用弗賴登塔爾理論看一道中考壓軸題的“再創(chuàng)造”

胡小明

【摘要】本文用弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論去看一道中考題的演變，這是一道2016年的中考題，經(jīng)過“再創(chuàng)造”又在2018年的中考試卷上出現(xiàn)了.這給我們的教學(xué)帶來了深深的思考.

【關(guān)鍵詞】再創(chuàng)造;弗賴登塔爾理論;二次函數(shù);壓軸題

弗賴登塔爾的理論可以簡單概括為：現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)化、再創(chuàng)造.本文著重用“再創(chuàng)造”理論看問題.“再創(chuàng)造”的核心是數(shù)學(xué)過程再現(xiàn).教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作.中考壓軸題一直是眾多中考學(xué)生的頭痛之處.很多人進(jìn)入題海，再從題海上岸后，仍然對壓軸題束手無策.原因在于他們沒有真正做到“知其然，并知其所以然”，從而觸類旁通，實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”.

試題1 （2016·連云港）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過兩點(diǎn)A（-1，1），B（2，2）.過點(diǎn)B作BC∥x軸，交拋物線于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D.

（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）若拋物線上存在點(diǎn)M，使得△BCM的面積為7，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

（3）連接OA，OB，OC，AC，在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△AOC與△OBN相似（邊OA與邊OB對應(yīng)）的點(diǎn)N的坐標(biāo).

本題是壓軸題，第（1）問考查了二次函數(shù)的關(guān)系式和點(diǎn)的坐標(biāo)問題，難度不大;第（2）問則是與二次函數(shù)結(jié)合的三角形面積問題，難度中上;第（3）問則是與二次函數(shù)有關(guān)的三角形相似問題，二次函數(shù)和相似本來都是初中階段的重難點(diǎn)所在，這兩者又結(jié)合在一起，難度自然就很大了，只有很少的學(xué)生能夠順利完成，它體現(xiàn)了中考對優(yōu)秀學(xué)生的選拔要求.

試題2 （2018·連云港）如圖2所示，圖形ABCD是由兩個二次函數(shù)y1=kx2+m（k<0）與y2=ax2+b（a>0）的部分圖像圍成的封閉圖形.已知A（1，0），B（0，1），D（0，-3）.

（1）直接寫出這兩個二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形（正方形的四個頂點(diǎn)均在圖形ABCD上），并說明理由;

（3）如圖3所示，連接BC，CD，AD，在坐標(biāo)平面內(nèi)，求使得△BDC與△ADE相似（其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對應(yīng)頂點(diǎn)）的點(diǎn)E的坐標(biāo).

試題1和試題2都是同一地區(qū)不同年份的中考壓軸題.那么，試題2是如何由試題1“再創(chuàng)造”而來的呢？筆者將其歸結(jié)為以下兩個方面：

1.圖形的“再創(chuàng)造”.試題1是一條拋物線，試題2則是2條拋物線，而且試題2的2條拋物線還組成了近似橢圓的封閉圖形，學(xué)生從視覺上易產(chǎn)生害怕情緒.

2.所提問題的“再創(chuàng)造”.都是3個小問題，第（1）問很相近，都是主要考查二次函數(shù)關(guān)系式的求法;第（2）問則完全不同，試題1的第（2）問是有關(guān)三角形的面積問題，試題2的第（2）問則是主要考查了正方形的性質(zhì)問題;第（3）問都是最難的，但考查的都是三角形相似的存在性問題，考查點(diǎn)和所用方法的核心都是一樣的.

作為教師，最根本的任務(wù)是教會學(xué)生如何學(xué)習(xí).這對我們教師提出了更高的要求，我們先要學(xué)會講題，然后再對題目本身進(jìn)行再創(chuàng)造，從容應(yīng)對一道題目的各種演變，以保證將學(xué)生引上“再創(chuàng)造”的道路上去，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)活動更為主動、有效.

【參考文獻(xiàn)】

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.