數(shù)學(xué)建模 停車距離問題教學(xué)過程

摘?要：數(shù)學(xué)建模是新課標(biāo)中學(xué)科核心素養(yǎng)的一個重要部分，本文章主要是本人在上完一節(jié)數(shù)學(xué)建模課——“停車距離問題”之后進(jìn)行反思與整理，將完整的教學(xué)過程及設(shè)計意圖再一次進(jìn)行展現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;停車距離

一、 引入部分

（一）生活事故重現(xiàn)

開頭語：很高興來到溫州育英和同學(xué)們一起來探討數(shù)學(xué)問題，在座的有來自瑞安的同學(xué)嗎？老師就是瑞安人，瑞安什么都好，就是有條隧道讓我很不喜歡，每次回家經(jīng)過老是堵車或發(fā)生事故，我們先通過一個視頻一起感受下。

（二）觀看視頻

師：事故總是帶來悲傷，相信大家都感到很惋惜，那我們怎么樣可以減少或避免事故的發(fā)生呢？

剛才視頻里有兩段追尾的事故，大家覺得造成追尾的原因是什么呢？

注：抓住學(xué)生的回答，特別是有學(xué)生說到速度或距離的時候，如果都沒有學(xué)生提出，就假裝有。

生：速度太快，距離太近，那在一定的速度下，應(yīng)該與前車保持多少距離才比較安全呢？

師：其實道路安全法有這么一條規(guī)定“當(dāng)汽車行駛速度超過100公里/小時，與同車道前車距離要保持100米以上”。同學(xué)們覺得這100米是否合理呢？這節(jié)課我們就帶著這個問題來研究下行車距離問題。

（三）引出課題

注：板書跟上“停車距離問題”。

二、 確定變量

（一）影響因素分析

師：影響行車距離的因素有哪些呢？板書影響因素。

注：口頭提問，學(xué)生一起回答，板書記錄關(guān)鍵因素，如速度、反應(yīng)時間、摩擦力、制動力、空氣阻力等。

師：大家覺得影響行車距離的最關(guān)鍵因素是什么？

師：今天我們就主要研究距離與速度之間的關(guān)系，那其他影響我們做如何處理呢？

師：很好，控制變量法，假設(shè)其他影響因素保持不變。

用紅色粉筆圈出速度。

三、 建構(gòu)模型

連接語：從剛才同學(xué)們對影響因素的分析中，我們大概也了解了汽車停止前的運動狀態(tài)，大家看屏幕，一開始司機會有個反應(yīng)階段，對應(yīng)的距離我們稱為反應(yīng)距離，接下來開始減速，對應(yīng)的距離稱為制動距離，合起來我們稱停車距離。

問題1：在這樣的運動狀態(tài)下，能否建立距離d與速度v的函數(shù)關(guān)系式？

連接語：通過理論分析我們得到了距離d與速度v是一個二次關(guān)系，那我們現(xiàn)在可以解決開始的這個問題了嗎？（反應(yīng)時間和加速度不知道）很好，對不同的人，不同的環(huán)境，它們都是不一樣的，那我們該怎么去估算它們呢？（數(shù)據(jù)，試驗，調(diào)查）

很好，老師這里剛好有一組公路局公布的試驗數(shù)據(jù)，大家請看屏幕。（介紹表格內(nèi)容）請同學(xué)們根據(jù)這組數(shù)據(jù)，來估算α，β。

1～2分鐘交流溝通，下去指導(dǎo)。

四、 參數(shù)估計，求解模型

下面我們請第一小組的代表來分享一下計算的結(jié)果，先板書介紹理論，再輸入數(shù)據(jù)。

連接語：通過兩種不同的參數(shù)估計方法，我們得到了兩個不同的模型，現(xiàn)在我們能解決開始的那個問題了嗎？

關(guān)鍵問題①80米離100米還有20米空間，為什么留這么長？

關(guān)鍵問題②100米真的夠嗎？你們就這么相信這兩個模型啊，就不怕它們有大的誤差嗎？

師：那我們還是把模型算出來的值與真實試驗值做下對比吧。

師：根據(jù)模型，應(yīng)該說對100的預(yù)測應(yīng)該還是比較準(zhǔn)的，大家建構(gòu)的模型很棒，為自己鼓鼓掌吧。

關(guān)鍵問題③現(xiàn)在路上超速駕駛的司機也常有，我們再利用模型預(yù)測一個吧，比如速度為128km/h，大家快速算一下。

師：兩個模型分別是121.8和125.4，你們覺得保持多少距離比較安全??？

師：其實老師一開始保留了一個公路局公布的數(shù)據(jù)，真實試驗值多少呢？是141.4。

師：誤差有點大，大家可以再看看這兩個模型，速度比較小時，模型值與真實值是比較接近的，速度比較大時，誤差似乎大起來了，那大家覺得這兩個模型還適合用于高速的預(yù)測嗎？

師：那你能否構(gòu)建新的模型使得對低速與高速的預(yù)測誤差都相對較小呢？

關(guān)鍵問題④要尋找新模型，首先我們肯定要先了解誤差的來源，大家覺得為什么會有誤差呢？

師：很好，模型的構(gòu)建是基于理想化運動狀態(tài)得到的;參數(shù)估計方法不同誤差也會不同。

師：那我們就先從參數(shù)估計方法入手，大家覺得對高速的預(yù)測哪個模型可能會更好一點？

師：那我們就從這里入手，大家看導(dǎo)學(xué)單2，看數(shù)據(jù)特點，看能不能得到一些啟發(fā)。

注：誤差產(chǎn)生原因①模型本身是在理想化運動狀態(tài)下得出來的;②參數(shù)估計不同也會有誤差。

五、 優(yōu)化模型

小組討論，學(xué)生分享。

（一）調(diào)整參數(shù)估計方法

師：從數(shù)據(jù)上看，當(dāng)選的組號比較大時，預(yù)測值比較大，組號比較小時，預(yù)測值比較小，我們組把數(shù)據(jù)分成兩組，前六個為一組，后六個為一組，再通方案2方式分別估計出兩組（α，β），進(jìn)而得到兩個模型。

師：看Excel表格，到此為止，我們通過不同的參數(shù)估計方法得到了3個模型，現(xiàn)在我們把數(shù)據(jù)通過圖像呈現(xiàn)出來，讓大家更加直觀地感受下。

確實，模型3能相對精確的對低速和高速進(jìn)行預(yù)測。

（二）調(diào)整模型類型

連接語：以上是根據(jù)數(shù)據(jù)的特點，通過調(diào)整參數(shù)估計方法來優(yōu)化模型。我們再看剛才分析的誤差產(chǎn)生的第二個原因，得到的模型是基于理想化運動狀態(tài)，那我們看這個式子d=tv+12av2，在實際生活中，t和a一定是和v無關(guān)的常數(shù)嗎？如果不是，那d與v還一定會是二次嗎？那我們能否拋開理論，直接從數(shù)據(jù)出發(fā)重新去構(gòu)建模型呢？

師：大家看數(shù)據(jù)，我們一般都是怎么樣利用數(shù)據(jù)來判斷兩個量之間可能存在的函數(shù)關(guān)系的？好，那大家在坐標(biāo)系下把點描描看，看有什么新的想法？

六、 總結(jié)

同學(xué)們，接下來我們來總結(jié)下這節(jié)課的內(nèi)容，本節(jié)課我們是從一個實際情景里抽象出一個數(shù)學(xué)問題，然后通過分析影響因素確定了主要變量，然后先是從理論角度建構(gòu)模型，再利用數(shù)據(jù)估算參數(shù)求解模型，然后解決問題，但在問題的解決過程中我們又發(fā)現(xiàn)了模型的不足，所以又通過細(xì)化數(shù)據(jù)改變參數(shù)估計方式優(yōu)化模型，同時，我們又拋開理論直接從數(shù)據(jù)本身出發(fā)重新建構(gòu)了新的模型，已達(dá)到我們的要求。這其實就是一個數(shù)學(xué)建模的過程。在整個建模的過程中，我們不禁會思考我們得到了這么多模型，到底哪個好，其實每個模型都有誤差，但也都有它的價值，模型只有在一定條件下才是好模型，這也正如一位統(tǒng)計學(xué)家所說“all modles are wrong， but some modles are useful”。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）解讀[M].北京：高等教育出版社，2018.

作者簡介：

楊云飛，浙江省溫州市，浙江省溫州中學(xué)。