推進劑貯箱區(qū)間干涉時變可靠性分析方法

辛騰達，趙繼廣，崔村燕，段永勝

推進劑貯箱作為貯存液體推進劑的大型薄壁結構，一旦發(fā)生泄漏將造成巨大的經(jīng)濟損失、環(huán)境破壞與人員傷亡，因此對推進劑貯箱的可靠性進行分析，對保證航天試驗安全具有重大的現(xiàn)實意義。當火箭長期處于代發(fā)狀態(tài)時，由于腐蝕、老化及外界隨機載荷等因素的影響，推進劑貯箱的可靠性不再是傳統(tǒng)模型下的單一數(shù)值，通常表現(xiàn)出時變特性。

結構時變可靠性分析主要基于跨越率的方法［1-2］，但由于其復雜的積分運算，很難在工程實際中進行有效的應用。為提高跨越率的計算效率，Andrieu-Renaud等［3］提出了PHI2方法。然而，對于一些復雜結構，PHI2方法的計算效率也將會大大降低。蒙特卡羅［4-5］、等效隨機過程變換［6］、基于交叉熵的自適應采樣［7］及應力-強度干涉［8］等基于概率隨機過程的方法，也是時變可靠性分析中常用的方法。然而，概率可靠性分析在很大程度上依賴于參數(shù)的具體分布，如果由于缺乏數(shù)據(jù)而主觀對分布形式進行假設，所得分析結果難以令人信服［9］。

20世紀90年代，Ben-Haim［10］首次提出基于凸模型理論的結構可靠度概念，將工程結構中的有界不確定參數(shù)表示為凸模型的形式。1995年，Elishakoff［11］將應力上界與屈服應力之比定義為非概率安全系數(shù)，應用區(qū)間理論對非概率安全性進行了分析。2001年，Guo和Lv［12］將不確定參數(shù)量化為區(qū)間變量，提出將原點到極限狀態(tài)面的最短距離定義為非概率可靠度的方法。2003年，Qiu和Wang［13］將非概率區(qū)間方法與概率方法進行了比較，證明了區(qū)間理論與概率理論分析結果的一致性。近年來，非概率可靠性理論處理參數(shù)不確定問題的巨大優(yōu)勢，引起了理論界和工程界的廣泛關注［14-15］，為推進劑貯箱時變可靠性分析提供了重要參考。

本文基于區(qū)間理論與應力-強度干涉理論，提出了一種應用于推進劑貯箱時變可靠性分析的非概率區(qū)間干涉時變可靠性分析方法，并結合推進劑貯箱示例參數(shù)，與服從正態(tài)分布的應力-強度干涉可靠性方法及區(qū)間可靠性方法進行了對比分析，驗證了本文方法的有效性。

1 推進劑貯箱應力分析

1.1 橢球底圓柱貯箱模型

橢球底圓柱貯箱是貯存液體推進劑的重要結構，主要承受內(nèi)部增壓、軸壓及液壓的作用。根據(jù)橢球底圓柱貯箱的實際受力情況，建立橢球底圓柱貯箱模型，如圖1所示。圖中：xOy為基準坐標系，δb為橢球下底壁厚，r為參考點到y(tǒng)軸距離，b為橢球底高度，R1和R2分別為橢球下底第一曲率半徑和第二曲率半徑，φb為R2與y軸夾角，a為貯箱半徑，δc為圓柱筒壁厚，hc為圓柱筒高度，h為推進劑液面高度，δr為橢球上底壁厚，R3和R4分別為橢球上底第一曲率半徑和第二曲率半徑，φr為R4與y軸夾角。

圖1 橢球底圓柱貯箱模型Fig.1 Cylindrical tank model with ellipsoid bottom

1.2 橢球下底應力分析

據(jù)圖1可知，貯箱橢球下底母線的橢圓方程可表示為

橢球模數(shù)m定義為貯箱半徑a（橢球底母線長半軸）與橢球底高度b（橢球底母線短半軸）之比，即m＝a／b，可得

貯箱橢球下底主要承受內(nèi)部增壓與液壓的作用，橢球下底參考面上的平衡方程可表示為

式中：P為內(nèi)部增壓；σb1為橢球下底經(jīng)向應力；g為重力加速度，取為9.8m／s2；ρ為推進劑密度；Vb為參考面以下的容積，即

據(jù)式（3）可得橢球下底經(jīng)向應力σb1為

根據(jù)旋轉薄殼無矩理論，橢球下底任意微元均存在：

式中：σb2為橢球下底環(huán)向應力。

結合式（5）、式（6），可得

1.3 圓柱筒應力分析

在內(nèi)部增壓與軸壓作用下，圓柱筒經(jīng)向應力σc1為

式中：Z為火箭起飛質(zhì)量。

在內(nèi)部增壓及推進劑液壓的作用下，圓柱筒環(huán)向應力σc2為

1.4 橢球上底應力分析

貯箱橢球上底（－h(huán)c－b≤y＜－h(huán)c）與橢球下底結構相同，即R3＝R1，R4＝R2，sinφr＝sinφb。

則貯箱橢球上底母線的橢圓方程為

當－h(huán)≤y＜－h(huán)c時，橢球上底受內(nèi)部增壓與液壓作用，橢球上底經(jīng)向應力σr1與環(huán)向應力σr2分別為

1.5 貯箱等效應力分析

通過對貯箱各部分應力的分析，以σ1與σ2分別代表經(jīng)向應力與環(huán)向應力，可知貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底應力狀態(tài)主要有3種形式：①σ1＞0與σ2＞0均為拉應力；②σ1≤0為壓應力，σ2＞0為拉應力；③σ1＞0為拉應力，σ2≤0為壓應力。

根據(jù)第三強度理論，等效應力σe可定義為［16］

2 區(qū)間干涉時變可靠性分析方法

設T為參考壽命，t∈［0，T］為服役時刻，X＝｛X1，X2，…，Xn｝為與強度R相關的參數(shù)集，Y＝｛Y1，Y2，…，Ym｝為與應力S相關的參數(shù)集，據(jù)應力-強度干涉理論，貯箱的狀態(tài)函數(shù)可表示為基于Schaff冪指數(shù)強度退化模型［17］，服役周期內(nèi)任意時刻貯箱強度可表示為

式中：R（X，t）為任意t時刻貯箱強度；R（X，0）為t＝0時刻貯箱強度；R（X，T）為t＝T時刻貯箱強度；γ為與材料相關的衰減系數(shù)。

根據(jù)區(qū)間理論，貯箱強度區(qū)間R（X，t）的上下界可分別表示為

R（X，t）的中值與離差可分別表示為

式中：Rc（X，0）和Rr（X，0）分別為t＝0時刻R（X，t）的中值與離差。

將貯箱常載荷應力Sn（Y，t）及不確定載荷應力Su（Y，t）表示為區(qū)間變量：

此時，將可靠域面積Ar與標準化區(qū)間面積A＝4的比值，定義為任意時刻區(qū)間干涉時變可靠性指標η：據(jù)式（31）可知η∈（0，1），貯箱處于非完全可靠狀態(tài)，η表示結構的可靠度。當k＞1，k＝1或0≤k＜1時，任意時刻區(qū)間干涉時變可靠性指標η可據(jù)式（31）求得。以k＝2，k＝1及k＝1／2為例，隨M＝0與標準化區(qū)間位置關系的變化，相應的η值如圖3所示。

圖2 臨界狀態(tài)函數(shù)與標準化區(qū)間Fig.2 Critical state function and normalized interval

圖3 k＝2，k＝1，k＝1／2時可靠性指標Fig.3 Reliability index when k＝2，k＝1 and k＝1／2

3 驗證分析

以表1所示參數(shù)為例，分別對貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的時變可靠性進行分析，并與服從正態(tài)分布的應力-強度干涉可靠性方法及區(qū)間可靠性方法進行對比分析，驗證本文方法的有效性。

不確定載荷應力區(qū)間可根據(jù)外界隨機載荷參數(shù)而求得，假設不確定載荷應力區(qū)間Su（Y，t）為［0，10］，則據(jù)式（22）～式（25）可得貯箱應力區(qū)間參數(shù)，如表2所示。

服從正態(tài)分布的應力-強度干涉可靠性方法是一種常用的概率可靠性分析方法，在參數(shù)具體

表1 貯箱示例參數(shù)Tab le 1 Sam p le param eters of tank

表2 貯箱應力區(qū)間參數(shù)Tab le 2 Param eters of tank stress interval MPa

式中：Φ（·）為標準正態(tài)分布函數(shù)。

區(qū)間可靠性方法是一種重要的非概率可靠性分析方法，但其對非完全可靠狀態(tài)的分析過于保守［19］，任意時刻區(qū)間可靠性指標ηi可表示為

據(jù)式（30）～式（33），可得貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的可靠性指標ηi、ηn及η，如圖4所示。

如圖4（a）所示，當0 h≤t≤44 230 h時，存在ηn＝1、1.908≥ηi≥1及1.418≥η≥1，貯箱橢球下底處于完全可靠狀態(tài)；當44 230 h＜t≤T時，存在1＞ηn≥0.992、1＞η≥0.908及1＞ηi≥0.572，貯箱橢球下底處于非完全可靠狀態(tài)。

圖4 貯箱橢球下底、圓柱筒和橢球上底可靠性指標Fig.4 Reliability indexes of ellipsoid roof，cylinder and ellipsoid bottom

如圖4（b）所示，當0 h≤t≤47 830 h時，存在ηn＝1、2.566≥ηi≥1及1.676≥η≥1，貯箱圓柱筒處于完全可靠狀態(tài)；當47 830 h＜t≤T時，存在1＞ηn≥0.999、1＞ηi≥0.788及1＞η≥0.977，貯箱圓柱筒處于非完全可靠狀態(tài)。

如圖4（c）所示，當0 h≤t≤T時，存在ηn＝1、5.762≥ηi≥2.537及2.765≥η≥1.716，貯箱橢球上底處于完全可靠狀態(tài)。

綜上所述，本文方法的分析結果與服從正態(tài)分布的應力-強度干涉可靠性方法及區(qū)間可靠性方法分析結果一致，η介于ηn與ηi之間。當橢球下底、圓柱筒及橢球上底處于完全可靠狀態(tài)時，可靠性指標ηn＝1、ηi≥1及ηn≤η≤ηi，η表示其安全裕度。當橢球下底、圓柱筒及橢球上底處于非完全可靠狀態(tài)時，可靠性指標0＜ηn＜1、0＜ηi＜1及ηi＜η＜ηn，η表示其可靠度。區(qū)間干涉時變可靠性分析方法無須參數(shù)的具體分布即可對貯箱的可靠性進行分析，且可有效改善區(qū)間可靠性方法對非完全可靠狀態(tài)分析過于保守的問題。

4 結 論

1）任意時刻貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的可靠性均可由區(qū)間干涉時變可靠性指標η∈［0，＋∞）進行分析。

2）η≥1為安全裕度，結構處于完全可靠狀態(tài)；0＜η＜1為可靠度，結構處于非完全可靠狀態(tài)；η＝0，結構處于失效狀態(tài)。

3）推進劑貯箱橢球下底、圓柱筒及橢球上底的可靠性均隨時間而降低，逐漸由完全可靠狀態(tài)轉換為非完全可靠狀態(tài)。