幾何直觀：助推學(xué)生的數(shù)學(xué)理解

韓葉

摘 ?要：幾何直觀，能讓抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡約化，從而能有助于學(xué)生快速、精準(zhǔn)地解決問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運用幾何圖形，讓學(xué)生感知、操作、思考。通過幾何直觀，化解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);幾何直觀;數(shù)學(xué)理解

幾何直觀是一種意識，也是一種能力，更是學(xué)生的一種思維方式。在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中運用幾何直觀，其根本目的是為了促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。幾何直觀，不僅能表征概念、數(shù)量關(guān)系，而且能有效地表征問題。通過幾何直觀，能讓抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡約化，從而能有助于學(xué)生快速、精準(zhǔn)地解決問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分運用幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生用圖想事、借圖促思、據(jù)圖說理。通過“幾何直觀”，能讓學(xué)生消除誤解，達(dá)成視界融合。當(dāng)然，這個過程不是一蹴而就的，而是一個波動、反復(fù)、非線性、分水平的動態(tài)建構(gòu)過程。

一、幾何直觀：在感知中促進(jìn)學(xué)生直觀理解

數(shù)學(xué)家克萊因深刻地指出：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握?！卑l(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，首先就是要讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象進(jìn)行直觀感知。有些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象，其信息往往比較隱含，學(xué)生難以察覺。為此，教師就要引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，將學(xué)習(xí)對象中的隱含信息、隱性信息敞亮、顯露出來，從而讓學(xué)生可視化。只有從幾何直觀的視角去引導(dǎo)學(xué)生深度觀察，才能讓學(xué)生理解學(xué)習(xí)對象蘊含的幾何意義，從而深刻地把握學(xué)習(xí)對象的本質(zhì)。

阿提雅說過，“幾何直觀是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)最有效的渠道”。教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”（小學(xué)數(shù)學(xué)教材蘇教版第5冊），筆者充分借助幾何圖形如長方形、正方形、圓形等，引導(dǎo)學(xué)生涂色、對折，用不同的方式表示“”。在學(xué)生通過“涂一涂”“折一折”等方法操作后，筆者引導(dǎo)學(xué)生深度觀察：這些圖形的形狀相同嗎？大小相同嗎？為什么形狀、大小各不相同，但都能表示“”呢？如此，學(xué)生在幾何直觀中能舍棄觀察對象的非本質(zhì)屬性，提煉出觀察對象的本質(zhì)屬性，即“盡管這些圖形的形狀、大小各不相同，但都是將整個圖形平均分成2份，表示其中的1份”。通過深度觀察，學(xué)生感悟到，分?jǐn)?shù)只與對象的平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)。在此基礎(chǔ)上，筆者反其道而行之，讓學(xué)生用自己喜歡的方式表示分?jǐn)?shù)“”。于是，有學(xué)生將一個長方形平均分成四份，然后涂上顏色;有學(xué)生將一個圓形對折后再對折，然后涂色表示其中的一份，等等。通過對圖形的直觀感知，學(xué)生能認(rèn)識到分?jǐn)?shù)的“平均分”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

“直觀與推理是‘圖形與幾何學(xué)習(xí)中的兩個重要方面”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，合理利用幾何直觀，能促進(jìn)學(xué)生的直觀理解。憑借幾何直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)觀察，能讓學(xué)生認(rèn)識到抽象概念的本質(zhì)。正如法國著名數(shù)學(xué)家笛卡爾所說：“沒有圖形就沒有思考?！币舱缌硪晃粩?shù)學(xué)家斯蒂恩所說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”運用直觀引導(dǎo)學(xué)生觀察，不僅能讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，而且有助于提升學(xué)生的幾何直觀能力。

二、幾何直觀：在操作中豐富學(xué)生直觀體驗

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》新增加的三個核心詞之一?！皫缀沃庇^”不僅是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，更是學(xué)生擁有的一種重要素養(yǎng)。所謂“幾何直觀”，是指“運用圖形描述和分析問題，從而讓學(xué)生具體、直觀地理解數(shù)學(xué)”。借助“幾何直觀”，不僅能生動地表征概念，而且能有效地揭示算理，清晰數(shù)量之間的關(guān)系，等等。瑞士著名教育心理學(xué)家皮亞杰曾經(jīng)說過，“兒童的智慧自動作發(fā)端”。運用幾何直觀，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀操作，因為只有在操作中，才能豐富學(xué)生的直觀感受、體驗。為此，教師要給學(xué)生實踐、實驗等的體驗時空，讓學(xué)生描畫、拼擺、測量。在這個過程中，自然能促成學(xué)生穩(wěn)固表象的形成，為學(xué)生形成高層次的幾何直觀水平奠定堅實基礎(chǔ)。

比如教學(xué)“倍數(shù)和因數(shù)”（小學(xué)數(shù)學(xué)教材蘇教版第10冊），教師就可以引導(dǎo)學(xué)生運用幾何直觀操作，助推概念的理解。因為，“因數(shù)和倍數(shù)”屬于抽象的數(shù)學(xué)概念，具有十分豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和外延。如果教師在教學(xué)中只是簡單地讓學(xué)生用列舉策略去找尋一個數(shù)的倍數(shù)、因數(shù)，那么學(xué)生就不能理解倍數(shù)、因數(shù)的實際意義。事實上，抽象地談?wù)撘粋€數(shù)的因數(shù)、倍數(shù)是沒有意義的，倍數(shù)和因數(shù)只有在情境中才能彰顯出其存在的必要性。為此，筆者在教學(xué)中出示了兩種規(guī)格不同的長方形，其一是邊長為6厘米的正方形，其二是邊長為8厘米的正方形。然后讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備的長3厘米、寬2厘米的長方形紙去鋪。在直觀操作中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)用長方形紙能密鋪邊長為6厘米的正方形，卻不能密鋪邊長為8厘米的正方形，原因就在于用長方形的長邊不能密鋪。學(xué)生通過直觀操作，就能認(rèn)識到，2和3是6的因數(shù)、6是2和3的倍數(shù)的幾何意義。這樣的教學(xué)，深化了學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解。

由于小學(xué)生的思維以形象、直觀為主，因而他們對數(shù)學(xué)抽象概念的理解往往存在著困難，并且容易停留在記憶的層面。借助幾何直觀，讓學(xué)生動手做、動手畫，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)概念與圖形之間的密切關(guān)聯(lián)，就能讓學(xué)生獲得直觀的感受。當(dāng)學(xué)生通過幾何直觀建立因數(shù)、倍數(shù)的操作表象后，遇到相應(yīng)的因數(shù)、倍數(shù)數(shù)學(xué)問題時，總能借助操作表象進(jìn)行分析、思考，從而有效地解決問題。

三、幾何直觀，在思考中促進(jìn)學(xué)生直觀洞察

如果說，直觀感知是較低層次的幾何直觀，主要是借助感知、操作等認(rèn)識直觀載體的表面意義，那么，直觀洞察就是一種深刻的數(shù)學(xué)直覺，這種數(shù)學(xué)直覺往往能在一瞥之下窺見數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的深層意義。直觀感知主要借助觀察，而直觀洞察則要借助學(xué)生的思考，在思考中進(jìn)行比較、溝通、聯(lián)想。用現(xiàn)象學(xué)大師胡塞爾的話語來表達(dá)，直觀洞察就是一種本質(zhì)直觀。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生比較促思、聯(lián)想促思、溝通促思。

幾何直觀不僅可以運用于數(shù)學(xué)的“圖形與幾何”領(lǐng)域，而且可以運用于數(shù)學(xué)的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，“形缺數(shù)時難入微，數(shù)缺形時少直觀”。借助于幾何直觀，不僅可以讓抽象的“代數(shù)問題”變得直觀，而且可以讓抽象的代數(shù)算法、代數(shù)算理得到生動的詮釋、展現(xiàn)。比如教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”（小學(xué)數(shù)學(xué)教材蘇教版第11冊），為了促進(jìn)學(xué)生理解算理，教師就必須引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀，針對例題“的是幾分之幾”“的是幾分之幾？”教師可以先讓學(xué)生畫出一個長方形表示單位“1”，然后引導(dǎo)學(xué)生表示出“”，再表示出“的”，學(xué)生就能通過雙重陰影，直觀洞察到“的是”。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生從“圖導(dǎo)”走向“圖構(gòu)”，讓學(xué)生運用幾何直觀，分別表示“的是幾分之幾？”“的是幾分之幾？”“的是幾分之幾？”等等。在類似的比較中，學(xué)生能直觀洞察到，“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”為什么用分母相乘的積作分母，用分子相乘的積作分子。有學(xué)生借助幾何直觀，理解了“分母與分母相乘的積就是長方形一共被平均分的份數(shù)”，而“分子與分子相乘的積就是長方形中重復(fù)涂色的部分”。以形悟理，促進(jìn)了學(xué)生對算理意義的深度理解。

直觀洞察是發(fā)展學(xué)生幾何直觀認(rèn)知、幾何直觀能力的關(guān)鍵。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生善于從幾何直觀的視角去探尋數(shù)學(xué)概念、算理。只有從幾何直觀的視角去考量數(shù)學(xué)問題，才能啟動學(xué)生的直觀思維。正如德國著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在其著作《直觀幾何》中認(rèn)為的那樣，“圖形既可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題，又可以幫助我們尋求解決問題的思路，還可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！?/p>

蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫說過，“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化”。幾何直觀的數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中無時不在、無處不在。作為教師，要充分發(fā)揮幾何直觀的優(yōu)勢，找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識與幾何直觀的鏈接點，幫助學(xué)生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁。學(xué)生的“幾何直觀”能力培養(yǎng)過程是一個潛移默化、逐漸滲透的過程。發(fā)展學(xué)生幾何直觀，能開發(fā)學(xué)生的左右腦，讓學(xué)生的直覺思維、形象思維與邏輯思維協(xié)同運作。借助幾何直觀，化解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。