duì)訂票周期進(jìn)行細(xì)分并建立動(dòng)態(tài)多等級(jí)票價(jià)的最優(yōu)訂票水平是有待進(jìn)一步研究的問(wèn)題。