定積分計(jì)算方法的歸納和分析

石素瑋

【摘要】定積分的計(jì)算方法在積分學(xué)中具有重要的地位，其計(jì)算方法和技巧也非常豐富，切實(shí)掌握求積分的方法很有必要.本文系統(tǒng)地歸納和分析了定積分的計(jì)算方法，有助于提高學(xué)生定積分的計(jì)算能力.

【關(guān)鍵詞】定積分;被積函數(shù);積分區(qū)間;計(jì)算方法

【基金項(xiàng)目】福建省自然科學(xué)基金計(jì)劃項(xiàng)目（2018J01101）;廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院橫向科研項(xiàng)目（JGH2017022）;漳州市科技計(jì)劃項(xiàng)目（2018G0201）.

定積分是微積分三大基本運(yùn)算之一，也是計(jì)算重積分、曲線積分和曲面積分的基礎(chǔ).本文對(duì)定積分的常規(guī)計(jì)算方法——定義法、Newton-Leibniz公式法、換元積分法、分部積分法等，進(jìn)行歸納并分析各種方法的用途和注意事項(xiàng)，方便學(xué)生在計(jì)算定積分時(shí)進(jìn)行方法的選擇，從而提高計(jì)算效率，開拓解題思路，提高計(jì)算定積分的能力.

下面我們主要講解定積分在計(jì)算過程中通常所使用的方法.

一、利用定義計(jì)算定積分

按定積分的定義，不一定要將區(qū)間n等分，只要最長(zhǎng)的小區(qū)間長(zhǎng)度趨于零即可.

由例1可知，通過求積分和的極限來計(jì)算定積分一般來說是比較困難的.

二、利用幾何意義計(jì)算定積分

定積分的幾何意義：設(shè)函數(shù)f（x）定義在區(qū)間[a，b]上，若f（x）≥0，則∫baf（x）dx表示由連續(xù)曲線y=f（x）與直線x=a，x=b，x軸所圍成的曲邊梯形的面積S;若f（x）≤0，則∫baf（x）dx等于該曲邊梯形的面積的相反數(shù)∫baf（x）dx=-S.

三、利用Newton-Leibniz公式計(jì)算定積分

該方法的關(guān)鍵是容易找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這樣就可以直接計(jì)算，如果被積函數(shù)的原函數(shù)不容易找到，則可借鑒以下計(jì)算方法.

四、利用換元積分法和分部積分法計(jì)算定積分

（一）湊微分

（二）被積函數(shù)含有無理因子時(shí)

（三）三角代換

（四）分部積分法

五、利用倒代換計(jì)算定積分

當(dāng)被積函數(shù)分母所含多項(xiàng)式的次數(shù)明顯高于分子所含多項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，可采用倒代換，即令x=1t.

綜上所述，定積分的計(jì)算有很強(qiáng)的靈活性，形式多樣，對(duì)于具體的函數(shù)的積分，我們只能通過具體問題具體分析，再通過嘗試求出定積分的值.

【參考文獻(xiàn)】

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