基于數(shù)學(xué)思想視角下的分類討論教學(xué)研究

張燕

[摘 ?要] 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，以引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用與組合為目標(biāo)，探究基于數(shù)學(xué)思想視角下的分類討論教學(xué)策略具有重要的意義. 文章以“圓周角”教學(xué)為例，探究了初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想的策略.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思想;分類討論

思想是數(shù)學(xué)的精髓，而在解決的問題較為復(fù)雜、不能單一分析時(shí)，就要應(yīng)用分類討論思想，這種思想不僅能夠幫助學(xué)生正確處理各種不確定性問題，而且也有利于各種數(shù)學(xué)思維的形成[1]，然而，在日常初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生在分類討論過程中頻頻出現(xiàn)重復(fù)、遺漏討論事項(xiàng)的現(xiàn)象，因此，以引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)不同知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用與組合為目標(biāo)，探究基于數(shù)學(xué)思想視角下的分類討論教學(xué)策略具有重要的意義.

基于數(shù)學(xué)思想視角下的分類討論教學(xué)策略

1. 呈現(xiàn)背景，低起點(diǎn)導(dǎo)入

分類討論思想與其他知識(shí)和技能的獲得一樣，均是源于實(shí)際生活，因此，教師應(yīng)擺脫教科書的束縛，降低起點(diǎn)，以基礎(chǔ)知識(shí)為主要載體，鼓勵(lì)學(xué)生從日?，F(xiàn)實(shí)生活中概括和抽象出分類討論思想，運(yùn)用形式化的數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，使實(shí)際問題上升為數(shù)學(xué)思想[2].

2. 展開討論，確定分類標(biāo)準(zhǔn)

教師應(yīng)對(duì)題目所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)和運(yùn)算條件進(jìn)行周密的研究，思考題目中蘊(yùn)藏著的隱含條件;然后應(yīng)用轉(zhuǎn)化、討論思維，采用分割的方式，將一個(gè)較為復(fù)雜的問題逐漸分解成為多個(gè)簡(jiǎn)單的子問題，并在展開討論時(shí)要最大限度地注重討論的方向和深度不能超越所選分類的界限. 最后，為了減少學(xué)生分層討論時(shí)層次亂套、重復(fù)遺漏事項(xiàng)的現(xiàn)象，教師應(yīng)在小組分類討論時(shí)，統(tǒng)一分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

3. 深入理解，確認(rèn)分類方式

在數(shù)學(xué)題目呈現(xiàn)之后，教師應(yīng)通過“還有沒有其他想法”“如果是這樣了”等追問的方式引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確挖掘出題目中所隱含的可能性，按照自己確定的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系進(jìn)行分類討論. 值得說明的是，教師應(yīng)幫助學(xué)生樹立信心，不能被題目中呈現(xiàn)的未知數(shù)的數(shù)量所干擾，要按照某種邏輯關(guān)系厘清所有的知識(shí)點(diǎn)，并且在分類時(shí)做到細(xì)心和耐心.

4. 小組合作，加強(qiáng)論述深度

教師應(yīng)充分尊重每個(gè)學(xué)生在分類討論中的意見，提升不同學(xué)生在不同分類方法中的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，在組織學(xué)生小組討論時(shí)，應(yīng)盡可能地不限制或少限制學(xué)生的交談范圍，可以以某一突破口不斷對(duì)分類思路進(jìn)行查缺補(bǔ)漏，也可以選擇先自己獨(dú)立分類再采用相互交流意見的方式進(jìn)行.

基于數(shù)學(xué)思想視角下的分類討論教學(xué)實(shí)踐

紙上得來終覺淺，僅有相關(guān)分類討論教學(xué)策略是不夠的，而基于數(shù)學(xué)思想視角下的初中分類討論教學(xué)應(yīng)是理論與實(shí)踐相結(jié)合. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，相當(dāng)數(shù)量的學(xué)生對(duì)于圓周角與圓心角概念相互混淆，并且圓周角在判定相似三角形，證明角度、線段相等方面具有重要的作用. 因此，筆者以初中“圓周角”教學(xué)為例，深入探究初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透分類討論教學(xué)思想.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”原則，可充分利用多媒體呈現(xiàn)如圖1所示的圖形，鼓勵(lì)學(xué)生仔細(xì)觀察，并從角度、弧度等方面引導(dǎo)性地幫助學(xué)生思考∠AOB有哪些特點(diǎn)和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生溫故已學(xué)知識(shí)圓心角的概念和性質(zhì). 隨后，呈現(xiàn)如圖2所示的圖形，創(chuàng)設(shè)如下的教學(xué)情境，即在某海底游樂園中，點(diǎn)O，C，D，E為甲、乙、丙、丁四個(gè)游客所的位置，試問：從數(shù)學(xué)的角度分析，站在哪個(gè)位置能夠從圓弧形玻璃AB處看到海底內(nèi)部更多的景物？從而結(jié)合日常情境設(shè)置一個(gè)懸念，引出本節(jié)課程所學(xué)知識(shí)——圓周角.

2. 合作探究，學(xué)習(xí)新知

仍以創(chuàng)設(shè)的情境——圖2為例，要求學(xué)生獨(dú)立思考∠ACB，∠ADB，∠AEB這三個(gè)角之間的共同特征，引導(dǎo)學(xué)生明確圓周角的特點(diǎn). 以小組為單位，學(xué)生類比以前已經(jīng)掌握和熟悉的圓心角概念，歸納概括得出“圓周角”的概念，并要求學(xué)生思考圓周角與圓心角概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，獨(dú)立完成表1.

然后，呈現(xiàn)如下的變式題目（如圖3），要求學(xué)生利用圓周角的概念，說明該圖形是否是圓周角. 對(duì)于是圓周角的，要求學(xué)生重復(fù)圓周角判定的條件;對(duì)于不是圓周角的，要求學(xué)生說明理由. 同時(shí)，利用題目滲透分類討論思想，結(jié)合前面的教學(xué)，進(jìn)一步幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，歸納總結(jié)出圓心角與圓周角之間的三種不同位置關(guān)系，即圓心在圓周角的一邊上、內(nèi)部和外部三種情形.

3. 觀察實(shí)驗(yàn)，測(cè)量比較

在明確圓周角概念之后，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探究圓周角的性質(zhì)[2]. 在具體實(shí)踐中，教師應(yīng)讓學(xué)生以小組為單位，要求學(xué)生在紙上任意繪畫一條弧AB所對(duì)應(yīng)的圓周角和圓心角，如圖4、圖5、圖6所示.

然后引導(dǎo)學(xué)生思考如何應(yīng)用所學(xué)技能測(cè)量出圓周角和圓心角的角度，并指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用量角器測(cè)量完成表2中的數(shù)據(jù)，鼓勵(lì)學(xué)生從數(shù)值的角度猜測(cè)圓心角與圓周角之間的等量關(guān)系. 值得說明的是，對(duì)于未發(fā)現(xiàn)圓周角和圓心角規(guī)律的小組，教師應(yīng)發(fā)揮主導(dǎo)作用，引導(dǎo)他們從位置、角度等方面發(fā)現(xiàn)規(guī)律. 對(duì)于已經(jīng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的小組，教師應(yīng)鼓勵(lì)他們反思探究過程，思考如何從數(shù)學(xué)語言的角度準(zhǔn)確表達(dá)出自己的猜想.？搖

4. 驗(yàn)證猜想，深化思想

在上述測(cè)量比較、充分討論的基礎(chǔ)上，教師應(yīng)隨機(jī)邀請(qǐng)一組，要求本小組闡述探究過程中出現(xiàn)的疑惑或問題，本小組最終歸納和總結(jié)出的規(guī)律. 然后，滲透信息技術(shù)教學(xué)，充分利用幾何畫板中的動(dòng)態(tài)圖像功能直觀演示，從而有效驗(yàn)證上述所得猜想. 最后，為了培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，教師要求學(xué)生根據(jù)探究過程寫出已知和未知條件，并通過圓心O在∠ACB上、內(nèi)部和外部三種情況進(jìn)行驗(yàn)證.

以驗(yàn)證圓心O在∠ACB上為例，如圖6所示. 因?yàn)镺C=OB，所以∠B=∠C. 因?yàn)椤螦OB是∠BOC的外角，所以∠AOB=∠C+∠B，所以∠AOB=2∠ACB，即∠ACB=∠AOB.

同理，教師還應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用從特殊到一般的思想，要求學(xué)生以小組為單位繼續(xù)驗(yàn)證圓心O在∠ACB內(nèi)部和外部兩種情況.

5. 反思感悟，總結(jié)提升

在學(xué)生經(jīng)歷圓周角定理探究之后，教師應(yīng)以本節(jié)課程中的收獲為主題，要求學(xué)生總結(jié)和完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并以課前所設(shè)置的懸念為主題，反過來要求學(xué)生繼續(xù)思考課前提出的問題，然后應(yīng)用圓周角定理，得到只有站在O處的位置，觀察A，B兩點(diǎn)的視角最大，其余C，D，E的位置，由于均為圓周角上的一點(diǎn)，所以其觀察效果是一樣的.

值得說明的是，在上述組織學(xué)生學(xué)習(xí)圓周角的過程中，主要采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究的形式，其中圓周角與圓心角三種位置關(guān)系屬于圖形位置不確定而引起的分類討論. 縱觀初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程，其分類討論思想還體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是由于題目中字母的不同取值、位置的不同而引起的討論;二是由于限制條件不同而引起的討論;三是計(jì)算時(shí)受實(shí)施條件的限制而引起的討論. 在具體教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)讓學(xué)生以小組為單位，鼓勵(lì)思維嚴(yán)密完整的學(xué)生帶動(dòng)思維水平較低的學(xué)生，從而實(shí)現(xiàn)“兵教兵”的效果;并且還可以應(yīng)用一些經(jīng)典范例，結(jié)合課堂小結(jié)、單元總結(jié)概括提煉出分類思想，促使學(xué)生不斷增強(qiáng)思維的嚴(yán)密性[3].

結(jié)語

總之，基于數(shù)學(xué)思想視角下的分類討論思想不是一朝一夕就能在教學(xué)中滲透的，教師應(yīng)在具體數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，采用低起點(diǎn)、頻追問、小組合作的方式不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，只有這樣，才能不斷提升學(xué)生解題能力、思維能力，改善學(xué)生學(xué)習(xí)的技巧、方法，深刻理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)：

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