基于理解，經(jīng)歷概念建構(gòu)的過(guò)程

錢(qián)秋琴 楊明

摘要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分。“有余數(shù)的除法”教學(xué)中，低年級(jí)學(xué)生首次接觸余數(shù)，教師要重視學(xué)生獲得這一概念的過(guò)程。應(yīng)不斷追尋更適合學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探索獲得知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中感知余數(shù)概念，在猜測(cè)驗(yàn)證中感悟余數(shù)性質(zhì)，重視概念的建構(gòu)，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：概念建構(gòu);余數(shù);小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)的重要組成部分，教師只有重視數(shù)學(xué)概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，才能讓學(xué)生靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)概念解決問(wèn)題?！坝杏鄶?shù)的除法”一課的教學(xué)重點(diǎn)是：認(rèn)識(shí)有余數(shù)的除法以及余數(shù)的含義。教學(xué)難點(diǎn)是：理解“余數(shù)要比除數(shù)小”。

一、初試課：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，研討反思

基于對(duì)教材的理解，我們對(duì)本節(jié)課的總體設(shè)計(jì)有了一個(gè)初步的設(shè)想，但在試教過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了以下問(wèn)題：（1）教學(xué)開(kāi)始直接創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入“分鉛筆”，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣還沒(méi)有充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，感覺(jué)比較突兀、枯燥，學(xué)生比較被動(dòng)。（2）例1“分鉛筆”：每人3支，可分給幾人？每人4支，可分給幾人？直接讓學(xué)生通過(guò)在紙上圈一圈、分一分得出結(jié)果，學(xué)生沒(méi)有直觀感受和操作體驗(yàn)，對(duì)余數(shù)的感知不深刻。（3）例2“用小棒擺正方形”，可以擺出幾個(gè)，還剩幾根。采用一問(wèn)一答的形式理解余數(shù)比除數(shù)小的規(guī)律。教師主導(dǎo)的痕跡過(guò)于明顯，牽引較多，學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位沒(méi)有得到凸顯，教學(xué)過(guò)程顯得重復(fù)、拖沓。

出現(xiàn)上述問(wèn)題的原因是什么？經(jīng)過(guò)研討，我們更加清晰地認(rèn)識(shí)到：有余數(shù)的除法屬于概念教學(xué)，是學(xué)生從學(xué)習(xí)表內(nèi)除法向?qū)W習(xí)表外除法過(guò)渡的橋梁，它加深了學(xué)生對(duì)整數(shù)除法的認(rèn)識(shí)與理解，同時(shí)是學(xué)習(xí)多位數(shù)除法的基礎(chǔ)，因此讓學(xué)生深刻理解余數(shù)概念十分關(guān)鍵。以下兩個(gè)問(wèn)題是教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，需要重新調(diào)整。

一是怎樣建立“余數(shù)”概念。試教時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生理解的生活中的“剩余”現(xiàn)象和數(shù)學(xué)中的“余數(shù)”概念是有差別的。因此在調(diào)整教學(xué)時(shí)，我們考慮的第一個(gè)問(wèn)題是：怎樣用好學(xué)生已有生活中的“剩余”經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行引導(dǎo)和提升，有效縮短學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)概念之間的差距，促進(jìn)學(xué)生建立與理解余數(shù)的概念，從而掌握有余數(shù)的除法概念。

二是如何理解“余數(shù)要比除數(shù)小”。正確理解余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，是切實(shí)掌握余數(shù)、有余數(shù)除法概念的關(guān)鍵點(diǎn)，標(biāo)志著學(xué)生是否完整地構(gòu)建了“余數(shù)”與“有余數(shù)除法”概念。因此，我們思考的第二個(gè)問(wèn)題是：如何在形成余數(shù)概念的起始階段，借助余數(shù)產(chǎn)生的過(guò)程同時(shí)探索余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)，讓概念理解更加透徹。

二、再研討：改進(jìn)教學(xué)，突破重難點(diǎn)

在對(duì)試教情況進(jìn)行研討分析的基礎(chǔ)上，我們?cè)俅芜M(jìn)行了創(chuàng)新設(shè)計(jì)，總的原則是基于教材，而又不拘泥于教材，深入挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

1.在游戲情境中感受生活中的剩余

對(duì)于剩余，學(xué)生在實(shí)際生活中會(huì)有一些感性的認(rèn)識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，但缺乏清晰的概念認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，從學(xué)生感興趣的游戲情境入手，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生借助已有的生活經(jīng)驗(yàn)，感知生活中的剩余。我們?cè)O(shè)計(jì)了“愛(ài)的抱抱”的游戲：先是播放12人玩游戲的視頻，讓學(xué)生初步感知游戲，并用自己的語(yǔ)言描述游戲的規(guī)則：老師報(bào)到數(shù)字3，每3人抱成一團(tuán);報(bào)到數(shù)字4，每4人抱成一團(tuán)。學(xué)生的情緒調(diào)動(dòng)起來(lái)后，教師邀請(qǐng)8個(gè)學(xué)生上前參與游戲：每2人抱成一團(tuán)，正好分成4組;每3人抱成一團(tuán)，會(huì)有2人剩余。再玩一次，發(fā)現(xiàn)還是會(huì)有2人剩余，而且剩余的2人每次不一樣。這里，教師引導(dǎo)學(xué)生：剩下2人是不是因?yàn)樗麄儎?dòng)作慢啦？如果不是，那是因?yàn)槭裁茨?？學(xué)生的好奇心被激發(fā)起來(lái)，產(chǎn)生了學(xué)習(xí)的內(nèi)在需要。

2.在操作分物過(guò)程中感知余數(shù)概念

教師以小棒為學(xué)具，創(chuàng)設(shè)平均分鉛筆的問(wèn)題情境，組織學(xué)生通過(guò)操作激活認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。先解決把10支鉛筆分給小朋友，每人2支、每人5支，各可以分給幾人？這是已經(jīng)學(xué)過(guò)的“按每份是多少”進(jìn)行平均分，也是學(xué)習(xí)新知的知識(shí)基礎(chǔ)。那每人3支、每人4支結(jié)果會(huì)怎樣呢？通過(guò)分一分、圈一圈，學(xué)生自主進(jìn)入“觀察求解”的狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)平均分10支鉛筆，不是都能正好分完的。通過(guò)觀察幾次平均分的結(jié)果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)會(huì)出現(xiàn)兩種情況，一種是平均分后正好分完，另一種是還有剩余。學(xué)生獲得平均分東西可能會(huì)“有剩余”的感性認(rèn)識(shí)，喚醒“剩余”的生活記憶，初步建立余數(shù)與有余數(shù)除法的概念。

于是再聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，把平均分的現(xiàn)象數(shù)學(xué)化。10支鉛筆，每人3支，分給幾人？你會(huì)列除法算式嗎？10÷3=3……1，強(qiáng)調(diào)這里的1表示什么？從哪里剩下的1？ 說(shuō)清這1支是把10支鉛筆平均分后剩下的部分，我們叫它“余數(shù)”，所以它的單位名稱和總數(shù)10支的單位名稱相同。學(xué)生在具體的情境中感知“有余數(shù)除法”的本質(zhì)，把有剩余的平均分現(xiàn)象抽象成有余數(shù)的除法算式，促進(jìn)學(xué)生歸納和總結(jié)。

學(xué)生已經(jīng)從例1學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了一次從具象到符號(hào)，此時(shí)教師又設(shè)計(jì)了一個(gè)問(wèn)題：除了分10支鉛筆，還可以分哪些物體也能用10÷3=3……1來(lái)表示？學(xué)生由于思維的遷移，自然而然會(huì)舉出分蘋(píng)果、分花朵等例子。在這個(gè)時(shí)候組織學(xué)生進(jìn)行半抽象的表象操作，在頭腦中想象分不同的物體，再次經(jīng)歷了從具體的例子尋求意義的過(guò)程。從數(shù)學(xué)抽象返回生活原型，再一次感知有余數(shù)除法的數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了概念建構(gòu)的具體化與完整性。

3.在猜測(cè)驗(yàn)證對(duì)比中感悟余數(shù)性質(zhì)

本課的教學(xué)難點(diǎn)是理解“余數(shù)要比除數(shù)小”，學(xué)生要理解這個(gè)抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律有一些困難。例2的教學(xué)設(shè)計(jì)了游戲環(huán)節(jié)，為學(xué)生由淺入深搭建理解的平臺(tái)。首先明確擺一個(gè)正方形需要4根小棒，第一次猜：盒子里有一些小棒，用它們擺正方形，如果正好擺完，可能有多少根？能擺幾個(gè)正方形？怎樣列式？學(xué)生通過(guò)表內(nèi)除法很快能解決，猜出盒子里小棒的根數(shù)可能是4、8、12、16、20……第二次猜：如果不能正好擺完，可能會(huì)剩余幾根呢？學(xué)生猜完后再通過(guò)13、14、15、17、18、19根小棒擺正方形，自主操作進(jìn)行驗(yàn)證余數(shù)會(huì)出現(xiàn)的情況。通過(guò)兩次猜測(cè)引領(lǐng)操作實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，學(xué)生再次體會(huì)有余數(shù)除法中的商和余數(shù)的具體含義。如果分小棒剩下4根、5根，怎么辦？讓學(xué)生明白剩下的小棒夠擺一個(gè)正方形，就要繼續(xù)擺下去，直到不夠擺為止。這里設(shè)計(jì)了錯(cuò)例分析，學(xué)生更好地理解了除數(shù)是4，余數(shù)只能是1、2、3，更加豐富了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。以此為基礎(chǔ)，進(jìn)而探索余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，經(jīng)歷感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程。

學(xué)生在操作、觀察、對(duì)比中驗(yàn)證猜測(cè)，意識(shí)到并進(jìn)一步理解在分物品的過(guò)程中總數(shù)的變化會(huì)引起余數(shù)的變化，當(dāng)余數(shù)等于或大于除數(shù)時(shí)，就意味著還能夠再分一份或一次。通過(guò)擺正方形一個(gè)例子讓學(xué)生去感悟，我們覺(jué)得還不充分，于是我們?cè)O(shè)計(jì)了讓學(xué)生觀察對(duì)比擺五邊形后出現(xiàn)余數(shù)的情況，設(shè)計(jì)了自己想象擺其他多邊形有剩余，余數(shù)可能的情況。這一系列的觀察對(duì)比分析活動(dòng)讓學(xué)生深刻感知余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而明確“余數(shù)要比除數(shù)小”。教學(xué)的難點(diǎn)也就不攻自破，學(xué)生初步的推理能力得到發(fā)展，思維得到提升。

4.在應(yīng)用拓展練習(xí)中發(fā)生主動(dòng)學(xué)習(xí)

我們精心設(shè)計(jì)了“過(guò)三關(guān)”的練習(xí)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，進(jìn)一步加深他們對(duì)余數(shù)概念的感悟，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

第一關(guān)先解決課前的游戲問(wèn)題，“你能解釋一下‘愛(ài)的抱抱游戲中出現(xiàn)的問(wèn)題嗎？引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)自己來(lái)答疑解惑，用首尾呼應(yīng)的方式鞏固對(duì)有余數(shù)除法含義的理解。第二關(guān)引導(dǎo)學(xué)生從不同角度理解課后習(xí)題“投箭壺”直觀圖的含義，出示相應(yīng)的有余數(shù)除法的算式，14÷□=□（瓶）……□（支），14÷□=□（支）……□（支），學(xué)生通過(guò)比較兩題有什么不同，為什么商的單位不一樣，說(shuō)清每一個(gè)除法算式的意義，通過(guò)辨析幫助學(xué)生加深已經(jīng)獲得的認(rèn)識(shí)，為解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題做鋪墊。第三關(guān)設(shè)計(jì)思維拓展題，如果每7人一組，分成3組，可能會(huì)余下幾人？最多余下幾人？為什么？引導(dǎo)學(xué)生充分感悟，明晰余數(shù)和除數(shù)的關(guān)系。如果平均分成了4組，還余下2人，可能會(huì)每幾人一組？每組最少有幾人？為什么？這時(shí)參加歌唱比賽的一共多少人？通過(guò)層層遞進(jìn)，讓學(xué)生更深入地認(rèn)識(shí)有余數(shù)除法的意義。

設(shè)計(jì)具有層次性和挑戰(zhàn)性的練習(xí)，以此吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，觸發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)思考，讓學(xué)生感到自己是活動(dòng)的主體，從而發(fā)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)學(xué)生今后研究數(shù)學(xué)問(wèn)題、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益。

三、有收獲：概念建構(gòu)，水到渠成

回顧“有余數(shù)的除法”一課的磨課歷程，我們對(duì)引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念有了再一次認(rèn)識(shí)。教師只有明晰數(shù)學(xué)概念的意義，重視學(xué)生探究、形成概念的過(guò)程，學(xué)生才能理解和內(nèi)化數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓概念的建構(gòu)水到渠成。

1.深度挖掘教材，找準(zhǔn)知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”

教材是實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo)、實(shí)施課堂教學(xué)的重要資源。教師在研讀的時(shí)候，要明確學(xué)習(xí)有余數(shù)的除法之前，學(xué)生已有哪些知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，還要通讀這一單元，了解知識(shí)點(diǎn)之間的緊密聯(lián)系，從而找準(zhǔn)這節(jié)課的生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn)，尋找學(xué)生可能出現(xiàn)的學(xué)習(xí)困難，準(zhǔn)確把握教學(xué)重難點(diǎn)。多研多思，深度挖掘，從不同角度、不同層次巧妙設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生主動(dòng)有意義地建構(gòu)知識(shí)體系，讓學(xué)生在課堂中真正做到自主開(kāi)放、思維可見(jiàn)。

2.注重直觀操作，關(guān)注抽象過(guò)程

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)要重視學(xué)生獲得概念的過(guò)程，教師立足學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)探究的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀進(jìn)行思維，通過(guò)分一分、圈一圈、擺一擺等直觀操作活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生探究的內(nèi)驅(qū)力。新授中算式都是結(jié)合具體操作過(guò)程逐步加以呈現(xiàn)，充分展現(xiàn)從直觀操作到算式表達(dá)的抽象過(guò)程，將抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)概念直觀化、具體化、形象化，讓學(xué)生理解有余數(shù)除法產(chǎn)生的必要性，感悟余數(shù)與除數(shù)的關(guān)系，更好地幫助低年級(jí)學(xué)生在頭腦中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

3.重視經(jīng)驗(yàn)積累，發(fā)展思維能力

在概念教學(xué)中，教師應(yīng)重視學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累。教師在教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)余數(shù)與除數(shù)之間的關(guān)系，沒(méi)有直接告訴學(xué)生結(jié)論，而是設(shè)計(jì)分層問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生猜想、操作、討論、驗(yàn)證、歸納，讓學(xué)生親歷這些數(shù)學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在體驗(yàn)中理解，在理解中反思，在反思中清晰地認(rèn)識(shí)知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別，從而建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，發(fā)展思維能力。

責(zé)任編輯：丁偉紅