基于能量等效原理的顫振機理及顫振導數(shù)識別

劉 磊, 管青海,2,*, 李加武, 劉健新

(1. 天津城建大學 天津市土木建筑結構防護與加固重點實驗室, 天津 300384; 2. 長安大學 陜西省公路橋梁與隧道重點實驗室, 西安 710064; 3. 長安大學 風洞實驗室, 西安 710064)

0 引 言

顫振是一種由于氣動不穩(wěn)定引起的自激發(fā)散振動，在大跨度橋梁中若發(fā)生顫振，可能導致結構的整體破壞，因此大跨度橋梁結構顫振問題的研究顯得尤為重要。為了對橋梁結構進行顫振響應分析，首先要確定橋梁斷面的顫振導數(shù)。準確識別橋梁的顫振導數(shù)，成為大跨度橋梁結構顫抖振分析[1]中的重要環(huán)節(jié)。

對于顫振導數(shù)的識別，張斐針對橋梁斷面顫振導數(shù)識別的具體特點，在加權整體最小二乘法[14]和修正總體最小二乘迭代法[15]的基礎上，引入加權矩陣，推導出用于顫振導數(shù)識別的加權最小二乘迭代(WLS)法[16]。此外，最小二乘復指數(shù)法[17](LSCE)，基于特征系統(tǒng)實現(xiàn)算法[18](ERA)的識別方法，等一系列以二維節(jié)段模型自由振動試驗為基礎的顫振導數(shù)識別方法得到提出和發(fā)展。上述顫振導數(shù)的識別方法大多通過顫振導數(shù)與系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)之間的關系，將顫振導數(shù)的識別問題轉化為系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)的識別問題。本文從功能轉換角度，提出了一種基于瞬時做功的顫振導數(shù)識別方法。

橋梁和風是兩個相互作用的系統(tǒng)，風對橋梁系統(tǒng)的作用效應可以分為兩部分：(1) 風的阻尼作用耗散或增加橋梁系統(tǒng)的機械能，即阻尼效應。(2)風與橋梁系統(tǒng)交換機械能，并以彈性勢能的形式儲存，即剛度效應。本文基于能量等效原理，首先將顫振自激力各項進行了分類。在有限元分析軟件ANSYS中建立理想平板模型，其顫振自激力通過MATRIX27單元實現(xiàn)。以理想平板的經典耦合顫振為例，依據(jù)功能轉換原理，通過對具有阻尼效應自激力的做功時程和橋梁系統(tǒng)機械能時程的對比分析，驗證了上述顫振自激力分類的合理性。然后將顫振微分方程通過積分運算轉化為功能方程的形式，提出了一種基于瞬時做功的顫振導數(shù)識別方法，并以理想平板的顫振導數(shù)識別為例對該方法的可靠性進行了驗證。

1 顫振自激力分類及其合理性驗證

1.1 顫振自激力分類

(1)

(2)

依據(jù)能量等效原理，當流線型橋梁斷面采用Scanlan顫振自激力模型計算顫振響應時，為保證振動響應計算結果的等效性， Scanlan顫振自激力和實際顫振自激力(Lse(t)、Mse(t))的氣動阻尼系數(shù)和氣動剛度系數(shù)在每一個瞬時均應相等，即滿足:

(3)

(4)

(5)

(6)

式(3)、式(5)為瞬時氣動阻尼等效性的約束條件，其積分項代表自激力對節(jié)段模型振動系統(tǒng)做功的瞬時積累值，若保證自激力做功的當前積累值等效，那么節(jié)段模型振動系統(tǒng)的瞬時機械能也是等效的，由此，可以保證計算出的瞬時振幅是相等的；式(4)、式(6)為瞬時氣動剛度等效性的約束條件，其積分項代表自激力對節(jié)段模型振動系統(tǒng)所做的無功瞬時積累值，若保證自激力所做無功的當前積累值等效，則可以保證計算出的瞬時相位是一致的。在自激振動過程中，由于氣動自激力耦合項的存在，扭轉模態(tài)和豎彎模態(tài)的振動響應都包含兩個不同的頻率成分，豎彎振動和扭轉振動的位移與速度函數(shù)可以近似表達為:

h(t)=ah1cosφh1+ah2cosφh2

(7)

(8)

α(t)=aα1cosφα1+aα2cosφα2

(9)

(10)

經典耦合顫振屬于豎彎和扭轉模態(tài)完全耦合的顫振，當顫振發(fā)生時豎彎和扭轉兩個自由度的振動頻率基本相等，并具有一定的相位差。

≠0

(11)

=0

(12)

1.2 顫振自激力分類的合理性驗證

為了檢驗顫振自激力分類的合理性，下面分別求出顫振自激力各效應項的做功時程和無功時程。扭轉和豎彎模態(tài)氣動阻尼效應項做功時程表達式如下:

(13)

(14)

扭轉和豎彎模態(tài)氣動剛度效應項無功時程表達式為:

(15)

(16)

顫振自激力阻尼效應項做功與系統(tǒng)機械能存在轉換關系，因此為了對自激力分類的合理性進行驗證，還需求出系統(tǒng)的機械能。扭轉和豎彎模態(tài)機械能表達式如下:

(17)

本文在ANSYS中建立理想平板簡支梁模型，并以模型的扭轉模態(tài)為例具體說明驗證過程。

該理想平板簡支梁長L=300 m，寬B=40 m，兩端扭轉自由度固定。平板斷面豎向和橫向彎曲剛度為EIz=2.1×106MPa·m4,EIy=1.8×107MPa·m4，扭轉剛度GIt=4.1×105MPa·m4。每延米長度質量m=20 000 kg/m，質量慣矩Im=4.5×106kg·m2/m，空氣密度ρ=1.25 kg/m。結構模態(tài)阻尼比均假設為零。其中橋面主梁采用BEAM4單元模擬，質量慣矩采用MASS21單元模擬，自激力采用MATRIX27單元模擬。模型共有120個節(jié)點，237個單元。

為獲得理想平板簡支梁的振動響應，給予主梁節(jié)點單位瞬時速度的初始激勵，基于ANSYS瞬態(tài)動力學分析求得理想平板簡支梁跨中節(jié)點在風速U0=142 m/s時扭轉模態(tài)的速度和位移時程。依據(jù)阻尼效應的物理意義，橋梁系統(tǒng)機械能的改變只與自激力阻尼效應項的做功有關。通過理想平板顫振導數(shù)理論解和式(13)求得扭轉模態(tài)氣動阻尼效應項做功時程曲線，并通過式(17)求得扭轉模態(tài)機械能時程曲線。從圖1中可以看出扭轉模態(tài)阻尼效應項做功時程與機械能時程吻合良好，從而驗證了自激力分類的合理性。

圖1 U0=142 m/s扭轉模態(tài)功能時程Fig.1 Work and energy time history of torsion modal at U0=142 m/s

2 顫振驅動機理研究

2.1 顫振自激力的做功時程和無功時程

(18)

(19)

(20)

2.2 從功能關系角度研究顫振驅動機理

以理想平板簡支梁為例來研究橋梁顫振驅動機理，將理想平板簡支梁跨中節(jié)點的速度和位移響應時程以及理想平板顫振導數(shù)理論解帶入式(18～20)，求得各效應項在顫振前、顫振臨界狀態(tài)和顫振后做功時程和無功時程，如圖2和圖3所示。

圖2 豎彎和扭轉模態(tài)做功時程Fig.2 Work time history of vertical bending and torsional modal

圖3 豎彎和扭轉模態(tài)無功時程Fig.3 No work time history of vertical bending and torsional modal

3 基于瞬時做功的顫振導數(shù)識別方法

Scanlan顫振自激力模型中包含了純剛度效應項、純阻尼效應項和既有剛度效應又有阻尼效應的雙重效應項，這些項對自激振動響應的影響不盡相同。依據(jù)能量等效原理，氣動阻尼項只耗散(或增加)系統(tǒng)的機械能，而氣動剛度項只影響振動的相位，不會影響機械能的大小。因而，若從基于自激扭矩和自激升力的做功時程來識別氣動阻尼參數(shù)，可以提高氣動參數(shù)的識別精度。相似地，若基于自激扭矩和自激升力的無功時程來識別氣動剛度參數(shù)，也可以提高氣動剛度參數(shù)的識別精度。與傳統(tǒng)識別方法相比，基于瞬時做功的顫振導數(shù)識別方法結算結果更加穩(wěn)定。

3.1 將顫振微分方程轉化為功能方程

本文在建立顫振導數(shù)識別方法時，采用自激力做功的形式，通過顫振微分方程兩邊同時積分將運動方程轉化為功能方程的形式，分別求出了自激扭矩和自激升力的做功時程和無功時程，由此建立顫振導數(shù)與系統(tǒng)振動響應之間的關系，然后通過加權最小二乘法求得顫振導數(shù)。通過積分運算得到扭轉顫振自激力做功時程，如式(21)所示:

(21)

豎彎顫振自激力做功時程，如式(22)所示:

(22)

(23)

豎彎顫振自激力無功時程，如式(24)所示:

(24)

由于豎彎和扭轉模態(tài)的位移和速度近似正交，式中系統(tǒng)阻尼力的無功為零。式(23、24)表明顫振自激力的無功時程等于剛度恢復力的無功時程之差。

3.2 加權最小二乘法識別顫振導數(shù)

本節(jié)以扭轉模態(tài)為例具體說明顫振導數(shù)的識別過程。由式(13)、式(15)并結合式(21)、式(23)可得到顫振微分方程兩邊同時積分后的功能方程，如式(25)所示:

(25)

將上式寫為矩陣形式:

(26)

其中

Wα,c=

(27)

(28)

Wm,c=

(29)

Wm,k=

(30)

(31)

其中n為顫振過程的采樣點數(shù)，Wα,c和Wα,k表示通過振動響應計算得到的扭轉自激力的做功矩陣和無功矩陣，Wm,c和Wm,k為扭轉自激力各效應項瞬時的做功矩陣和無功矩陣，Aα,c為氣動阻尼效應項矩陣，Aα,k為氣動剛度效應項矩陣。

在式(26)中，顫振導數(shù)估計的誤差分別為:

(32)

誤差函數(shù)可采用如下加權形式：

(33)

(34)

由此可得顫振導數(shù)的最小二乘估計：

(35)

通過上述建立的基于自激力瞬時做功的顫振導數(shù)識別方法求得理想平板與扭轉振動有關的顫振導數(shù)如圖4所示。通過對比發(fā)現(xiàn)，本文解與理論解吻合良好，證明了上述顫振導數(shù)識別方法的可靠性。

圖4 理想平板氣動導數(shù)Fig.4 Aerodynamic derivatives of ideal plate

4 結 論

(3) 以理想平板為例，將基于瞬時做功的顫振導數(shù)識別方法的結果與顫振導數(shù)理論解對比發(fā)現(xiàn)，該方法所識別的顫振導數(shù)具有較好的可靠性，可以考慮將該方法應用到二維節(jié)段模型自由振動試驗的顫振導數(shù)識別中。