美國數(shù)學(xué)教育家楊格的數(shù)學(xué)價(jià)值觀

王海雯 汪曉勤

摘要：美國著名數(shù)學(xué)教育家楊格認(rèn)為，數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展起著重要的作用，為不同文化背景下的人們相互尊重、理解和包容創(chuàng)造了條件，具有科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值、智育價(jià)值、審美價(jià)值和德育價(jià)值。對(duì)他的數(shù)學(xué)價(jià)值觀進(jìn)行深入的考察，有功于數(shù)學(xué)教師更好地理解數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，更好地引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的世界觀、價(jià)值觀和人生觀。

關(guān)鍵詞：楊格 數(shù)學(xué)價(jià)值觀 數(shù)學(xué)史

一、引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在“課程目標(biāo)”中指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力;樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神……認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值。這就要求新時(shí)代的數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)的四類價(jià)值有深刻的理解。

歷史上，從古希臘開始，西方學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值有過長期的討論?？偫ㄆ饋?，有訓(xùn)練思維、發(fā)展智力、獲得真知、現(xiàn)實(shí)應(yīng)用、美化心靈、消遣娛樂、懲戒浮躁等。②但關(guān)于數(shù)學(xué)價(jià)值的全面、系統(tǒng)的總結(jié)和分析并不多見。20世紀(jì)上半葉，美國著名數(shù)學(xué)教育家楊格（J. W.A.Young，1865 1948）在其The Teaching of、Mathematics in the Elementaryand the seccndary school（《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》）一書中用整整一章的篇幅來論述數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的與價(jià)值。楊格在讀博期間從事數(shù)學(xué)研究，后來成為芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育學(xué)教授。③出版于1907年的The Teaching of Mathematics in theEIementary and the secondary school（《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》）一書，奠定了楊格在數(shù)學(xué)教育學(xué)領(lǐng)域的權(quán)威性和影響力，書中不僅研究了基于學(xué)生認(rèn)知需求的數(shù)學(xué)學(xué)科的邏輯價(jià)值和實(shí)際應(yīng)用，而且探索了成為一名成功數(shù)學(xué)教師的有效課堂教學(xué)方法。楊格認(rèn)為，除非是作為一切知識(shí)的載體和一切交流的媒介，任何科目都不能僅僅因?yàn)槠浔旧淼膬?nèi)容而理所應(yīng)當(dāng)?shù)爻蔀槊块T中小學(xué)課程的基本要素，或成為每一個(gè)學(xué)生的必然要求，每一門學(xué)科都有著更廣泛的功能。對(duì)于教師來說，給學(xué)生講清他所教授學(xué)科的價(jià)值，可能是一種臨時(shí)的需求，但他自己弄清他的學(xué)科的功能，卻是永久的、必不可少的需求;理想的教學(xué)，需要教師不僅知道“教什么”“怎么教”，還要知道“為何教”。①

那么，楊格總結(jié)了數(shù)學(xué)的哪些價(jià)值？本文擬對(duì)他的關(guān)于數(shù)學(xué)價(jià)值的觀點(diǎn)進(jìn)行深入的考察，以幫助今天的數(shù)學(xué)教師更好地理解課程標(biāo)準(zhǔn)中所提及的數(shù)學(xué)的各種價(jià)值。

二、數(shù)學(xué)的價(jià)值

（一）科學(xué)價(jià)值

數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，是指數(shù)學(xué)對(duì)自然科學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展的作用和意義。②德國哲學(xué)家康德在其《純粹理性批判》一書中指出：“任何一門自然科學(xué)，只有當(dāng)它能應(yīng)用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究時(shí)，才能算是一門發(fā)展?jié)u趨完善的真實(shí)科學(xué)。”③楊格從數(shù)學(xué)對(duì)于探究自然的重要作用出發(fā)，來論述數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。楊格認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)中很少有什么知識(shí)不是對(duì)自然界中存在的定量關(guān)系進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫的結(jié)果。

楊格指出，如果沒有數(shù)學(xué)知識(shí)，哪怕是最簡單的自然現(xiàn)象也難以理解;深入探究自然之秘密，更是離不開數(shù)學(xué)。他引用數(shù)學(xué)家哈爾斯蒂德關(guān)于數(shù)學(xué)與自然科學(xué)關(guān)系的一段話：

除了顯微切片機(jī)、顯微鏡、觀察與實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)學(xué)，這門新科學(xué)必須使用什么征服世界的工具呢？答案顯而易見：數(shù)學(xué)。這一科學(xué)邏輯之巨鉗讓牛頓（I.Newton，1643 1727）看到月球只不過是試圖落到他頭上的更大的蘋果，讓看不見的行星一海王星在亞當(dāng)斯（J.C.Adams，1819 1892）的頭腦中閃閃發(fā)光，告訴瑞利（Rayleigh，1842 1919）化學(xué)家們一直在呼吸大量的氬氣卻一無所知，向門捷列夫（ Mendeleev，18341907）指明未知的化學(xué)元素的位置。通過亥姆霍茲（ H.L.F.von Helmholtz，1821 1894）及其學(xué)生赫茲（H.R.Hertz，1857 1894），她又給了我們勒納德射線、倫琴射線、鐳以及基于赫茲波的無線電電報(bào)技術(shù)。④

這段話充分說明了數(shù)學(xué)對(duì)于物理學(xué)、天文學(xué)和化學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要作用。

楊格認(rèn)為，自然現(xiàn)象最顯著的特征是變化，而數(shù)學(xué)中最重要的一個(gè)分支一微積分一就是研究變化的學(xué)科。楊格稱微積分為“自然之?dāng)?shù)學(xué)”。⑤17世紀(jì)，科學(xué)家們利用微積分探尋自然規(guī)律，取得了斐然的成就。對(duì)微積分的初步了解，讓人們?cè)谔剿髯匀灰?guī)律所取得的成果中感受到數(shù)學(xué)的魅力。⑥

楊格斷言，自然完全是數(shù)學(xué)化的，一些更精密的自然科學(xué)，特別是天文學(xué)和物理學(xué)，在理論階段基本上都有著數(shù)學(xué)的特征。當(dāng)其他科學(xué)由于現(xiàn)象的復(fù)雜性和數(shù)據(jù)的不精確性而被迫停留在描述性和經(jīng)驗(yàn)性上時(shí)，天文學(xué)和物理學(xué)卻朝著數(shù)學(xué)的理想而發(fā)展一以自然現(xiàn)象背后存在數(shù)學(xué)關(guān)系為基本假設(shè)，若沒有發(fā)現(xiàn)和建立這些關(guān)系，任何結(jié)果都不足以成為這些學(xué)科的固定知識(shí)。⑦可見，如果沒有數(shù)學(xué)，理解自然科學(xué)將是非常困難的。

不僅如此，數(shù)學(xué)也是其他科學(xué)探究自然現(xiàn)象的基礎(chǔ)和延伸。楊格認(rèn)為，數(shù)學(xué)在處理符號(hào)方面所給予的訓(xùn)練為其他科學(xué)做了很好的準(zhǔn)備。數(shù)學(xué)符號(hào)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)成為抽象化的科學(xué)，符號(hào)作為一種傳播思想的媒介在眾多學(xué)科的研究中發(fā)揮了不可或缺的作用。在物理學(xué)、化學(xué)和天文學(xué)等眾多學(xué)科中都有著數(shù)學(xué)的影子，學(xué)生在學(xué)習(xí)其他科目時(shí)能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值。

反過來，理解自然、研究自然科學(xué)也同樣推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展。楊格認(rèn)為，深入探尋自然奧秘的嘗試促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論和方法的不斷發(fā)展。數(shù)學(xué)上的許多概念、命題、思想、方法和理論，從最簡單的到最抽象的，都是出于研究自然的需要而產(chǎn)生的。這樣的例子比比皆是。比如，三角學(xué)源于天文計(jì)算和航海的需要，而歷法的編制導(dǎo)致了許多數(shù)學(xué)成果的誕生，如分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股測(cè)量術(shù)、剩余定理、內(nèi)插法、高次方程理論等。又如，生物學(xué)的發(fā)展離不開分析和探索遺傳規(guī)律，此時(shí)就需要用到豐富的數(shù)學(xué)理論。顯然，自然研究中的新問題催生了新的數(shù)學(xué)工作;反過來，新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)又應(yīng)用于自然科學(xué)的新的研究，促進(jìn)著自然科學(xué)的發(fā)展。

（二）應(yīng)用價(jià)值

楊格認(rèn)為，數(shù)學(xué)在人類生活中有著不可替代的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。事實(shí)上，從歷史上看，幾何學(xué)就是源于土地丈量;很多的代數(shù)和幾何理論都源于人們對(duì)于量的間接測(cè)量。無論把鐵器、蒸汽和電氣放到哪里，都會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是先驅(qū);如果數(shù)學(xué)這一支柱被移除，人類物質(zhì)文明的大廈將不可避免地崩塌。

楊格指出，從事各種職業(yè)的人們都需要數(shù)學(xué)。他寫道：

你想當(dāng)律師嗎？倘若你不能學(xué)會(huì)分析一個(gè)簡單的幾何命題，你又如何學(xué)會(huì)分析一個(gè)復(fù)雜的法律案件呢？你是歷史研究者嗎？倘若你連一個(gè)簡單代數(shù)關(guān)系中某個(gè)系數(shù)的影響都確定不了，你又怎能確定拿破侖對(duì)世界發(fā)展的影響呢？你是語言學(xué)家嗎？倘若你不能學(xué)會(huì)將一個(gè)瑣碎的“閱讀問題”翻譯成相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)語言，你又怎能夠?qū)⒁徊棵鴱囊环N語言翻譯成另一種語言呢？你想當(dāng)醫(yī)生嗎？倘若你缺乏從一個(gè)初等方程中診斷和消去未知量所需的能力，你又怎能根據(jù)復(fù)雜而模糊的癥狀診斷和消除疾病呢？①

楊格還特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)不同職業(yè)的重要意義：

世界上很多事務(wù)都是利用符號(hào)來完成的。從電話局里的女接線員到信號(hào)塔下的男指揮員，再到鐵路或其他大公司的總裁，都是坐在一間小小辦公室里，用符號(hào)指導(dǎo)一個(gè)龐大行業(yè)的無數(shù)活動(dòng)，世間諸事都需要對(duì)符號(hào)的掌握。只有那些報(bào)酬最低、人們最不喜歡的職業(yè)才完完全全與實(shí)際事物打交道，職位的責(zé)任越大、越受青睞，符號(hào)就用得越多。運(yùn)貨到商店的車夫，只處理實(shí)際的事物;但業(yè)主卻很少不用符號(hào)。在二十世紀(jì)，使用符號(hào)的能力哪怕對(duì)于小小的成功也是不可或缺的。②

數(shù)學(xué)的思維方式在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用。楊格舉了一個(gè)成功企業(yè)家的創(chuàng)業(yè)史。企業(yè)家首先從“水力”開始，認(rèn)為有了水力，就能吸引制造商，于是，他建造了15000馬力的水渠，但制造商并沒有來。于是他又想，水力有了，加上五大湖所提供的運(yùn)輸條件，如果擁有價(jià)格便宜的原材料，就會(huì)源源不斷地吸引投資。于是，在15萬平方英里的北方原野上，他找到了原材料一云杉，歐美用于造紙的樹木短缺，而那里卻有一望無際的云杉林，一千年都采不完，且30年就能再生，于是，他決定從事紙漿業(yè)。但由于價(jià)格昂貴，美國造紙商不愿意從加拿大購買紙漿，而把一半是水的紙漿運(yùn)往歐洲成本又太高，于是，他決定制造干漿。由于沒有制造干漿的機(jī)器，他決定自造干漿機(jī)，最終取得成功。他又想使用亞硫酸來處理原材料，但需要有硫。于是，在鎳礦里，他找到了硫。但硫與黃鐵礦石是}昆合在一起的，當(dāng)時(shí)并沒有將兩者分離開來的方法，于是他建了一個(gè)實(shí)驗(yàn)室，召集世界各地的科學(xué)家和工匠做實(shí)驗(yàn)，最終取得了成功。實(shí)驗(yàn)室成功合成了鎳鋼合金，獲得了克虜伯鋼廠未來5年的訂單。由于礦石中所含的銅損壞了鎳鋼合金的功效，他又一次訴諸實(shí)驗(yàn)室。要去掉銅，需要燒堿，而燒堿可從普通食鹽中提取。……這里，企業(yè)家的“如果有……就能……”的思考方式與數(shù)學(xué)家的“如果證明……就能……”是相似的。

在楊格看來，數(shù)學(xué)教科書應(yīng)該充分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，且將數(shù)學(xué)應(yīng)用于學(xué)生易于理解的現(xiàn)代工業(yè)、商業(yè)和科學(xué)問題之中。①對(duì)于學(xué)生而言，他們熱衷于探索能激起他們好奇心的問題，從中找出相應(yīng)的問題解決策略，而更重要的是，這些策略能在日常生活中找到用武之地。

（三）文化價(jià)值

楊格從多元文化的視角論及數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)乃是人類頭腦中固有的一種思想，隨著文明的發(fā)展而高度發(fā)展。無論出現(xiàn)于哪個(gè)文明，數(shù)學(xué)本質(zhì)上都是一樣的，它可能有不同范圍，但總有相同的特征。只要條件相同，那么所得到的結(jié)果必然相同。如6X7，一個(gè)民族求得42，另一個(gè)民族不可能求得43。一個(gè)時(shí)代，人們發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的正方形的面積等于兩條直角邊上的正方形之和;另一個(gè)時(shí)代，人們不可能發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的正方形的面積等于另兩邊上正方形之和的兩倍。古代印度人所解決的問題，歐洲人許多世紀(jì)后才獨(dú)立解決，又過了幾個(gè)世紀(jì)后才發(fā)現(xiàn)這些問題很久以前早已經(jīng)被更古老的文明所解決。

數(shù)學(xué)的特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)文化的多元性。打開數(shù)學(xué)歷史的畫卷，相關(guān)的例子比比皆是：勾股定理先后為古代的巴比倫、中國、埃及和印度人所發(fā)現(xiàn);一元二次方程的解法為古代的兩河流域、印度和中國人所熟知;二項(xiàng)式系數(shù)表（算術(shù)三角形）分別出現(xiàn)于中世紀(jì)的中國、印度、阿拉伯和歐洲數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中;古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)并證明了球體積公式，但5世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家祖咂、17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家開普勒、意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里、日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和等相繼獨(dú)立推導(dǎo)出同樣的公式;人們常常說起18世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家高斯的等差數(shù)列的倒序求和法，殊不知13世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家楊輝早已用幾何方法解決了同樣的問題。

對(duì)于數(shù)學(xué)歷史的深刻理解，讓楊格摒棄了“西方中心論”的偏見。可以說，在科學(xué)史家薩頓之前，楊格已經(jīng)有了“科學(xué)統(tǒng)一性”的思想。數(shù)學(xué)思想為人類所共有，因而是不同文明互相交流的工具，為不同文化背景下的人們相互尊重、理解和包容創(chuàng)造了條件，這正是數(shù)學(xué)的文化價(jià)值之一。

（四）智育價(jià)值

楊格從思維方式的角度來討論數(shù)學(xué)的智育價(jià)值。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)乃是最典型、最清晰、最簡潔的思維方式，這種思維方式對(duì)于每一個(gè)人來說都是至關(guān)重要的。楊格的論述實(shí)際上已涉及我們今天所說的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)。

其一，數(shù)學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象、一般化和分類的能力。初等數(shù)學(xué)中一般化的最引人注目的例子是數(shù)的概念：從整數(shù)概念相繼擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)、無理數(shù)、負(fù)數(shù)和虛數(shù)。學(xué)生如果能從不同的關(guān)系中抽象出這些概念以及概念之間的聯(lián)系，那他們便插上了由繁入簡、以簡馭繁的翅膀，在日常生活和實(shí)踐問題的表征中翱翔。代數(shù)是對(duì)算術(shù)方法的一般化處理，幾何學(xué)中也有很多分類和一般化的情形。

其二，學(xué)生所有的想法和行為都受到有意識(shí)或無意識(shí)得出的結(jié)論的影響。楊格所說的思維方式，是指理解陳述、注意事實(shí)和推出結(jié)論。他認(rèn)為，在任何合理的結(jié)論中，推理行為本身總是具有數(shù)學(xué)性質(zhì)的，不管表面上有多偶然，實(shí)際上是它的先驗(yàn)的必然結(jié)果，任何了解這種先驗(yàn)性的人都可以從中做出合理的假設(shè)，并能夠在這種條件下厘清事件中的復(fù)雜關(guān)系。

其三，數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。楊格認(rèn)為，數(shù)學(xué)在想象力上有著持續(xù)的需要，它要求在空間中作圖，如果沒有越來越強(qiáng)的能力去想象一個(gè)給定情況下的各種可能性，并使它們?cè)陬^腦中浮現(xiàn)出來，就不可能取得相當(dāng)大的成功。

（五）審美價(jià)值

楊格強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)的美一簡單、對(duì)稱、緊致、完整，即使是對(duì)兒童來說，可以并且理應(yīng)成為典范。學(xué)生通常對(duì)擺在他面前的東西有足夠的鑒賞力，從而可以認(rèn)識(shí)到所討論問題的重要性和價(jià)值。當(dāng)該問題恰當(dāng)而具體地呈現(xiàn)出來時(shí)，學(xué)生應(yīng)獲得美的享受，而不是對(duì)丑陋和不愉快的厭惡。

數(shù)學(xué)有其自身的美一通過對(duì)過程和方法的精確調(diào)整使得結(jié)果沒有冗余。在楊格眼中，這非?？少F，并且只有在最美的作品中才能找到。他引用歌德的話來論證自己的觀點(diǎn)：歌德把一座高貴的大教堂稱為“凝固的音樂”，這是一種恰如其分的表達(dá)，但也許更恰當(dāng)?shù)貞?yīng)稱之為“石化的數(shù)學(xué)”。①確實(shí)，無論是建筑中的圖案還是音樂中的音符，無不是用抽象的符號(hào)語言來表達(dá)內(nèi)容。數(shù)學(xué)一直是藝術(shù)家們?nèi)≈槐M、用之不竭的寶貴的創(chuàng)造源泉。從斐波那契數(shù)列和圓周率的小數(shù)位數(shù)字，到四面體和莫比烏斯帶，都可以作為藝術(shù)家創(chuàng)作的靈感。在繪畫中，世界名畫《最后的晚餐》就是以幾何圖形為基礎(chǔ)而設(shè)計(jì)畫面，其中還利用了等邊三角形和透視學(xué)原理;在建筑中，舉世聞名的古希臘帕特農(nóng)神廟的建造比例就用到了數(shù)學(xué)中黃金分割的方法;在版畫中，作品《紅蟻》就用到了莫比烏斯帶的數(shù)學(xué)知識(shí)，將空間之美展現(xiàn)得淋漓盡致;在音樂中，樂章中三和弦的不同音符的頻率共同構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列;在園林設(shè)計(jì)中，點(diǎn)、線、面、體等要素的排布就需要用到數(shù)學(xué)中的拓?fù)鋵W(xué)概念，然后對(duì)空間進(jìn)行建模分析。數(shù)學(xué)以其獨(dú)特的對(duì)稱美、抽象美、簡潔美等美學(xué)要素，融人世界的各個(gè)角落之中，在世界藝術(shù)寶庫中占據(jù)一席之地，有著極高的審美價(jià)值。

的確，數(shù)學(xué)與美學(xué)關(guān)系密切、聯(lián)系深刻，彼此之間互相汲取精神的養(yǎng)料，提升思想的境界，可謂相輔相成、相得益彰。當(dāng)學(xué)生在科學(xué)審美的實(shí)踐活動(dòng)中具備一定的科學(xué)鑒賞力，他們便可以憑借著數(shù)學(xué)中的審美原則和美學(xué)方法洞察世界，發(fā)現(xiàn)世界里獨(dú)具特色的巧妙之處。在這樣的感染和熏陶下，學(xué)生便會(huì)一步步地邁入神圣的學(xué)術(shù)殿堂，最終達(dá)到人格氣質(zhì)的升華。因此，數(shù)學(xué)在學(xué)生逐步形成正確而鮮明的審美觀方面有著特別的意義，而這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)崇高的審美價(jià)值。

（六）德育價(jià)值

楊格認(rèn)為，數(shù)學(xué)在形成和發(fā)展人的世界觀、價(jià)值觀和人生觀等方面具有獨(dú)特的意義和作用。他的論述涉及理性、信念、品質(zhì)和情感等諸多方面。

其一，數(shù)學(xué)最重要的德育價(jià)值在于理性精神的培養(yǎng)。楊格寫道：

數(shù)學(xué)上并無權(quán)威可言，不存在什么人云亦云。每個(gè)人都有權(quán)利要求自己被說服，要求事情不半途而廢。一個(gè)新手的結(jié)論和數(shù)學(xué)家大會(huì)的結(jié)論是無分軒輊的，其正確與否只取決于證明的正確或錯(cuò)誤，而與其背后的證明者無關(guān)。②

因此，學(xué)生無須盲目接受教師或書本提出的機(jī)械規(guī)則，他們可以勇敢地提出質(zhì)疑。此外，數(shù)學(xué)為兒童提供了早期的機(jī)會(huì)去做出獨(dú)到的發(fā)現(xiàn)，加上它的結(jié)論是確定的并且早期的結(jié)論是容易掌握的，因此，它允許學(xué)習(xí)者從簡單的、非常容易的結(jié)論開始，并以良好的等級(jí)順序逐步發(fā)展到相當(dāng)復(fù)雜的情形。這樣一來，學(xué)生從實(shí)際發(fā)現(xiàn)出發(fā)，不被個(gè)人情緒和偏見所左右，能做出更加理性的思考和判斷。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生還能夠提高把握形勢(shì)、明確事實(shí)、正確感知事態(tài)的能力。由此，數(shù)學(xué)不僅使人通情更使人達(dá)理，讓人能夠尊重但不盲從，禮贊卻不迷信。簡言之，數(shù)學(xué)思維在培養(yǎng)人的理性精神上是大有裨益的。

其二，學(xué)生有權(quán)盡可能多地被告知學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的用途和目的。如上所說，數(shù)學(xué)和生活息息相關(guān)，可以用來解決很多現(xiàn)實(shí)問題，是一門有用的學(xué)問。學(xué)生通過體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的意義和作用，樹立一定的數(shù)學(xué)信念和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念。這種信念可以是一種目標(biāo)和追求，促使學(xué)生形成自己的人生觀和價(jià)值觀，進(jìn)而成為其道德行為的內(nèi)在動(dòng)因，達(dá)到德育之效。

其三，數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，學(xué)生需要對(duì)自己完成的工作進(jìn)行嚴(yán)格的審查，即使是一個(gè)微小的失誤也會(huì)輕而易舉地暴露出自己工作中的問題。因此，在某種程度上，學(xué)生在學(xué)習(xí)這樣一門容不得半點(diǎn)差池的學(xué)科的過程中，養(yǎng)成專心致志、認(rèn)真努力、踏實(shí)進(jìn)取的學(xué)習(xí)習(xí)慣和一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，應(yīng)該是一種必然的結(jié)果。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)還可以培養(yǎng)自我審視的習(xí)慣，沒有哪一個(gè)地方比數(shù)學(xué)更需要對(duì)自己的工作進(jìn)行嚴(yán)格的審查，沒有哪一個(gè)地方甚至出現(xiàn)輕微的錯(cuò)誤行為都能十分輕易地、毫不含糊地推翻結(jié)果。此外，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有助于培養(yǎng)整潔和準(zhǔn)確的習(xí)慣。從最早學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)開始，只有時(shí)刻保持謹(jǐn)小慎微的態(tài)度，堅(jiān)持整潔、準(zhǔn)確的習(xí)慣，才能取得最好的效果。由此看來，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與人格品質(zhì)的修煉有著深刻的聯(lián)系，彰顯著數(shù)學(xué)的德育價(jià)值。

其四，數(shù)學(xué)有著悠久的歷史，教科書中的歷史注解有助于激發(fā)學(xué)生的興趣，而數(shù)學(xué)家傳記與畫像可以讓數(shù)學(xué)變得人性化。①

三、結(jié)語

讓學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，乃是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施學(xué)科德育、落實(shí)立德樹人的需要，而這種價(jià)值觀往往都是通過課堂教學(xué)潛移默化地傳遞給學(xué)生的。

要在數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多元價(jià)值，理想的教學(xué)材料不可或缺，而數(shù)學(xué)史正是這種素材的寶庫。比如，在“相似三角形應(yīng)用”的教學(xué)中，可以利用古希臘水利工程奇跡一薩默斯隧道的設(shè)計(jì)問題，來揭示幾何學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值。同時(shí)，通過讓學(xué)生設(shè)計(jì)隧道的方向，并將學(xué)生的方法與古代工程師的方法進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生穿越時(shí)空與古人對(duì)話，親近數(shù)學(xué)，提升自信，學(xué)會(huì)傾聽，感悟數(shù)學(xué)背后的理性精神，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的德育價(jià)值。又如，在“角平分線性質(zhì)”的教學(xué)中，可以利用中世紀(jì)法律問題一淤積地分割問題，來揭示數(shù)學(xué)的文化價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和德育價(jià)值。再如，在“對(duì)數(shù)”概念教學(xué)中，可以通過對(duì)數(shù)的歷史來揭示數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值和文化價(jià)值，并通過對(duì)數(shù)發(fā)明者納皮爾的故事，展示數(shù)學(xué)家身上執(zhí)著、堅(jiān)韌、擔(dān)當(dāng)、傾聽的優(yōu)秀品質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生樹立積極的數(shù)學(xué)情感和信念。HPM視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)，可以充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的多元價(jià)值。

當(dāng)然，教師需要完善自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，樹立正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀，為教學(xué)內(nèi)容增加情感的基礎(chǔ)、價(jià)值的引領(lǐng)和思維的拓展等內(nèi)涵，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)同感。我們有理由相信，美好的數(shù)學(xué)情懷必將成為新時(shí)代的一種常態(tài)，有溫度的數(shù)學(xué)教學(xué)必將成為新時(shí)代的一種共識(shí)。

（王海雯，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院碩士研究生。主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究。汪曉勤，華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院教授、博士生導(dǎo)師。主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究，致力于HPM研究、實(shí)踐、傳播與人才培養(yǎng)。著有《數(shù)學(xué)文化透視》《HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育）《數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實(shí)踐與案例》等。）

①本文系上海高校立德樹人人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)研究基地之?dāng)?shù)學(xué)教育教學(xué)研究基地子課題“數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中如何落實(shí)立德樹人”系列論文之一。

②汪曉勤，栗小妮.數(shù)學(xué)史與初中數(shù)學(xué)教學(xué)：理論、實(shí)踐與案例[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019： 20- 59。

③ Stein.S. L. Young's Vision[J]. MathematicsTeacher. 1993（4）： 330-333.

①④⑤⑦Young，J.W.A.The Teaching of Mathematicsin the Elementary and the Secondary School[Ml. New York：Longmans. Green &CO..1907： 11， 16.52.15_

②楊騫，涂榮豹.略論數(shù)學(xué)教育的科學(xué)價(jià)值[J].中國教育學(xué)刊，2002（4）：33。

③康德.純粹理性批判[M].藍(lán)公武，譯.北京：商務(wù)印書館.1960： 576。

⑥ Young.J.W.A The Elements Of the DiFferentialand Integral Calculus[M]. New York：D.Appleton &.Co.，1900：97。

①②Young，J.W.A.The Teaching of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &.C0.. 1907： 34， 42。

① Young，J.W.A.Elemcntary Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1908：3。

①②Young，J.W.A.The Teaching Of Mathematics inthe Elementarv and the Secondary School[M].Ncw York：Longmans. Green &C0.. 1907： 44， 273。

① Young，J.W.A.AI{igh School Algehra[M]. NewYork：D.Appleton &CO.，1913：6。