例談函數(shù)思想在中考幾何綜合題中的應(yīng)用

■福建省泉州第一中學(xué) 徐衛(wèi)忠

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。近十幾年來，中考幾何綜合題圖形較復(fù)雜，涉及的知識點較多，類型多種多樣，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答，是學(xué)生最懼怕的題型之一。通過研究分析發(fā)現(xiàn)，中考幾何綜合題中常出現(xiàn)的垂直、長度、定值、面積、最值、平分角和共線等問題，經(jīng)?？山⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造函數(shù)解析式，妙用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，求出關(guān)健點的坐標(biāo)，得出所需的數(shù)量關(guān)系，從而達(dá)到避開構(gòu)造復(fù)雜輔助線、化難為易、化繁為簡的目的。

預(yù)備知識：設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的長度AB=線段AB的中點坐標(biāo)直線AB的斜率設(shè)直線AB與直線CD的斜率都存在，若A、B、C 三點共線，則kAB=kBC；若直線AB與CD垂直，則kAB?kCD=-1，反之亦然。

下面以四道中考幾何綜合題為例，談一談函數(shù)思想在上述幾何綜合題中的應(yīng)用。

一、函數(shù)思想在垂直問題中的應(yīng)用

例1.如圖（1），矩形ABCD 中，AB=6，AD=5，G 為CD中點，DE=DG，GF⊥BE于點F，求DF的長度。

圖（1）

圖（2）

圖（3）

點評：此思路需從條件DE=DG入手，看出ΔDEG為等腰直角三角形，為了構(gòu)造手拉手型全等三角形，需延長FG 到點M，使GM=EF，輔助線的構(gòu)思為難點之一；通過等面積算GF的長度，為構(gòu)思難點之二；最后需算出FM=FG+GM才可最終求出DF為構(gòu)思難點之三。對考生的幾何直觀、模型構(gòu)造、等面積求高及勾股定理的應(yīng)用等數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高的要求，在有限的做題時間內(nèi)很難構(gòu)思出來。

而如果使用下面的思路二，建立平面直角坐標(biāo)系后，只需求出直線BE和直線GF的解析式，聯(lián)立方程可求出交點F 的坐標(biāo)，通過兩點間的距離公式就可求出DF 的長度，避開構(gòu)造復(fù)雜輔助線，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。

思路二：如圖（3）以點A 為坐標(biāo)原點，AB、AD 所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可知點B（6，0），D（0，5），C（6，5），G（3，5），E（0，2），∴直線BE 為y=-x+ 2，∵GF⊥BE，∴kGF?kBE=-1，∴kGF= 3，∴直線GF為y= 3x- 4．

二、函數(shù)思想在對稱問題中的應(yīng)用

例2.在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+a(a＞

0)分別與x軸、y軸交于A、B兩點，C、D的坐標(biāo)分別為C( 0，b)、D(2a，b-a)(b＞a)．

（2）若點C、D關(guān)于直線AB的對稱點分別為C、D．

②當(dāng)點C恰好落在x軸上時，試求a與b的函數(shù)表達(dá)式．

（2）②思路一：如圖，設(shè)點C∕(m，0)，則CC∕的中點∵點P在直線AB上，∴m= 4a- 2b．

由對稱性可知，BC∕=BC=b-a．

在直角ΔBC∕O中，OB2+OC∕2=BC∕2，

∴[-(4a- 2b)]2+a2=(b-a)2，整理得16a2-14ab+ 3b2= 0，

∴(2a-b)(8a- 3b)= 0，∴a=或a=b．

∵BC∕＞OB，∴b-a＞a，∴a≠，∴a與b的 函數(shù)表達(dá)式a=b(b＞0 )．

點評：設(shè)點C∕(m，0 )，將CC∕的中點P代入直線AB，m= 4a- 2b，對直角ΔBC∕O利用勾股定理列出方程因式分解得出a與b的關(guān)系，求解方程及驗證解的有效性為思路難點。

而如果使用下面的思路二或者思路三，因AB⊥CC∕，kAB=-，得kCC∕=2，所以直線CC∕的解析式為y=2x+b，所以對直角ΔBC∕O用勾股定理得出結(jié)論或者算出直線CC∕與直線AB的交點P的坐標(biāo)，利用點P是CC∕的中點得出結(jié)論，避開解復(fù)雜方程及驗證解的有效性，將問題簡單化、具體化。

思路二：連接CC∕，∵直線AB垂直平分CC∕，∴kAB?kCC∕=-1．

三、函數(shù)思想在共線問題中的應(yīng)用

例3.（2018·福建）已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）．

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：

當(dāng)x1＜x2＜0 時，（x1-x2）（y1-y2）＞0；當(dāng)0＜x1＜x2時（x1-x2）（y1-y2）＜0．以原點O為心，OA 為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內(nèi)角為60°．①求拋物線的解析式；

②若點P與點O關(guān)于點A 對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN．

（2）①解得拋物線的解析式為y=-x2+ 2；

（2）②思路：過點M作y軸的垂線，垂足為點Q，

四、函數(shù)思想在定值問題中的應(yīng)用

例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax-3a(a＜0)交x軸于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點D的縱坐標(biāo)為4．

（3）過點D作直線DE∥y軸，交x軸于點E，點P是拋物線上B、D兩點間的一個動點（點P不與B、D兩點重合），直線PA、PB與直線DE分別交于點F、G，當(dāng)點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由。

思路：易求得拋物線的解析式為y=-x2- 2x+ 3，A（3，0），B（1，0），對稱軸x=-1，設(shè)P(m，-m2-2m+3)，F(xiàn)(-1，f)，由kAF=kAP得得f= 2 - 2m；同理設(shè)G(-1，g)，kBP=kBG得g= 2m+6，∴EF+EG= 2 - 2m+ 2m+ 6= 8為定值．

由此可見，函數(shù)思想在中考幾何綜合題中的應(yīng)用，就是一種解題思維策略，通過建立函數(shù)模型，妙用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，將中考幾何綜合題中常出現(xiàn)的垂直、長度、定值、面積、最值、平分角和共線等問題具體化、簡單化，避開構(gòu)造復(fù)雜輔助線，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。

這要求我們學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)過程中，做到以下幾點：

1.理解、掌握好以下常用的公式和函數(shù)性質(zhì)：兩點間距離公式，線段中點坐標(biāo)公式，過兩點的斜率公式以及若A、B、C 三點共線，則kAB=kAC；若直線AB 與CD垂直，則kAB?kCD=-1。學(xué)以致用，能夠用這些公式和性質(zhì)，求解中考幾何綜合題。

2.養(yǎng)成建立平面直角坐標(biāo)系的解題習(xí)慣。若題目中有正方形、長方形、直角三角形，可以直角頂點為原點，兩直角邊所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系。若有等邊三角形或者等腰三角形，可以底邊所在直線為x軸，等腰三角形的高所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)造函數(shù)解析式求解。

3.多嘗試、積累、歸納總結(jié)。親身體驗解綜合題的成功過程，是最好增強(qiáng)信心的方法。多嘗試?yán)煤瘮?shù)思想求解中考幾何綜合題，積累利用函數(shù)性質(zhì)求解的經(jīng)驗，歸類總結(jié)出能用函數(shù)思想求解的題型，通過不斷地嘗試、積累、歸納總結(jié)，內(nèi)化為自己的知識經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)能力。