向量積分配律的幾種證明*

毋曉迪鄧艷平王宏興

(廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院,廣西 南寧 530006)

0 引言

數(shù)學(xué)學(xué)科中,有很多公式和定律看似顯而易見,但證明起來往往并不簡單,就向量積的分配律而言,其表述為:

上述運算律表達式的證明方法和向量代數(shù)中的其他運算律的證明方法不同,并非直接根據(jù)定義來驗證.根據(jù)向量具有幾何與代數(shù)形式的“雙重性”這一特征,本文選取向量積分配律中的第一個表達式給出四種證明方法.

1 證明向量積分配律

1.1 證法一(代數(shù)視角1)

引 理1如 果 向 量,那么

由此引理可用來證明向量積分配律,具體證明步驟如下:

而等式左邊=等式右邊,即向量積的分配律得證.

1.2 證法二(代數(shù)視角2)

引理2 向量積的反交換性,即

引理3 數(shù)量積(即內(nèi)積、點積)的分配律,即

證明:

引理4 三向量混合積滿足以下性質(zhì):定義為向量的混合積,常記為),則表示以為三條鄰棱的平行六面體的體積,其正負號由的定向決定(右手系為正,左手系為負).

依據(jù)引理4,容易得到:

引理5 輪換混合積的三個因子,其值不改變,即

引理6 三向量混合積滿足

下面我們就用上面的一系列引理來證明向量積的分配律,

設(shè)為空間任意向量,構(gòu)造出

1.3 證法三(幾何視角1)

如圖2,設(shè)平面ACC1A1,ABB1A1,BCC1B1的單位法向量分別為,則

圖2 三個不共面向量構(gòu)成平行六面體示意圖Fig.2 Schematic diagram of parallelepihedron formed by three non coplanar vectors

向量積分配律的證明可以轉(zhuǎn)化為證明

由圖3可知,平面ACC1A1、平面ABB1A1與平面ADD1A1恰好圍成一個三棱柱,將該三棱柱向與三條平行棱AA1,BB1,CC1垂直的平面做投影,得到的投影三角形的三邊分別是原平行四邊形ACC1A1,ABB1A1,CBB1C1沿水平方向所在線段的高,分別記為A0C0,A0B0,B0C0.只需證明與A0C0,A0B0,B0C0這三邊等長且垂直的向量滿足向量和,就能得到以面積的值為長度的垂直向量滿足向量和.

圖3 三棱柱投影示意圖Fig.3 Schematic diagram of prism projection

如圖4,將C0B0繞B0點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到B0C′;A0B0繞B0點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段B0A′,將平移至,連接B0E、C′E,由∠A′B0C′=∠C′EA′, 而 ∠A′B0C′ =180° -∠C0B0A0,∠B0A′E +∠C′EA′ =180°, 即 △A0B0C0△B0A′E,得出:A0C0=B0E,由三角形平面旋轉(zhuǎn)90°得A0C0⊥B0E.

圖4 向量旋轉(zhuǎn)示意圖Fig.4 Schematic diagram of vector rotation

而

1.4 證法四(幾何視角2)

在上取一單位向量,記與夾角為θ,如圖5,將向量向平面α投影,投影向量記為,將向量順時針旋轉(zhuǎn)90°,得向量,由向量積定義可知:

圖5 向量向平面投影示意圖Fig.5 Schematic diagram of vector plane projection

圖6 向量積分配律構(gòu)造平行四邊形示意圖(1)Fig.6 schematic diagram of parallelogram constructed by vector integral collocation(1)

再次利用向量的平行四邊形法則得:

圖7 向量積分配律構(gòu)造平行四邊形示意圖(2)Fig.7 Schematic diagram of parallelogram constructed by vector integral collocation(2)

2 結(jié)語

通過翻閱大量的常規(guī)教材和教輔資料,發(fā)現(xiàn)對于向量積的分配律只是給出了一個簡單的公式,對其為何恒成立并沒有過多深入的探析.本文的四種證明方法,各有千秋,從代數(shù)角度考慮,一是從向量積的基本概念出發(fā),嚴格推導(dǎo),證明了分配律表達式,此外,從向量的代數(shù)特征入手,結(jié)合行列式運算推導(dǎo)出分配律表達式.從幾何角度出發(fā),一是通過向量叉積的幾何意義構(gòu)造出分配律表達式,充分詮釋了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想;另外,通過旋轉(zhuǎn)投影的方法順其自然地得出分配律表達式,進而增加了新的證明視角,真正使得向量成為代數(shù)與幾何之間的一座天然的橋梁.