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    一類復(fù)雜通信條件下高階線性群系統(tǒng)編隊(duì)控制

    2020-06-01 09:05:58石曉航張慶杰呂俊偉
    關(guān)鍵詞:時(shí)變編隊(duì)高階

    石曉航,張慶杰,呂俊偉

    (1.海軍大連艦艇學(xué)院,大連116001; 2.空軍航空大學(xué),長(zhǎng)春130022; 3.海軍航空大學(xué),煙臺(tái)264001)

    群系統(tǒng)編隊(duì)控制在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,比如監(jiān)視和偵察[1-3]、目標(biāo)搜索和定位[4-7]、中繼通信[8]以及空間探索和資源探測(cè)[9-10]等。傳統(tǒng)的編隊(duì)控制方法主要包括:領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者[11-12]、行為方法[13]以及虛擬結(jié)構(gòu)[14]。但從應(yīng)用情況來看,這3種方法依然存在著魯棒性差、行為建模復(fù)雜和通信量大等方面的不足。隨著多智能體一致性理論的發(fā)展,越來越多的學(xué)者開始研究基于一致性算法的分布式編隊(duì)控制方法[15-16]。文獻(xiàn)[15]指出,上述3種傳統(tǒng)方法均可看作是一致性算法的特例。

    基于一致性協(xié)議,文獻(xiàn)[17-18]討論了輪式小車的編隊(duì)控制問題。文獻(xiàn)[19]提出了大規(guī)模一階群系統(tǒng)有限時(shí)間編隊(duì)框架。基于一致性線性化反饋方法,文獻(xiàn)[20]研究了無領(lǐng)導(dǎo)者方式的多無人機(jī)編隊(duì)控制問題。進(jìn)一步,文獻(xiàn)[21]研究了多無人機(jī)時(shí)變編隊(duì)控制的分析和設(shè)計(jì)問題,并給出了編隊(duì)形成的充要條件。文獻(xiàn)[15,17-21]的研究對(duì)象 主 要 是 低 階 群 系 統(tǒng),比 如 一 階[17-19]、二階[15,20-21]。假 定 網(wǎng) 絡(luò) 通 信 拓 撲 為 無 向 圖,文獻(xiàn)[22]分析了一類由多個(gè)二階系統(tǒng)串聯(lián)組成的高階群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題。對(duì)于有向通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),由于其Lap lacian矩陣的特征值可能存在復(fù)數(shù),判斷編隊(duì)形成具有一定難度。文獻(xiàn)[23]利用狀態(tài)/輸出反饋,研究了有向通信拓?fù)錀l件下的編隊(duì)形成問題。

    上述文獻(xiàn)均假設(shè)理想網(wǎng)絡(luò)通信條件,但在實(shí)際的應(yīng)用中,受到周圍環(huán)境或其他因素的影響,可能出現(xiàn)通信時(shí)延、拓?fù)洳淮_定以及外部擾動(dòng)等情況。文獻(xiàn)[24]通過引入自身時(shí)延,給出了二階群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時(shí)不變/時(shí)變編隊(duì)的充分條件。文獻(xiàn)[25]討論了同時(shí)存在位置時(shí)延和速度時(shí)延條件下的一致性策略和編隊(duì)控制穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[26]采用頻域方法,借助Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)給出了編隊(duì)穩(wěn)定的時(shí)延相關(guān)/非相關(guān)條件。文獻(xiàn)[24-26]均假定固定通信時(shí)延。對(duì)于時(shí)變時(shí)延,文獻(xiàn)[27]研究了某型垂直起降無人機(jī)的編隊(duì)控制方法。同時(shí)考慮時(shí)變時(shí)延和有向拓?fù)洌墨I(xiàn)[28]設(shè)計(jì)了二階群系統(tǒng)編隊(duì)控制協(xié)議,同時(shí)討論了時(shí)變時(shí)延對(duì)編隊(duì)形成的影響。文獻(xiàn)[29]給出了含有時(shí)變時(shí)延高階群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的充要條件和編隊(duì)控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[30-31]采用Lyapunov穩(wěn)定性理論分析了通信時(shí)延的邊界條件。文獻(xiàn)[32-33]研究了群系統(tǒng)模型存在范數(shù)有界不確定性情況下的編隊(duì)控制問題。利用魯棒控制理論,得到了群系統(tǒng)編隊(duì)控制穩(wěn)定性條件。針對(duì)時(shí)延、拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)條件下的高階群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題,目前的研究成果很少。文獻(xiàn)[34-35]只討論了控制器增益已知情況下的群系統(tǒng)魯棒一致性問題。

    本文主要討論一類同時(shí)存在時(shí)變時(shí)延、拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)等復(fù)雜通信條件下的群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題。與已有文獻(xiàn)相比,主要貢獻(xiàn)有:

    1)高階線性群系統(tǒng)模型。文獻(xiàn)[17-21]所討論的群系統(tǒng)大都針對(duì)一階或二階積分器,而高階模型不具有一階、二階模型的特殊結(jié)構(gòu),因此文獻(xiàn)[17-21]方法不適于高階線性群系統(tǒng)。本文方法具有更廣泛的應(yīng)用范圍。

    2)同時(shí)考慮時(shí)變時(shí)延、拓?fù)洳淮_定及外部擾動(dòng)等3種通信條件。目前針對(duì)復(fù)雜通信條件的編隊(duì)控制問題研究較少,僅有文獻(xiàn)[34-35]討論了3種通信條件同時(shí)存在的群系統(tǒng)一致性可行性問題,且沒有給出控制器增益的求解方法。

    3)低保守性。文獻(xiàn)在分析編隊(duì)所允許的最大時(shí)延上界時(shí)采用了Lyapunov穩(wěn)定性方法,所得結(jié)果是充分條件,具有一定的保守性。不同于文獻(xiàn)[30-31]方法,本文將自由權(quán)矩陣引入分析過程中,使所得結(jié)果具有較低的保守性。

    本文首先簡(jiǎn)要介紹了圖論知識(shí)和相關(guān)引理;并建立了一類復(fù)雜通信條件下高階線性群系統(tǒng)編隊(duì)問題的數(shù)學(xué)描述,同時(shí)設(shè)計(jì)了基于一致性算法的編隊(duì)控制協(xié)議。然后給出了群系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的充要條件,利用Lyapunov-Krasovskii泛函分析方法得到群系統(tǒng)編隊(duì)所允許的最大時(shí)延上界和控制器增益求解方法。最后利用數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),對(duì)所提出方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

    1 圖論知識(shí)及相關(guān)引理

    1.1 圖論知識(shí)

    1.2 相關(guān)引理

    引理1[36]圖G的Laplacian矩陣L至少有一個(gè)0特征值,且向量1是0特征值所對(duì)應(yīng)的右特征向量,即L1=0。如果圖G是一個(gè)有向圖,且含有一個(gè)有向生成樹(至少存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他所有節(jié)點(diǎn)都有一條有向路徑),則0是L的單特征值,其余的非零特征值均具有正實(shí)部。

    引理2[37]如果矩陣Y∈RN×N的各行和均為 零,則 存 在 矩 陣 Z∈RN×(N-1)和 矩 陣 E∈R(N-1)×N使得Y=ZE,E的定義為

    如果0是矩陣Y的單特征值,那么矩陣Z是列滿秩的。

    引理5[40]給定具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Q =QT、H和E,則Q+HF(t)E+ETFT(t)HT<0,對(duì)所有滿足FT(t)F(t)≤I都成立的充要條件是存在一正數(shù)ε>0使得Q +ε-1HHT+εETE <0成立。

    引理6[41]對(duì)矩陣X∈Rm×n和矩陣Y∈Rn×m(n≥m),二者乘積滿足如下性質(zhì):①若λ是矩陣XY的特征值,則λ也是矩陣YX的特征值。②若λ≠0是矩陣YX的特征值,則λ也是矩陣XY的特征值。③若λ1,λ2,…,λm是矩陣XY的特征值,則矩陣YX的n個(gè)特征值為λ1,λ2,…,λm,0,…,0。

    2 問題描述

    2.1 高階線性群系統(tǒng)模型

    2.2 編隊(duì)控制協(xié)議

    3 主要結(jié)果

    3.1 編隊(duì)形成的充要條件

    針對(duì)高階線性群系統(tǒng)的編隊(duì)形成問題,本文主要考慮如下3種通信約束。

    假設(shè)1 時(shí)變時(shí)延dt滿足:

    式中:ˉdt和μ為常數(shù),且0<μ<1。

    假設(shè)2 拓?fù)洳淮_定性。若用鄰接矩陣的變化量ΔW =[Δwij]∈RN×N來描述通信拓?fù)洳淮_定性,則有

    式中:矩陣E的定義由引理2給出。

    由引理1、引理2可知,存在列滿秩矩陣Z∈RN×(N-1)及ΔZ∈RN×(N-1),使 得L=ZE,ΔL=ΔZE,對(duì)式(12)求導(dǎo)得到

    考慮J和ΔJ的結(jié)構(gòu),閉環(huán)系統(tǒng)(16)等價(jià)于定理1的條件3中的N-1個(gè)閉環(huán)子系統(tǒng),其中λi(i=1,2,…,N-1)表示矩陣EZ的特征值,由引理1和引理6可知,矩陣EZ的特征值與矩陣L的非零特征值相同,因此λi(i=1,2,…,N-1)也是矩陣L的N-1個(gè)非零特征值。由上述推導(dǎo)可知條件3也是必要的。

    充分性 因?yàn)榫仃嘊是列滿秩矩陣,由引言可知,存在一個(gè)非奇異矩陣~B=[~BT1,~BT2]T,滿足~B1B=I且~B2B=0。

    如果條件1和條件2成立,則有

    3.2 K2的設(shè)計(jì)

    定理2 考慮復(fù)雜條件(4)、(5)和(6),若存在適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣ˉP=ˉPT>0,ˉQ=ˉQT≥0,ˉR=ˉRT>0,ˉV以及常數(shù)a和b(b≠0),ε>0,使得下式成立:

    接下來將分別討論?⌒(t)≠0和?⌒(t)=0兩種情況。

    由引理4可知,式(27)與式(28)同時(shí)成立,當(dāng)且僅當(dāng)

    根據(jù)引理3,式(30)等價(jià)于

    通過上述整理可知,如果不等式(31)成立,則不等式(26)成立,即閉環(huán)系統(tǒng)(10)在非零的?i(t)擾動(dòng)條件下,具有給定的H∞性能指標(biāo)γ。

    基于上述的討論,可以利用如下的算法對(duì)編隊(duì)控制協(xié)議(2)進(jìn)行設(shè)計(jì),使群系統(tǒng)(1)在時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)條件下,滿足給定的H∞性能指標(biāo)。

    算法1 對(duì)于群系統(tǒng)(1)和編隊(duì)控制協(xié)議(2),控制器增益K1和K2,以及輔助函數(shù)vi(t)(i=1,2,…,N)的設(shè)計(jì)可以參照如下步驟:

    步驟1 判斷定理1的條件1中式(8)是否成立,若成立,則通過條件2的式(9)求解出編隊(duì)輔助函數(shù)vi(t)。

    步驟2 選取適當(dāng)?shù)目刂破髟鲆鍷1,令A(yù)+BK1的特征值在復(fù)平面上的指定位置,完成對(duì)編隊(duì)中心運(yùn)動(dòng)模態(tài)c(t)的配置。

    步驟3 根據(jù)定理2,可以求出a、b和時(shí)延上界ˉdt,進(jìn)而得到控制器增益K2。同時(shí),利用參數(shù)a和b,還可以得到不同時(shí)延下對(duì)應(yīng)的控制器增益K2。

    4 數(shù)值仿真

    假設(shè)1個(gè)群系統(tǒng)由8個(gè)主體組成,各個(gè)主體之間的通信拓?fù)銰如圖1所示。

    圖1 通信拓?fù)銰Fig.1 Communication topology G

    形成編隊(duì)之后,8個(gè)主體會(huì)分布在一個(gè)橢圓形的圓周上,組成一個(gè)八邊形并圍繞橢圓的圓心旋轉(zhuǎn)。

    利用算法1中的步驟1,可以求解出編隊(duì)輔助函數(shù)為

    選取K1=[5.75,-8.5,-8]將A+BK1的極點(diǎn)配置在-2、-1+i和-1-i。這時(shí),編隊(duì)參考c(t)是靜止的。設(shè)定γ=1.4,利用算法步驟3,得到時(shí)變時(shí)延上界為ˉdt=1.7 s。選取時(shí)變時(shí)延為dt=1.2+0.5sin t s,此時(shí),得到的控制器增益為

    K2=[-0.016 4,0.0141,0.0084]。

    各主體的初始狀態(tài)分別為:xi1(0)=4(δ-0.5),

    xi2(0)=3(δ-0.5),xi3(0)=2(δ-0.5)(i=1,

    2,…,8),其中δ為(0,1)之間的隨機(jī)數(shù)。通信拓?fù)涞牟淮_定性為ΔL=0.9sin t L,外部擾動(dòng)ωi(t)取[-2,2]之間的隨機(jī)數(shù)。仿真時(shí)間為50 s,假設(shè)通信拓?fù)涞牟淮_定性始終存在,并在25~27 s加入外部擾動(dòng)。圖2(a)~(f)給出了8個(gè)主體的狀態(tài)和c(t)的狀態(tài)在不同時(shí)刻的截圖,以及8個(gè)主體的編隊(duì)構(gòu)型。從圖中可以看出,本文設(shè)計(jì)的編隊(duì)控制協(xié)議可以使群系統(tǒng)在具有時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)的條件下形成時(shí)變編隊(duì)。在出現(xiàn)外部擾動(dòng)時(shí),8個(gè)主體的隊(duì)形受到了一定的影響,但擾動(dòng)消失之后仍能重新形成指定的時(shí)變編隊(duì)并保持穩(wěn)定。圖3(a)~(c)分別給出了各主體的3個(gè)狀態(tài)與編隊(duì)相應(yīng)狀態(tài)差值的曲線,各主體3個(gè)狀態(tài)與參考編隊(duì)相應(yīng)狀態(tài)分量的差值曲線逐漸減小并趨于一致,在外部擾動(dòng)出現(xiàn)之后,各主體的誤差一致性受到了一定的影響,但各主體能迅速地調(diào)整各自狀態(tài)并恢復(fù)指定的編隊(duì)。從仿真結(jié)果可以看出,本文的控制方法具有抗擾動(dòng)的性能,可以有效地抑制時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定及外部擾動(dòng)對(duì)群系統(tǒng)編隊(duì)形成產(chǎn)生的影響,能保證群系統(tǒng)形成時(shí)變編隊(duì)并保持隊(duì)形穩(wěn)定。

    圖2 8個(gè)主體的狀態(tài)和c(t)的狀態(tài)在不同時(shí)刻的截圖Fig.2 Snapshot of states of eight agents and c(t)at differentmoments

    圖3 主體與編隊(duì)的狀態(tài)差值曲線Fig.3 State curves of differences between agents and formation

    圖4 8個(gè)主體的性能指標(biāo)曲線Fig.4 Performance index curves of eight agents

    5 結(jié) 論

    本文討論存在時(shí)變時(shí)延、通信拓?fù)洳淮_定和外部擾動(dòng)的高階線性群系統(tǒng)編隊(duì)控制問題,具體結(jié)論如下:

    1)給出了群系統(tǒng)在給定的H∞性能指標(biāo)下,實(shí)現(xiàn)編隊(duì)H∞控制的充要條件。

    2)采用變量代換,將群系統(tǒng)的編隊(duì)控制問題,轉(zhuǎn)化為具有外部擾動(dòng)時(shí)延系統(tǒng)的H∞控制問題。通過構(gòu)造公共Lyapunov-Krasovskii泛函,討論了具有外部擾動(dòng)時(shí)延系統(tǒng)的H∞控制問題,得到了保守性較小的LMI判據(jù),利用數(shù)值計(jì)算方法,可得到群系統(tǒng)允許的時(shí)延上界。

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