“理解數(shù)學(xué)”視角下的課堂實踐探索

潘慧哲

摘要：數(shù)學(xué)課堂中“開門見山給出定義，正反辨析幾點注意，例題鞏固大量訓(xùn)練”的現(xiàn)象依然存在，片面重視應(yīng)考學(xué)科，造成學(xué)生對知識的整體結(jié)構(gòu)、蘊含的思想方法認(rèn)識殘缺不全，問題的根源還是在教師對數(shù)學(xué)的理解不到位。為了解決這個問題，教師首先得“理解數(shù)學(xué)”，認(rèn)識到數(shù)學(xué)的教學(xué)應(yīng)該回歸數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、厘清知識網(wǎng)絡(luò)、滲透數(shù)學(xué)思想方法。這樣的課堂以數(shù)學(xué)的方式育人，使學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識的同時，增強上下位知識的聯(lián)系，增強全局意識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：理解數(shù)學(xué);知識網(wǎng)絡(luò);思想方法

什么是“理解數(shù)學(xué)”呢？從現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的角度分析，首先是讓學(xué)習(xí)者認(rèn)識到數(shù)學(xué)的表象，然后構(gòu)建心理的表象，再以此為基礎(chǔ)構(gòu)建新的知識構(gòu)架，不再堅持已有的認(rèn)知。真正的數(shù)學(xué)理解明白結(jié)果的獲得固然重要，但更要去探索和思考結(jié)果的成因以及過程當(dāng)中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。 數(shù)學(xué)理解并不是一節(jié)課完成的，它是經(jīng)過長期的積累、重組、建構(gòu)實現(xiàn)的，屬于動態(tài)的發(fā)展過程。

如何在平面幾何的教學(xué)中理解數(shù)學(xué)、回歸本質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)知識及其邏輯聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生能夠創(chuàng)造性地思考問題？

一、問題呈現(xiàn)

期末復(fù)習(xí)階段，學(xué)生做了省編教材九年級數(shù)學(xué)上冊作業(yè)本“圓的基本性質(zhì)”復(fù)習(xí)題中的這道題目：

已知：如圖在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于點D、E，連結(jié)EB，交OD于點F.

（1）求證：OD⊥BE;

（2）若DE= ? ? ?，AB=5，求AE的長.

二、基于“理解數(shù)學(xué)”的教學(xué)

這是一道期末復(fù)習(xí)階段的課后作業(yè)題，第（1）小題的答題情況較好，學(xué)生的問題主要集中在第（2）小題。筆者分析了學(xué)生的錯因，大部分學(xué)生有設(shè)元的過程，說明具備了利用方程思想求線段長度的意識，問題是找不到建立等量關(guān)系的依據(jù)，缺乏對知識的本質(zhì)認(rèn)識，沒有建立起與其相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系。為了解決上述問題，我分兩個課時進(jìn)行研究：

第一課時：1.追本溯源，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò);

2.例題分析，明確研究方向;

第二課時：1.例題推廣，鞏固研究成果;

2.解法探究，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。

這是基于“理解數(shù)學(xué)”的教學(xué)設(shè)計，不僅落實了基礎(chǔ)知識，也能幫助學(xué)生構(gòu)建與圓有關(guān)的知識構(gòu)架，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和邏輯思維水平。

三、追本溯源

以錯題為載體，在分析和解決問題的同時引導(dǎo)學(xué)生一起整理有關(guān)內(nèi)容，構(gòu)建如下的知識結(jié)構(gòu)圖：

四、相關(guān)思考

我們不難發(fā)現(xiàn)，圓有兩個對稱性：軸對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性。垂徑定理是圓的軸對稱性的具體體現(xiàn)和刻畫，其中弦（非直徑）的中點與圓心連線所在的直線不僅是弦的對稱軸，它也是圓的對稱軸，這其實是在圓的背景下進(jìn)一步研究線段相等和角度相等。所以，教師需要站在幾何學(xué)的高度分析垂徑定理在知識體系中的邏輯定位，準(zhǔn)確把握其實質(zhì)，并能夠在課堂教學(xué)中揭示其數(shù)學(xué)思維的基本途徑。

在“圓心角定理”的課時學(xué)習(xí)中，圓具有旋轉(zhuǎn)對稱性，把它繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，所得的圖形都和原來的圖形重合。把這一性質(zhì)轉(zhuǎn)化為圓中的幾何元素就是一段弧與另一段弧的相等關(guān)系，而每一段弧所對弦是唯一的、所對的圓心角也是唯一的，所以對應(yīng)的弦相等、圓心角相等。這也說明弧、弦、圓心角之間的內(nèi)在聯(lián)系是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性。然而在“圓周角定理”的課時學(xué)習(xí)中，一段弧所對的圓周角有無數(shù)個，怎么建立起圓周角與弧之間的聯(lián)系呢？由于圓心角與所對的弧之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，因此可以將問題轉(zhuǎn)化為同弧所對的圓周角和圓心角之間的關(guān)系研究，畢竟角度之間的關(guān)系學(xué)生要熟悉一些。

因此，垂徑定理和圓心角定理及后面的圓周角定理是本章的核心知識點，所以筆者選取了下面這道例題作為切入點：

例題：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且OC∥BD，AD分別與BC，OC相交于點E，F(xiàn)，則：①AD⊥BD;②∠AOC=∠AEC;③CB平分∠ABD;④AF=DF;⑤BD=2OF;其中一定成立的是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .

通過五個結(jié)論的探究聚焦了這三個核心知識點，其中，①②是垂徑定理，③是圓心角定理，④⑤是圓周角定理。之后還可以追問是否還有別的結(jié)論。

改編：如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，且點C是弧AD的中點，AD分別與BC，OC相交于點E，F(xiàn)，你能得到哪些結(jié)論？

【設(shè)計意圖】先出結(jié)果再思考為什么？還是先思考為什么再出結(jié)論？顯然后者更具有“學(xué)的意識”。這樣的改編更開放，對于前段生能夠提升他們的思維發(fā)散性，中后段學(xué)生也可以說出一些簡單的結(jié)論，不同的學(xué)生有不同的數(shù)學(xué)理解，都能有所收獲。教師一定要能夠把知識所承載的數(shù)學(xué)思維通過精心設(shè)計的教學(xué)呈現(xiàn)出來，把學(xué)生看到的圖形認(rèn)知、直觀感知轉(zhuǎn)化為有邏輯關(guān)系的理性思維，而不是讓學(xué)生幫助老師完成教學(xué)，這才是數(shù)學(xué)理解的內(nèi)涵。

五、例題推廣

對比兩圖，前者是知識建構(gòu)，后者更注重思想方法的指導(dǎo)與提升。這樣的一節(jié)基于數(shù)學(xué)理解的復(fù)習(xí)課既重視基礎(chǔ)的夯實，又有邏輯的培養(yǎng)和思維的提升。隨后筆者設(shè)計了這樣一道變式題：

如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是弧AB上兩點，點C是弧AD的中點，AB=10，BC= ? ? ? ?，求BD的長.

例題圖 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?變式圖

【設(shè)計意圖】首先，進(jìn)一步鞏固垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理;其次，學(xué)生需要理解定理背后的邏輯關(guān)系才能有效添加輔助線，體會其中的思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，感受用數(shù)量關(guān)系來刻畫數(shù)學(xué)的理性思維。這種數(shù)量關(guān)系通過幾何知識可以深刻到定量，所以說教師的數(shù)學(xué)理解直接影響學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

例題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要載體，是學(xué)生理解概念、定理、掌握學(xué)習(xí)方法的主要途徑。通過對例題的深入研究，追根溯源，架構(gòu)起知識的橋梁，才能讓學(xué)生做一道題、通一類題。在方法的梳理過程中去歸納知識、提煉出通性通法，有助于拓展學(xué)生思維和逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者嘗試分析了學(xué)生的困難點，那就是不知道該怎么添輔助線。其實，輔助線并不是橫空出世的，必然是由題目中的條件產(chǎn)生的靈感。

輔助線：

圖1：由弧的中點想到垂徑定理，因此連接弧的中點C和圓心O;

圖2：由角平分線和高線想到等腰三角形，于是延長AC和BD得到等腰△ABE;

圖3：由角平分線想到作角兩邊的垂線。

幾何直觀指的是利用圖形來描述和分析問題，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得具體、形象，幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，有助于形成問題解決的思路。如果能通過審題、識圖，從條件和結(jié)論中聯(lián)想到所需的數(shù)學(xué)概念、定理、基本圖形等，就可以快速地添加出適當(dāng)?shù)妮o助線，從而解決問題。

解法指導(dǎo)：

勾股定理：構(gòu)造直角三角形、設(shè)元、方程、求解，是學(xué)生熟悉的方法，學(xué)生呈現(xiàn)了3種解法。

解法1：如圖1，易求AC= ? ? ? ，設(shè)OM=x，CM=5-x，由勾股定理：AM2=（ ? ? ）2-（5-x）2=52-x2，∴x=3，BD=2OM=6;

解法2：如圖2，易證BE=AB=10，AE= ? ? ? ?，設(shè)

BD=x，ED=10-x，由勾股定理：AD2=（ ? ? ? ）2-（10-x）2=

102-x2，∴x=6，BD=6;

解法3：如圖3，易證BF=BH，AH=DF，利用面積法可得CH=4，勾股定理：AH=2，BF=BH=8，BD=BF-DF=8-2=6。

相似：除了借助勾股定理，識別或構(gòu)造各種基本相似形，利用相似建立方程來求解也是常用路徑。同學(xué)們相互補充完善了其他3種解法。

解法4：如圖4，BE=AB=10，AC=CE=CD= ? ? ? ，易證△ECD∽△EBC， ? ? ? = ? ? ? ? ， ∴ED=4，BD=6;

解法5：如圖4，也可以利用△ECD∽△EDA求解;

解法6：如圖5，易證△BCH∽△BAC，得BH=8，AH=2，BF=BH=8，F(xiàn)D=AH=2，BD=6.

六、教學(xué)啟示

（一）理解知識的本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)需要回歸數(shù)學(xué)的本質(zhì)，不僅要理解基本概念，對其進(jìn)行深入研究，挖掘表象背后蘊含的數(shù)學(xué)規(guī)律和思想方法，也需要我們感悟用數(shù)學(xué)的方式去思考問題，努力追求數(shù)學(xué)的理性精神。數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生曾經(jīng)說過：有效開展數(shù)學(xué)教學(xué)的根源是教師對數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握和理解。

（二）厘清知識的關(guān)聯(lián)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于同一類型的知識我們可以進(jìn)行橫向比較，尋找它們的共性。當(dāng)然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程常常是由淺到深、從初級思維到高階思維，各個知識點之間都有著密切的聯(lián)系，我們只有基于“事物是普遍聯(lián)系的”視角來分析現(xiàn)象才能探尋規(guī)律。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須從整體和系統(tǒng)的高度來把握知識之間的結(jié)構(gòu)，把看似分散的知識理成一條主線進(jìn)行分析和比較，厘清其中的聯(lián)系，最終實現(xiàn)融會貫通。

（三）挖掘知識的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程育人功能的支點。所以，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容，理解內(nèi)容背后隱藏的思想方法，更加需要改善學(xué)生的思維方式，培養(yǎng)理性思維。我們的課堂教學(xué)不能將知識停滯在理解的層面，還應(yīng)該在運用中理解知識的本質(zhì)，挖掘知識的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生的思維向更高的層級發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：韓曉潔）