在實(shí)踐中“做數(shù)學(xué)”
——一道練習(xí)題蘊(yùn)含的價(jià)值研究

■福建省龍巖市連城縣實(shí)驗(yàn)小學(xué) 馬啟健

一、緣起：怎么這么難算的“圓柱體積”

人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)練習(xí)五最后一題：下面4個(gè)圖形的面積都是36dm2 。用這些圖形分別卷成圓柱，哪個(gè)圓柱的體積最??？哪個(gè)圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？（單位：dm）

孩子們做這題，無(wú)一例外的都認(rèn)為很難。難的原因不是因?yàn)檫@道題有多種卷法，也不是因?yàn)檫@道題是已知圓柱的底面周長(zhǎng)與高要求圓柱的體積，更不是因?yàn)橥ㄟ^(guò)計(jì)算結(jié)果所要發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。這道題之所以給學(xué)生帶來(lái)很大困難，在于根據(jù)底面周長(zhǎng)求出半徑再求底面積的計(jì)算量實(shí)在太大，且計(jì)算的難度很大。

以第一圖為例，第一種卷法的圓柱底面半徑18÷3.14÷2 就已經(jīng)超過(guò)六年級(jí)學(xué)生的計(jì)算水平，因?yàn)楝F(xiàn)行教材的除法只學(xué)到兩位數(shù)除三位數(shù)。更何況前三幅圖都有兩種卷法，共有七種卷法。每種卷法都要先算出半徑，再算出底面積，最后算出體積。即使借助計(jì)算器，這道題的計(jì)算也要花費(fèi)大量的時(shí)間。

二、疑惑：題目中的數(shù)據(jù)為什么不選用3.14的倍數(shù)

題目中的數(shù)據(jù)如果選用3.14 的倍數(shù)，如6.28、12.56、18.84等，計(jì)算略為好算了，但有價(jià)值嗎？花費(fèi)七遍的時(shí)間，重復(fù)練習(xí)除了讓學(xué)生進(jìn)一步掌握已知圓柱的底面周長(zhǎng)與高求圓柱體積的流程之外沒(méi)有多大價(jià)值，還會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)和抵觸情緒。

難道編者故意刁難教師和學(xué)生？編者不可能故意刁難教師和學(xué)生！那編者的意圖又是什么呢？“人不走讓樓梯走”換角度思考問(wèn)題發(fā)明了電梯。這道題這么難算，有沒(méi)有不要算的方法？

三、反思

（一）圓周率π的近似值可以取整數(shù)3這樣計(jì)算略為簡(jiǎn)單，但這題僅僅是這一目的嗎？

（二）被忽略的另一種算法

眾所周知，圓柱體積等于底面積乘高。當(dāng)圓柱體換一個(gè)位置擺放，體積不變，底面積是側(cè)面積的一半，高是圓柱的半徑。也就是說(shuō)圓柱體積＝側(cè)面積的一半×半徑。

面對(duì)此題，我再次思考：圓柱體積＝側(cè)面積的一半×半徑，這種方法為什么會(huì)被忽略？

“學(xué)生的空間想象能力太差了，教完就忘記！”一位教師的抱怨給了我啟發(fā)：以往我只注重對(duì)教材的解讀，卻忽略了對(duì)學(xué)情的深度把握。教學(xué)的難點(diǎn)不僅僅來(lái)自學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生的空間想象力才是制約學(xué)生學(xué)習(xí)的根本因素。依據(jù)教材，學(xué)生被強(qiáng)化的只是“圓柱體積＝底面積×高”的技能，空間觀念沒(méi)有得到相應(yīng)的發(fā)展。因此學(xué)生在課堂上雖然“掌握”了知識(shí)，實(shí)際上這種“掌握”缺少支撐，如同無(wú)根之草，經(jīng)不起時(shí)間的檢驗(yàn)，更經(jīng)不起變式題目的檢驗(yàn)。要讓學(xué)生真正掌握，應(yīng)該將教學(xué)的重點(diǎn)放在“發(fā)展學(xué)生的空間觀念”之上。

什么是空間觀念？看不見(jiàn)摸不著的空間觀念又該如何培養(yǎng)？2011 年修訂版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：空間觀念主要表現(xiàn)在：能由實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化；能根據(jù)條件做出立體模型或畫(huà)出圖形；能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系；能描述實(shí)物或幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；能采用適當(dāng)?shù)姆绞矫枋鑫矬w間的位置關(guān)系；能運(yùn)用圖形形象地描述問(wèn)題，利用直觀來(lái)進(jìn)行思考。

四、實(shí)踐：基于發(fā)展空間觀念的教學(xué)嘗試

空間觀念既有“實(shí)”的一面，以“圓柱體積公式推導(dǎo)”一課為例，實(shí)指的是：學(xué)生能用圓柱學(xué)具，通過(guò)切拼成長(zhǎng)方體，描述出變化的過(guò)程及結(jié)果?？臻g觀念也有“虛”的一面，“虛”指的是支撐學(xué)生理解和操作的空間想象能力。“實(shí)”需要“虛”的統(tǒng)攝和支撐，“虛”需要“實(shí)”的誘發(fā)和表現(xiàn)，虛實(shí)相生是發(fā)展學(xué)生空間觀念的有效策略。體悟?qū)W生的計(jì)算困難，我把這道題教學(xué)的重點(diǎn)放在“發(fā)展空間觀念”這一核心問(wèn)題上，引導(dǎo)學(xué)生再次閱讀課本第25頁(yè)圓柱體積公式的推導(dǎo)，教師演示教具，然后學(xué)生自己操作學(xué)具，采取“虛實(shí)相生”的教學(xué)策略，透視公式推導(dǎo)直觀本意，助力學(xué)生很好地理解了數(shù)學(xué)知識(shí)。

（一）空間想象能力是虛的

“虛”的“空間想象能力”并不是憑空產(chǎn)生的，需要實(shí)境來(lái)誘發(fā)和開(kāi)拓。為此我通過(guò)學(xué)生的操作學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)“豐盈學(xué)生的空間想象力”。蘇霍姆林斯基說(shuō)：“學(xué)生的思維在他們的指尖上?！睂W(xué)生的空間想象力同樣在他們的指尖上，讓學(xué)生動(dòng)手操作學(xué)具，以此活動(dòng)為基礎(chǔ)，觀察思考，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

（三）用圓柱學(xué)具切拼成長(zhǎng)方體是“實(shí)”的

教學(xué)不能停留在看山是山的層面，從具體走向抽象，依托實(shí)像誘發(fā)想象能有效地發(fā)展學(xué)生的空間觀念。動(dòng)手操作后要求學(xué)生描述圓柱學(xué)具切拼成長(zhǎng)方體的過(guò)程，描述過(guò)程后還要說(shuō)說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)：什么變了？什么沒(méi)變？有了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)的鋪墊，這樣學(xué)生就會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由整體想象到細(xì)致思考的過(guò)程，而不至于把圖形推導(dǎo)的結(jié)果僅僅演變?yōu)榧寄艿挠?xùn)練，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

在前面的教學(xué)中，通過(guò)實(shí)踐操作，學(xué)生已發(fā)現(xiàn)把一個(gè)圓柱切開(kāi)可以拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，在轉(zhuǎn)變過(guò)程中體積不變，底面積相等，高相等，并由此推導(dǎo)出圓柱的體積公式是底面積乘高，可以說(shuō)這個(gè)公式已在孩子們腦中牢牢掌握。在推導(dǎo)的過(guò)程中，我把拼成的長(zhǎng)方體放倒，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考：現(xiàn)在什么變了？什么沒(méi)有變？長(zhǎng)方體擺放的樣子變了，體積沒(méi)變。原來(lái)長(zhǎng)方體的前面變成了底面，此時(shí)長(zhǎng)方體的底面積就是原來(lái)圓柱側(cè)面積的一半，長(zhǎng)方體的高就是圓柱的半徑，所以得出另一個(gè)公式——圓柱體積＝側(cè)面積的一半×半徑（如下圖），并可進(jìn)一步得出當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，圓柱的體積與底面半徑成正比例的結(jié)論。

通過(guò)閱讀教材、動(dòng)手操作，學(xué)生恍然大悟。其實(shí)這道題可以不用計(jì)算，通過(guò)推理就能知道哪個(gè)圓柱的體積最大？哪個(gè)圓柱的體積最小了。由于題目中四個(gè)長(zhǎng)方形的面積相等，所以卷成的七個(gè)圓柱的側(cè)面積就相等，它們的體積大小只需要考察底面半徑即可。因?yàn)閳A的半徑與圓的周長(zhǎng)成正比例，所以當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，圓柱的體積與底面周長(zhǎng)成正比例，底面周長(zhǎng)越大的圓柱體積就越大，底面周長(zhǎng)越小的圓柱體積就越小。也就是當(dāng)側(cè)面積一定時(shí)，圓柱的體積與底面半徑成正比例，底面半徑越大的圓柱體積就越大，底面半徑越小的圓柱體積就越小。本文開(kāi)頭的練習(xí)，七個(gè)數(shù)據(jù)中18最大，2最小。所以第一張紙橫著卷時(shí)，18dm的底面周長(zhǎng)最大，也就是底面半徑最大，這時(shí)的體積也就最大。第一張紙豎著卷時(shí)，2dm的底面周長(zhǎng)最小，也就是底面半徑最小，這時(shí)的體積也就最小。

五、感悟：換個(gè)角度柳暗花明

就這樣，一道計(jì)算很繁瑣的問(wèn)題通過(guò)換個(gè)角度觀察、思考、推理，不要計(jì)算就解決了，而且在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生觀察圖形、有效推理的能力，發(fā)展了學(xué)生的求異思維和空間觀念。真是“山重水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”。通過(guò)這道題的練習(xí)，說(shuō)明僅僅基于教材的深度解讀，雖然學(xué)習(xí)材料層次清晰，但是教學(xué)的指向是技能的提升，依靠的是外在的強(qiáng)化訓(xùn)練，有效果卻不牢固；我們的教學(xué)設(shè)計(jì)必須基于學(xué)生的學(xué)習(xí)需要，基于學(xué)的設(shè)計(jì)，重在發(fā)展學(xué)生的空間觀念，指向了學(xué)習(xí)的本質(zhì)，才會(huì)取得更好的效果。看來(lái)，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)“很難算”等現(xiàn)象的時(shí)候，我們需要思考的不僅僅是教材的難度問(wèn)題，更要思考學(xué)生學(xué)力的提升問(wèn)題，以往的教學(xué)我們更多地關(guān)注前者，以后的教學(xué)我們應(yīng)該更多地關(guān)注后者。