基于廣義費用函數(shù)的城際鐵路分時定價策略研究

景 云， 孫佳政， 張楨樺

(1.北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044；2.中國雄安集團基礎(chǔ)建設有限公司，河北 保定 071700)

城際鐵路作為城市群各城市間居民出行的主要方式，具有運量大、便捷性好、可靠性高、低碳環(huán)保等特點，有效縮小了城市間的時空距離，帶動了城市間經(jīng)濟的發(fā)展。隨著城市群內(nèi)部各城市間客流需求的不斷增長，城際鐵路客流量出現(xiàn)了明顯的高峰期和低谷期，高峰時段客流量過大，造成購票困難，服務質(zhì)量下降等現(xiàn)實問題，低峰時段客流量較少，造成了運能浪費和企業(yè)收益減少等問題。城際鐵路客流可分為生產(chǎn)型和非生產(chǎn)型兩類：生產(chǎn)型客流出行目的主要包括工作、商務等，此類客流對運輸服務的質(zhì)量要求較高，對運輸費用的敏感度較低；非生產(chǎn)型客流出行目的主要包括旅游、探親等，此類客流對運輸費用敏感度較高，對出發(fā)時刻敏感度不高。因此，可以通過對城際鐵路采用分時定價策略，利用票價調(diào)節(jié)對出發(fā)時刻敏感度不高的旅客，從而達到“削峰填谷”，提高城際鐵路運輸服務質(zhì)量的目的。

目前，國內(nèi)外對軌道交通票價方面的研究主要集中在票價對旅客出行行為的影響和票價的調(diào)節(jié)方式兩方面。Vuuren[1]提出采用鐵路高峰時段和低谷時段差別定價的方法可吸引更多旅客至低谷時段，起到“削峰填谷”的作用。Shaffer等[2]主要對旅客類型進行劃分，將旅客劃分為穩(wěn)定和不穩(wěn)定兩種，其中穩(wěn)定型顧客對產(chǎn)品忠實度較高，不會選擇其他可替代品；而不穩(wěn)定型顧客則會因為各種外界因素改變選擇。Whelan等[3]、Cosgun等[4]提出了一種在if-then模糊規(guī)則下，研究不同時段旅客對不同票價選擇概率，從而求解最優(yōu)票價以最大企業(yè)收益的計算方法。羅利等[5]則通過隨機過程理論和最優(yōu)控制理論求解連續(xù)出發(fā)時刻的同一航線與不同出發(fā)時刻航班的聯(lián)合動態(tài)定價模型，從而獲得最優(yōu)聯(lián)合定價策略，最后結(jié)合實例說明動態(tài)定價策略的實施可以為企業(yè)帶來更大的利潤。布超等[6]分析了交通方式的不同屬性以及旅客個體間差異等因素與旅客時間成本的關(guān)系，建立了以票價和收入作為衡量旅客對票價敏感度衡量指標的時間成本改進Logit模型。張曉晴[7]基于早高峰客流數(shù)據(jù)，構(gòu)建不同時間，不同運輸方式的旅客廣義出行費用函數(shù)，以不同時段的票價折扣率和客流量為自變量，構(gòu)建了雙層規(guī)劃模型，并以PSO算法為基礎(chǔ)的非數(shù)值優(yōu)化算法求解模型。楊文靜[8]通過研究軌道交通票價改變對客流量的影響程度，計算了不同出行需求的旅客價格需求彈性。賀亦丹[9]認為旅客對出行時間的選擇決定了不同時間的客運量，鐵路部門應該基于此規(guī)律制定不同票價，以獲得更高收益；與之相反，票價的高低也會影響旅客出行時間的選擇，從而對客流量造成影響，這是一個相互制約的復雜過程。

綜上所述，目前城際鐵路票價策略的研究主要集中在兩個方面：利用收益管理理論，對預售期內(nèi)票價制定策略研究，針對季節(jié)性的客流不平衡問題，對票價折扣進行研究：針對一天內(nèi)城際鐵路票價的制定策略研究較少。本文將構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，上層規(guī)劃依據(jù)城際鐵路運營實際情況，建立企業(yè)收益函數(shù)；下層規(guī)劃針對一天內(nèi)的客流特性，將城際鐵路客流量劃分為高峰、平峰和低谷多個時段，建立不同時段、不通運輸方式的旅客出行廣義費用函數(shù)。最后，結(jié)合粒子群和Frank-Wolfe的非數(shù)值算法求解不同時段城際鐵路最優(yōu)票價。

1 城際鐵路分時定價雙層規(guī)劃模型

城際鐵路分時定價策略就是通過對城際鐵路運輸服務時段進行劃分[10]，然后根據(jù)不同時段的運輸服務特性進行差別定價，從而提升運輸服務質(zhì)量，增加企業(yè)收益。在進行城際鐵路各時段票價制定時，應結(jié)合客流客觀規(guī)律，尋找不同時段城際鐵路系統(tǒng)的最優(yōu)票價，并分析由于票價浮動造成的客流變化情況。因此，構(gòu)建了以城際鐵路運輸企業(yè)收益最大為上層目標，以乘客出行廣義費用最小為下層目標的雙層規(guī)劃模型，以確定各時段的最優(yōu)定價策略[11]。

1.1 模型假設

基于雙層規(guī)劃的分時定價模型，重點圍繞客流與票價之間的關(guān)系進行優(yōu)化，因此需要對城際鐵路運輸服務過程中的一些影響因素進行假設。

(1) 城際通道內(nèi)客流總量不變。

(2) 城際鐵路列車運行圖固定，且各個時間段內(nèi)均勻發(fā)車。

(3) 每個時間段內(nèi)旅客均勻到達。

(4) 城際鐵路連接兩個中心城市，中途不停站。

(5) 旅客出行行為完全理性，運輸信息全部已知，旅客始終會選擇自身廣義費用最小的交通方式出行。

1.2 上層規(guī)劃模型

城際鐵路運營商的利潤取決于票價、客流量、旅客平均運輸成本、城際列車每次發(fā)車固定成本等因素，據(jù)此建立以運營商利潤最大為目標的上層規(guī)劃模型。

(1)

城際鐵路票價取決于線路的速度等級、里程以及折扣等方面的因素，鐵路部門在進行票價的制定時對其上限和下限都有著明確的規(guī)定。因此，上層規(guī)劃模型的約束條件主要是票價上、下限約束。

(2)

1.3 下層規(guī)劃模型

1.3.1 下層規(guī)劃旅客廣義出行費用模型

旅客出行的廣義費用是對旅客在運輸過程中經(jīng)濟利益流出較為全面的估算。根據(jù)文獻[11]，廣義費用函數(shù)為

(3)

(4)

在分時定價雙層規(guī)劃模型中，基于上文假設，不考慮隨機部分。則效用函數(shù)可以簡化為

(5)

雙層規(guī)劃的下層模型為

(6)

由于城際旅客廣義出行總費用受到城際通道內(nèi)旅客數(shù)量以及不同運輸方式的運輸能力限制，所以下層規(guī)劃的約束條件為

(7)

1.3.2 廣義費用函數(shù)構(gòu)建

(8)

快捷性衡量指標是完成一次出行的時間成本，包括運行時間和銜接時間。由于城際鐵路旅客不存在中間換乘的情況，所以銜接時間為零。因此在進行快捷性指標計算時只對旅客在列車運行過程中的時間消耗進行計算，即

(9)

(10)

旅客方便性衡量指標是指城際旅客從出發(fā)地到車站以及從車站到目的地的城市內(nèi)交通消耗時間，進出站消耗時間以及上下車消耗時間。客流高峰時段，人流量的增加會使旅客的市內(nèi)交通消耗時間和進出站消耗時間增加，即

(11)

(12)

旅客舒適性主要取決于列車旅行時間、軟硬件服務設施等因素。舒適性這一指標依賴于旅行時間，它可以用旅客恢復疲勞所需的時間來量化。一般旅行時間越長，旅客由疲勞狀態(tài)恢復所需要的時間越長，其舒適性越差，反之舒適性越好；另一方面，列車越擁擠，舒適性越差，反之舒適性越好。旅客由疲勞狀態(tài)恢復所需時間的函數(shù)[12]為

(13)

(14)

運輸服務的可靠性主要指運輸服務的準點率，用不同時段指定運輸方式的平均延誤時間表示

(15)

安全性也是影響旅客出行方式和出行時段選擇的重要因素，不同交通方式交通事故發(fā)生概率是安全性的主要衡量指標。

(16)

2 算法求解

城際鐵路分時定價問題可以看作一個領(lǐng)導者和一個追隨者的問題，在其他運輸方式票價不變的前提下，城際鐵路票價制定的領(lǐng)導者是運輸企業(yè)，追隨者是各時段的旅客。上層規(guī)劃是領(lǐng)導者，決策變量是各時段的票價，運輸企業(yè)者通過票價影響旅客出行方式和出行時段的選擇；下層規(guī)劃是追隨者，決策變量是各個時段各種運輸方式的客流量，下層旅客在上層票價的決策下做出選擇，下層旅客的選擇又進而影響上層票價決策，最終到達雙方平衡[13]。本文結(jié)合Frank-Wolfe(F-W)算法[14]和粒子群算法[15]求解雙層規(guī)劃模型。算法流程見圖1。

算法步驟如下：

Step1初始化粒子群。生成粒子群，群體規(guī)模記為N，記錄當前每個粒子位置Xi和速度Vi，并將最大迭代次數(shù)設為Ggen，令i=0。

Step5逐次更新粒子位置，得到新一代粒子位置，Xi=Xi+1。令i=i+1，轉(zhuǎn)Step2。

3 算例分析

京津城際鐵路運營里程166 km，屬于中短途運輸，在中短途客運市場中鐵路和公路具有較強的競爭優(yōu)勢。

結(jié)合京津鐵路運營情況，首先，將其運營時間劃分為16個時段，并按照時間順序?qū)r段進行編號，可得n∈{1,2,…,16}；然后，按照京津城際列車各時段的平均載客率將16個時段劃分為低谷、平峰和高峰3種類型[16]，劃分標準見表1。

表1 各時段類型劃分標準

表2 某日京津區(qū)域城際鐵路客流與運能數(shù)據(jù)

表3 某日京津區(qū)域公路公交客流與運能數(shù)據(jù)

通過對京津城際旅客進行問卷調(diào)查，獲得不同時段旅客對運輸屬性的偏好權(quán)重見表4。

表4 各時段旅客對運輸屬性偏好權(quán)重

通過調(diào)查問卷的計算結(jié)果，得到不同時段旅客的時間成本見表5。

表5 各時段旅客時間成本 元

城際鐵路和公路不同時段旅客旅行過程消耗時間見表6。其中，在舒適性計算中，H取15 h，城際鐵路、公路的αk、βk取值分別為(59，39)，(0.29，0.40)。

表6 不同時段城際鐵路和公路旅客旅行過程消耗時間 h

表7 不同客流狀態(tài)下城際鐵路和公路安全性取值

在粒子群算法中，粒子種群N=100，最大迭代次數(shù)Ggen=100，粒子維數(shù)D=16，學習因子c1=0.5，c2=1，慣性權(quán)重wmax=0.8，wmin=0.3，粒子速度vmax=1.5，vmin=-1.5。利用Matlab編程計算可以獲得上、下層目標函數(shù)收斂曲線見圖2，隨著迭代次數(shù)的增加最優(yōu)解和目標函數(shù)會不斷改變，當最優(yōu)解與目標函數(shù)基本保持穩(wěn)定時，說明雙層規(guī)劃模型達到收斂狀態(tài)。

由圖2可知，模型逐步收斂，上層目標逐步增大，下層目標不斷減小。當?shù)?20次時，最優(yōu)解和目標函數(shù)基本保持穩(wěn)定，鐵路部門最大收益為73.41萬元，旅客廣義出行費用最小為323.83萬元。城際鐵路各時段定價結(jié)果見表8。

表8 城際鐵路各時段票價 元

將統(tǒng)一定價策略下的票價與分時定價策略下的票價進行對比，可獲得京津城際鐵路不同時段票價的對比,見圖3。

圖3中，分時定價模型可以根據(jù)不同時段客流情況制定不同的票價，客流高峰時段票價較高，低谷時段票價較低，時段1(06:00—6:59)和時段11(16:00—16:59)票價最高，為62.3元；時段3(08:00—8:59)票價最低，為44.6元?？土鞲叻鍟r段票價較統(tǒng)一定價時更高，引導旅客向平峰、低谷時段轉(zhuǎn)移；低谷、平峰時段票價較統(tǒng)一定價更低，吸引出行時間靈活的旅客改變出行時間。

分時定價策略下各個時段的城際鐵路客流分布見表9。

表9 城際鐵路各時段客流分布

將統(tǒng)一定價策略下城際列車滿載率與統(tǒng)一票價下城際列車滿載率進行對比，獲得京津城際鐵路不同時段間兩種定價策略的列車滿載率對比圖，見圖4。

圖4中，分時定價策略實施后，京津城際鐵路列車除時段4(09:00—9:59)外其余時段滿載率均在60%～90%之間，所有時段都達到了平峰狀態(tài)，其中時段11(16:00—16:59)滿載率增加最為明顯為27.68%；時段3(08:00—8:59)滿載率降低最為明顯為34.98%。說明分時定價策略的實施使可以客流分布更加合理、均衡，有助于提高運輸服務質(zhì)量。

將分時定價策略下的客流量與統(tǒng)一票價下的客流量進行對比，可以獲得京津城際鐵路不同時段間兩種定價策略的客流對比，見圖5。

圖5中，采用分時定價策略后，各時段客流變化較統(tǒng)一定價時更為平穩(wěn)。高峰時段客流量在原有客流基礎(chǔ)上有所下降，時段11(16:00—16:59)客流轉(zhuǎn)移率最高，達到30.61%；低谷時段在原有客流基礎(chǔ)上有所增長，時段3(08:00—8:59)客流增長最大，達到69.84%。在鐵路運能不變的情況下，分時定價策略的實施吸引了更多通道內(nèi)客流，實施分時定價策略前，京津城際鐵路一天內(nèi)運輸旅客54 047人次；實施分時定價策略后，京津城際鐵路一天運輸旅客54 960人次，增長幅度為1.69%。在鐵路運輸企業(yè)收益方面，實施分時定價策略后鐵路運輸企業(yè)收益增長了1.99萬元/日。因此，分時定價策略的實施一定程度上發(fā)揮了票價對客流的調(diào)節(jié)和引導作用，增加了鐵路運輸企業(yè)的收益。

4 結(jié)論

為解決城際鐵路客流分布不均衡問題，本文利用分時定價策略，以城際鐵路運輸企業(yè)效益最大為上層規(guī)劃目標，以旅客出行廣義費用最小為下層規(guī)劃目標，構(gòu)建基于旅客廣義出行費用的城際鐵路分時定價模型，并結(jié)合粒子群算法和Frank-Wolfe算法求解，得到各時段最優(yōu)票價及轉(zhuǎn)移客流量。通過算例分析發(fā)現(xiàn)，相較于統(tǒng)一定價，分時定價策略可以有效誘導旅客對出發(fā)時段的選擇，為城際鐵路運輸企業(yè)吸引了更多客流，從而提高企業(yè)收益。在雙層規(guī)劃模型構(gòu)建時，本文假設了通道內(nèi)客流保持不變，而對于彈性需求下的定價策略仍需繼續(xù)探究；在案例分析時，對京津城際鐵路的實際情況采用了理想化的假設，未來應進一步研究更加符合鐵路現(xiàn)場實際的動態(tài)票價制定方法，提升鐵路運營企業(yè)效益水平，改善旅客出行服務品質(zhì)，實現(xiàn)鐵路和旅客耦合系統(tǒng)效益最大化的目標。