筆算教學(xué)：要知“式”，更要達“理”

姜華 魏光明

摘要：豎式是筆算的一種書寫形式，利用豎式計算是基于計算法則進行的。計算法則通常要滿足運算定律，算理則為計算法則提供了理論依據(jù)。算理、算法是筆算教學(xué)的兩大著力點，兩者相輔相成。知“式”，即掌握算法，確保實現(xiàn)運算能力的最低要求——“正確”。達“理”，即明晰算理，給計算教學(xué)注入更多的根部營養(yǎng)，可以助力學(xué)生運算能力的提升。

關(guān)鍵詞：筆算教學(xué);豎式;算法;算理

筆算是常用的計算方法之一，通常借助豎式呈現(xiàn)演算過程，有相對嚴格、固定的運算順序，有明確的計算法則。在筆算教學(xué)中，不少教師依然存在重算法、輕算理的現(xiàn)象，這在很大程度上影響了學(xué)生借助計算學(xué)習(xí)發(fā)展思維能力。下面以一名年輕教師執(zhí)教“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）”一課為例，透視這一現(xiàn)象并提出初步的改進建議。

一、教學(xué)現(xiàn)象：知“式”并不達“理”

在出示主題圖，學(xué)生列出算式 24×12之后，教師直接放手讓學(xué)生合作探究該算式的計算方法。學(xué)生也不負“師”望，出現(xiàn)了多種計算方法：

①把12拆成2×6，先算24×2=48，再算48×6=288。

②把12可以拆成10+2，先算24×10=240， 24×2=48，再算240+48=288。

③用豎式計算24×12=288。

教師順勢引導(dǎo)全班學(xué)生觀察豎式計算的過程和特點，強調(diào)了乘的順序和部分積的書寫位置等注意事項，總結(jié)出“兩乘一加”的計算方法，隨后順風(fēng)順?biāo)剡M入練習(xí)環(huán)節(jié)。練習(xí)1（見圖1）在獨立計算和全班核對中波瀾不驚地過去了。練習(xí)2（見圖2）的正確率卻遭遇“滑鐵盧”：全班31人，計算錯誤的有22人，錯誤率達70.97%。我們發(fā)現(xiàn)，錯誤點幾乎集中在第二欄的填寫，18人填成了“買（2）個熱水瓶，應(yīng)付（46）元”。

對比上述兩道習(xí)題可以發(fā)現(xiàn)：練習(xí)1的三道筆算習(xí)題編排有層次，旨在由扶到放的過程中讓學(xué)生掌握筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法。練習(xí)2賦予豎式計算真實的問題情境，關(guān)注學(xué)生是否理解豎式中每一步計算的含義。70.79%的錯誤率至少表明這些學(xué)生對筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理還不夠明白。

筆者就“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算練習(xí)”對此班的練習(xí)情況進行了跟蹤調(diào)查，發(fā)現(xiàn)了一個尷尬現(xiàn)象：在后續(xù)練習(xí)中，只要遇到類似圖2中的練習(xí)，部分學(xué)生仍然會“執(zhí)著”地出現(xiàn)類似上述的錯誤。這種題成了教師和學(xué)生的一個“心病”，感覺每次都在重復(fù)“昨天的故事”。那么，看似行云流水的教學(xué)背后，到底出現(xiàn)了什么問題呢？

二、問題分析：知“式”為何難以達“理”

1. 學(xué)生知“式”未知“理”

執(zhí)教者通過課前測試，發(fā)現(xiàn)全班約78.4%的學(xué)生在寒假里對豎式有所預(yù)習(xí)和了解。正是這好看的數(shù)據(jù)，讓教師直奔準(zhǔn)確計算，忽視了對算理的追問。在學(xué)習(xí)筆算的過程中，師生的演繹只有“是什么”，沒有“為什么”。

為了盡快地達成“準(zhǔn)確計算”的教學(xué)目標(biāo)，教師只是請個別優(yōu)秀學(xué)生進行示范。個別示范之后的簡單處理，讓學(xué)生只知其“式”未明其“理”。這樣的結(jié)果是，學(xué)習(xí)能力強的學(xué)生憑借經(jīng)驗和練習(xí)逐步完善，學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生就只能“霧里看花”，依靠模仿和糾錯來鞏固。當(dāng)學(xué)生沒有算理的支撐，依靠模仿和機械記憶學(xué)習(xí)筆算程式化的演算過程，出現(xiàn)上述錯誤就在所難免。

2. 教師重“式”未重“理”

在與執(zhí)教者交流中，筆者發(fā)現(xiàn)執(zhí)教者沒有讀懂教材和“課標(biāo)”要求，他更關(guān)注規(guī)范書寫豎式，固化筆算形式，進行正確計算，而丟棄了豎式產(chǎn)生的“理”。繼續(xù)追問，原來執(zhí)教者誤解了“不進位”三字，認為“不進位”就是簡單易學(xué)，沒有難度。學(xué)生只要將三年級上冊“筆算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”的筆算方法和經(jīng)驗遷移至此即可。但實際筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，學(xué)生的學(xué)習(xí)難點有三：

（1）形式上有差異。三位數(shù)乘一位數(shù)的積只有一層，兩位數(shù)乘兩位數(shù)的積有兩層。兩層不完全積是學(xué)生認識上的一次非常大的跨越。

（2）口算與筆算運算順序有差異?？谒?4×12時，可以將12進行拆分，轉(zhuǎn)化成24×10+24×2，先算24×10或者24×2均可，但是豎式計算規(guī)定先算24×2。

（3）每步運算過程中積的表征和對齊。第二個乘數(shù)的十位與第一個乘數(shù)相乘時，積的個位上的“0”不寫，這樣的表征方式引出了積的對齊問題。

執(zhí)教者將“兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算”簡單地理解為兩次“兩位數(shù)乘一位數(shù)”筆算操作，再相加，忽視了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，忽視了對算理的探尋，沒有讓人為規(guī)定也能“講道理”。

3. 教學(xué)有“式”未有“理”

教材的編排旨在引導(dǎo)教師給學(xué)生創(chuàng)設(shè)探究24×12的空間，讓學(xué)生調(diào)動已有的知識經(jīng)驗，特別是利用乘法結(jié)合律、乘法分配律，從理解拆分求積的分步過程上升到借助豎式計算。

教師沒有理解教材編排多樣化算法的意圖，忽視了尋找口算與筆算方法之間的聯(lián)系。要注意的是，提倡算法多樣化，要特別引導(dǎo)學(xué)生進行比較，打通不同方法之間的“隔離墻”。實際教學(xué)時，沒有通過比較尋找“先算24×10=240，24×2=48，再算240+48=288”與列豎式計算之間的聯(lián)系，更沒有在比較過程中理解每一步計算的含義。

三、實踐與思考：知“式”如何明“理”

基于以上思考，筆者就上述教學(xué)片段做了一些改進，并進行了課堂實踐：

【教學(xué)片段】

出示主題圖，引導(dǎo)學(xué)生閱讀信息，提出問題，并列出算式：24×12。

師：估一估，大約有多少個？

生1：因為20×10=200，我覺得是兩百多。

生2：我覺得比240還要多。因為10箱就240個，何況是12箱呢。

師：到底是多少個呢，你會算嗎？把你的算法試著在點子圖上表示出來。

學(xué)生獨立嘗試之后，全班交流。

生3、生4、生5分別結(jié)合點子圖，解釋各自的算法。（見圖3、4、5）

師：比較這三種算法，你能說說它們之間有什么相同和不同嗎？

生6：都是把12拆開算，但拆法不一樣，后來計算過程也不一樣。

生7：我發(fā)現(xiàn)每次拆，都是把12拆成兩部分，再把兩次算得的結(jié)果合起來。

生8：如果計算24×13，我覺得第二種拆算法就不方便了。

生9：我更喜歡第三種拆法，因為這樣算更簡便。之前兩種算9×24或6×24都要進位，而24×10是兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，口算就可以了。

生9發(fā)言之后，學(xué)生們頻頻點頭。

師：口算24×12我們都會了，而且選出了簡便算法。豎式計算24×12又可以怎么寫呢？自己試試看。

學(xué)生獨立嘗試，教師巡視發(fā)現(xiàn)四種典型寫法。（見圖6、7、8、9）

師：現(xiàn)在有四種不同的豎式，你會怎么評價呢？

生10：我覺得①不對，剛才我們估算的時候就知道答案比240還要多，不可能是72。

生11：我知道問題在哪。先算的48是兩箱的數(shù)量，接下來應(yīng)該算10箱的數(shù)量了，應(yīng)該是240才對，他寫成了24。他一定是被1“騙”了，這十位上的1應(yīng)該是10，實際上是24×10。

生12：②的計算結(jié)果雖然正確，但過程有缺陷，看擦過的痕跡就能知道。我們看不清楚288是怎么一步步算來的。

生13：③挺清楚的，和剛才的口算過程很類似。

生14：③雖然清楚，但是④更簡便啊，0不用寫了。

生13：我覺得0不能省掉，這樣很容易發(fā)生①的錯誤。

生13和生14誰也不能說服對方。班級對③和④也形成了不同的意見。

師：看來大家對這個“0”有不同想法了。那這個0能不能省寫？如果能，那可以省寫的道理又何在呢？我們不妨借助③一探究竟。

師生互動，借助學(xué)具卡片，聯(lián)系點子圖（圖5）的圈算，逐步明晰豎式的每一層積的算法和意義。（見圖10、11）

生13突然站起來了：老師，我明白240后面的那個“0”為什么不寫了，因為豎式第二層的積總是用兩位數(shù)乘一個整十?dāng)?shù)，積的末尾肯定會出現(xiàn)一個“0”，0加任何數(shù)還是原來的數(shù)，因此這個“0”可以省略不寫。

師：省略0之后的24，表示什么意思？十位上的1乘24，第二層的積的末位寫在什么位置？

……

1.幾何直觀——悟算理

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》十個核心詞之一。顧名思義，幾何直觀的兩大維度是幾何和直觀，就是依托、利用圖形進行數(shù)學(xué)的思考和想象，讓研究的對象“看得見、摸得著”。實際教學(xué)中，可以利用數(shù)軸、方格紙、線段圖、點子圖，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、理解題意、尋求突破。

在本節(jié)課中，筆者利用點子圖，幫助學(xué)生在口算、豎式、直觀圖之間建立聯(lián)系，巧妙地將算式與點子圖相結(jié)合，將抽象的算理進行直觀、具體化的處理。學(xué)生在分一分、圈一圈、算一算的活動中，把兩位數(shù)乘兩位數(shù)這一新問題轉(zhuǎn)化為已有的經(jīng)驗，即兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)。點子圖的運用，打破了教材主題圖的局限，有利于多樣化算法的出現(xiàn)，更有利于學(xué)生對多樣化算法進行優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)按數(shù)位把一個乘數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一個一位數(shù)，計算更加簡便。點子圖的運用，為搭建豎式埋下伏筆。雖然這兩種方法書寫形式不同，但是算理是一脈相承的。這樣，就讓學(xué)生對筆算的算理有了一些初步的感悟。

2.大膽放手——辨算理

運算能力也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》十個核心詞之一，其三個外顯特征是正確計算、理解算理、方法合理。運算途徑簡潔，是方法合理的自然結(jié)果。前面的案例中有兩次全班交流辨析，分別出現(xiàn)在口算24×12和筆算24×12時。學(xué)生在第一次辨析中發(fā)現(xiàn)，按數(shù)位把第二個乘數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一個一位數(shù)，計算更加簡便。在辨析過程中，學(xué)生對運算信息的挖掘、運算方法的選擇、運算過程的簡化等有了進一步的感悟。

口算的辨析為豎式的呈現(xiàn)搭建了“腳手架”。筆者在教學(xué)時大膽放手，讓學(xué)生順著“腳手架”自主琢磨豎式的寫法。因為每個學(xué)生的學(xué)習(xí)背景和學(xué)習(xí)能力存在差異，課堂中出現(xiàn)了多樣化、差異化的豎式，筆者摒棄了先前的個別的標(biāo)準(zhǔn)化示范，收集并展示了多個不同思維水平層次的學(xué)生的真實想法，讓學(xué)生在比較中掌握豎式的正確寫法、尋求豎式計算過程的優(yōu)化、明晰豎式計算的算理，從而突破學(xué)習(xí)難點。

3.巧用教具——明算理

計算過程中，積的表征和對齊問題對學(xué)生來說是一個難點。在本課中，為什么第二次的不完全積的個位上的“0”可以省略，不能用“一般這樣寫”一帶而過。教學(xué)中，筆者借助數(shù)字卡片，聯(lián)系點子圖的圈算過程，在“一遮一換”中讓學(xué)生明白了每一步運算的含義，尤其是第二步“換0”的操作，讓學(xué)生清晰地看到積的第二層0出現(xiàn)的必然性，以及可以“省0”的可行性。在生13的自覺評價中，可以清楚地看到學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)了思維拔節(jié)。

由此可見，研讀教材不能停留于表面，應(yīng)該注重溯源而上和順流而下，運用整體性和結(jié)構(gòu)化的思維厘清所教知識點在知識脈絡(luò)中的位置，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維盲點，進而有針對性地設(shè)計教學(xué)活動。就計算教學(xué)而言，教師應(yīng)該依理馭法，學(xué)生只有明“理”才能得“法”。教師不僅要從認識上“法”“理”并重，更應(yīng)依據(jù)學(xué)生原有認知，借助幾何直觀，給計算教學(xué)注入更多的“根部營養(yǎng)”，讓學(xué)生在計算時有效地發(fā)展思維能力。

責(zé)任編輯：丁偉紅