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    素養(yǎng)導(dǎo)向下一道中考試題的解法探究

    2020-05-21 02:49:24朱紹永
    關(guān)鍵詞:全等三角形建模核心素養(yǎng)

    朱紹永

    [摘 ?要] 中考試題是命題組成員集體智慧的結(jié)晶,既要考慮到對數(shù)學(xué)人才的選拔,也要考慮到讓絕大多數(shù)學(xué)生能順利通過畢業(yè)考試,所以每道試題都是精心打造的,值得一線教師深入研究、審視和評價,一題多解就是在實現(xiàn)從能力立意向素養(yǎng)導(dǎo)向轉(zhuǎn)變的一個方面的體現(xiàn). 文章基于2019年安徽中考數(shù)學(xué)第20題第(1)問為例,在對全等三角形每種解法進(jìn)行探索的基礎(chǔ)上,就如何培養(yǎng)核心素養(yǎng),發(fā)展學(xué)生多角度思維做一些理性的思考.

    [關(guān)鍵詞] 三線八角;建模;全等三角形;核心素養(yǎng)

    試題及出處

    (2019年安徽中考第20題)如圖1,點E在平行四邊形ABCD內(nèi)部,AF∥BE,DF∥CE.

    (1)求證:△BCE≌△ADF.

    (2)設(shè)平行四邊形ABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,求的值.

    試題評價

    本題圖形簡潔,背景熟悉,設(shè)計巧妙,難易適中,面向全體學(xué)生,屬于中檔題.

    所含基本知識點:三角形內(nèi)角和定理的推論,平行線的性質(zhì),三線八角,全等三角形ASA或AAS定理,平行四邊形的性質(zhì).

    所含思維方法:建模,轉(zhuǎn)化.

    總體解題思路:由平行四邊形ABCD一組對邊AD與BC相等,再通過ASA或AAS來證明兩個三角形全等.

    試題解法探究

    (略去標(biāo)準(zhǔn)答案之外的解法,僅對第(1)問解法做探討)

    四邊形ABCD是平行四邊形,所以AD =BC,以下各種證法都用到此結(jié)論,不再一一證明.

    方法一:延長BE交AD于點G,如圖2.

    因為AD∥BC,所以∠GBC =∠AGB,因為AF∥BG,所以∠FAD =∠AGB,所以∠FAG =∠GBC,同理可得∠FDA =∠ECB. 又AD =BC,所以△ADF≌△BCE.

    本題的思路來源于一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行,則這兩個角必然相等或互補(bǔ).

    由于∠FAD與∠EBC沒有截線,所以必須通過第三個角作為“紅媒”牽線搭橋,這樣延長BE與AD相交這種輔助線的作法也就自然而然地形成了.

    方法二:連接FE并延長交AD于點G,交BC于點H,如圖3.

    因為AF∥BE,所以∠AFG =∠BEH,因為AD∥BC,所以∠AGE =∠EHC,所以∠AGE -∠AFG =∠EHC -∠BEH,即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB,又AD=BC,所以△ADF≌△BCE.

    本題證法思路源于FA∥EB,AD∥BC,能否通過平移的方法來比較兩角的大小,于是想到作射線FH,利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的推論來證明.

    方法三:延長BA,如圖4.

    因為AD∥BC,所以∠GAD =∠ABC,因為AF∥BE,所以∠GAF =∠ABE,所以∠GAD -∠GAF =∠ABC -∠ABE,即∠FAD =∠EBC. 同理可得∠FDA =∠ECB,又AD =BC,所以△ADF≌△BCE.

    本題證法思路源于∠FDA =∠EBC,缺少截線證明同位角相等,于是作射線BA,構(gòu)造出三線八角,利用同位角相等及等式性質(zhì)證明之.

    方法四:如圖1,因為AF∥BE,所以∠FAB +∠ABE =180°,因為AD∥BC,所以∠DAB +∠ABC =180°,所以∠FAB +∠ABE =∠DAB +∠ABC,所以∠FAB -∠DAB =∠ABC -∠ABE,即∠FAD =∠EBC. 同理可證∠FDA =∠ECB,又AD =BC,所以△ADF≌△BCE.

    本題證法思路源于不少同學(xué)一遇到作輔助線就有恐懼感,盡管是一些常規(guī)的輔助線,鑒于此,思考能否不通過作輔助線證明∠FAD =∠EBC呢?所以利用兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)的性質(zhì)證之.

    方法五:過點E作直線GH∥BC,交AB于點G,交CD于點H,則AD∥GH,如圖5.

    因為AF∥BE,所以∠FAE =∠AEB,因為AD∥GH,所以∠DAE =∠AEG,所以∠FAE -∠DAE =∠AEB -∠AEG,即∠FAD =∠BEG. 因為GH∥BC,所以∠EBC =∠BEG,所以∠FAD =∠EBC,同理可證∠FDA =∠ECB,又AD =BC,所以△ADF≌△BCE.

    本題證法思路源于構(gòu)造一組平行線,通過內(nèi)錯角相等、等量代換來證明∠FAD =∠EBC.

    方法六:延長BE交AD于點G,交DF于點H,如圖6.

    因為CE∥DF,所以∠BEC =∠EHD. 因為BE∥AF,所以∠AFD =∠EHD. 所以∠BEC =∠AFD. 因為AD∥BC,所以∠EBC =∠AGB. 因為AF∥BE,所以∠FAD =∠AGB. 所以∠EBC =∠FAD. 又AD =BC,所以△ADF≌△BCE.

    本題證法源于AF∥BE,CE∥DF,能否通過一條截線引用平行線性質(zhì)證明兩個角相等來個一箭雙雕呢?之后通過AAS證之.

    教學(xué)導(dǎo)向

    1. 注重模型的講解

    每一個數(shù)學(xué)知識和方法的教學(xué)都可以是一種基本的“數(shù)學(xué)模型”的教學(xué),但在具體教學(xué)中教師還需要加強(qiáng)學(xué)生對“析?!蹦芰Φ呐囵B(yǎng).

    本題中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊互相平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ)就是一種“模型”套用的成功案例,但是圖中沒有明顯的截線,那么可以通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線來“牽線搭橋”,起著“紅媒月老”成人之美的作用. 否則,機(jī)械地“套?!睍斐蓪W(xué)生強(qiáng)記硬背,食而不化,造成思維僵化就得不償失了. 在本題中除第四種解法沒有添加輔助線外,其余各種解法的前提都是構(gòu)造第二個模型“三線八角”,將∠FAD與∠EBC聯(lián)系起來.

    2. 加強(qiáng)建模訓(xùn)練 ,培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力

    建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)解決實際問題的前提,建立數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵一步.解應(yīng)用題,特別是解綜合性較強(qiáng)的應(yīng)用題的過程,實際上就是構(gòu)造一個數(shù)學(xué)模型的過程.在教學(xué)中,我們可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容選編一些學(xué)生熟知的問題對學(xué)生進(jìn)行建模訓(xùn)練,也可結(jié)合學(xué)生熟悉的生活、生產(chǎn)、科技和當(dāng)前商品經(jīng)濟(jì)中的一些實際問題,引導(dǎo)學(xué)生觀察、 分析、抽象、概括為數(shù)學(xué)模型來培養(yǎng)學(xué)生的建模能力. 并盡可能地創(chuàng)造條件,讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)解決實際問題. 在教學(xué)中可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,組織學(xué)生參加社會實踐活動,為學(xué)生營造運(yùn)用數(shù)學(xué)的環(huán)境,引導(dǎo)學(xué)生親手操作,如測量、市場調(diào)查和分析、企業(yè)成本和利潤的核算、春運(yùn)客流量統(tǒng)計購票問題等,把學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)結(jié)合起來,使學(xué)生在實踐中體驗用數(shù)學(xué)的快樂,學(xué)會用數(shù)學(xué)解決問題. 所以,在以后的教學(xué)中,要以基礎(chǔ)知識和基本方法為重點,以理解為核心,以知識生長為目的,使學(xué)生思維得到發(fā)展,智慧得以生成,綜合素質(zhì)得以提升,數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以培養(yǎng).

    3. 注重數(shù)學(xué)思想,凸顯核心素養(yǎng)

    數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最核心的內(nèi)容,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最有生命力的存在,是當(dāng)我們把其他數(shù)學(xué)知識或方法遺忘之后還依然保留的數(shù)學(xué)思維方式. 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂,需要教師在教學(xué)中不斷滲透,加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),將其深入到學(xué)生的靈魂深處,這樣才能讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué),用好數(shù)學(xué),從而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本題的第(1)問,在多種解法的前提下,不外乎三線八角、一題多解、多解歸一. 所以,我們作為一線教師在平時的教學(xué)中就要養(yǎng)成研究中考試題、學(xué)教解題的習(xí)慣,要讓學(xué)生明白為什么這樣去思考,在做這道題時怎樣想的,有沒有走岔了、想歪了,在“走投無路”的情況下是否知道改變思路.

    中考結(jié)束后就有學(xué)生問:能否連接EF,證四邊形ABEF為平行四邊形?當(dāng)然證不出來,好在他及時改變思維方法用全等證明. 這就不僅僅是要求畢業(yè)班教師要注重從不同方向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,每個年級的教師在平時的教學(xué)時都要做到這一點. 就好比有人總抱怨小學(xué)教不好怪學(xué)前班老師,初中教不好責(zé)怪小學(xué)底子沒打好,高中老師抱怨初中老師沒有輸送好生源. 其實,若每個階段在教學(xué)數(shù)學(xué)知識的同時,側(cè)重對學(xué)生解題能力的培養(yǎng),何愁沒有好生源,何愁學(xué)生的素養(yǎng)得不到提高?

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