二次函數(shù)復習教學三重境之探

馬萍萍

[摘 ?要] 在中學數(shù)學的復習備考教學中需要兼顧知識強化與思想提升，引導學生從知識聯(lián)系點出發(fā)來構建知識體系，同時掌握解題的思想方法，文章以二次函數(shù)內(nèi)容復習為例，探索復習教學的三重境.

[關鍵詞] 二次函數(shù);復習;教學;基礎;綜合;思想

問題分析

二次函數(shù)一直都是初中數(shù)學教學的重難點，從中考試題來看，二次函數(shù)占有較大的分值，相比其他章節(jié)，問題分析和過程計算難度都更高，學生得分率較低;而從教學內(nèi)容來看，二次函數(shù)的性質(zhì)和圖像考查較為集中，題型變化多樣，學生在分析時很容易陷入誤區(qū). 因此在實際教學中需要教師結合二次函數(shù)的核心內(nèi)容來逐步引導，筆者認為促進學生知識與能力的雙重提升應是二次函數(shù)復習教學的核心目標，需要從三個層面來進行復習指導，下面通過現(xiàn)實案例對其逐個探析.

境界之思

二次函數(shù)復習教學的核心目標應是課堂教學設計的落腳點，在復習中需要分三個階段來進行教學指導. 首先要引導學生掌握二次函數(shù)的基礎知識，掌握求解問題的基本方法;其次開展知識融合，構建完整的知識體系，掌握綜合題的突破思路;最后上升到思想層面，深刻理解思想方法在解題突破中的重要意義. 上述就是二次函數(shù)復習教學的三重境：基礎入手，知識整合，思想滲透. 采用引導遞進的教學方式，引領學生從“基礎鞏固”過渡到“靈活變通”，最后上升到“思想提升”.

境界第一層：基礎入手，掌握定義性質(zhì)

二次函數(shù)復習教學中依然需要從基本的概念定義、定理性質(zhì)入手來開展，鞏固學生的基礎知識，包括二次函數(shù)的概念、結構特征，方程的求法、特征方程與函數(shù)圖像之間的對照關系、圖像平移與方程變化等.

例1 ?（2019年湖南益陽市中考卷）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1所示，下列結論：①ac<0，②b-2a<0，③b2-4ac<0，④a-b+c<0，其中正確的是（ ? ? ?）

A. ①② ? ? ? ? ?B. ①④

C. ②③ ? ? ? ? ?D. ②④

解析 ?教材中對于二次函數(shù)的解析式與圖像進行了深入講解，因此使學生充分掌握兩者的對照關系是復習教學的重點. 結合圖像分析解析式參數(shù)的關系一般需要從三點入手：一是關注圖像的開口方向;二是判斷二次函數(shù)所對應方程的判別式的符號;三是根據(jù)圖像的交點、對稱軸提煉關系.

本題目中圖像的開口向下，顯然a<0. 與x軸有兩個不同的交點，Δ=b2-4ac<0. 圖像與y軸的交點在x軸的上方，顯然c>0，對稱軸- <-1，且當x=-1時y>0，則a-b+c>0.

綜上，a<0，c>0，則ac<0，①正確;由對稱軸關系可得b-2a<0，則b-2a<0，②正確;根據(jù)判別式符號可直接確定③錯誤;根據(jù)頂點坐標可知a-b+c>0，故④錯誤. 所以選A.

說明：從問題分析過程來看，教學中需要提升學生提取圖像信息的能力以及二次函數(shù)解析式的解讀能力，這是在基礎鞏固階段最為重要的內(nèi)容. 考慮到解析式與圖像的對應內(nèi)容較為豐富，在教學中可以采用草圖繪制的方式，即給出某一二次函數(shù)的解析式，讓學生在直角坐標系中繪制圖像的大致形狀和大概位置，從而增強學生的識圖、解式能力.

例2 ?（2019年浙江溫州市中考卷）已知二次函數(shù)y=x2-4x+2，關于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍，下列說法正確的是（ ? ? ?）

A. 有最大值-1，有最小值-2

B. 有最大值0，有最小值-1

C. 有最大值7，有最小值-1

D. 有最大值7，有最小值-2

解析 ?教材在講解二次函數(shù)圖像時對其單調(diào)性時進行了深入的論述，并從取值范圍角度進行了探索. 在復習該內(nèi)容時需要引導學生多角度加以分析，例如不等式、最值等. 本題分析在特定區(qū)間上的取值情形，需要分兩步進行：第一步明確二次函數(shù)的單調(diào)性，第二步代入?yún)^(qū)間，結合圖像頂點加以判斷.

對二次函數(shù)進行變形，可得y=（x-2）2-2，則其單調(diào)性為：當x≤2時，y隨x單調(diào)遞減，當x≥2時，y隨x單調(diào)遞增;故當x=2時，y取得最小值-2. 所以在-1≤x≤3內(nèi)，函數(shù)值y有最小值-2，當x=-1時，有最大值7，選項D正確.

說明：本題目是對二次函數(shù)單調(diào)性的應用，學習難點是無法將單調(diào)性與最值聯(lián)系在一起，這并不是學生的基礎知識不夠扎實，而是沒有培養(yǎng)學生從多角度來看待該知識點. 教學中不僅應結合函數(shù)的圖像來回顧二次函數(shù)的單調(diào)性，還應從取值角度來對其加以解讀.

境界第二層：知識整合，理解知識聯(lián)系

二次函數(shù)復習教學的第二層是對知識的整合，這里指的是引導學生從全局把控教材內(nèi)容，將二次函數(shù)與教材的核心知識進行整合，包括其他函數(shù)曲線，同時涉及不等式、方程、幾何圖形等知識內(nèi)容. 學生對知識聯(lián)系點一般把握不到位，此時就需要教師采用章節(jié)規(guī)劃、專題講解、框圖繪制、典例講評的方式幫助學生融合.

例3 ?如圖2所示，拋物線的解析式為y=ax2+bx，其經(jīng)過點B（1，-3），對稱軸為x=2，且拋物線與x軸的正半軸相交于點A，試回答下列問題.

（1）求拋物線的解析式;

（2）根據(jù)圖像直接寫出不等式ax2+bx≤0的解;

（3）若在平面坐標系的第二象限內(nèi)的拋物線上恰好有一點P，使得PA⊥AB，試求△PAB的面積.

解析 ?平面幾何、不等式、二次函數(shù)均是初中數(shù)學的重點內(nèi)容，在復習教學中需要對其進行知識整合，依托圖像串聯(lián)解析式與不等式、幾何圖形與二次函數(shù)知識，引導學生結合圖像來轉(zhuǎn)化問題，利用函數(shù)性質(zhì)、不等式性質(zhì)和幾何性質(zhì)來加以突破.

本題目給出了拋物線的圖像，結合點B坐標和對稱軸很容易就可以確定拋物線的解析式：y=x2-4x. 則不等式就為x2-4x≤0，解該不等式可以直接利用不等式的運算法則，但根據(jù)圖像也可以直接寫出解，實際上就是指拋物線位于直線y=0上及其下方的x的取值范圍，顯然就是0≤x≤4這一段，因此不等式ax2+bx≤0的解就為0≤x≤4.

對于第（3）問則是三角形與拋物線的綜合，根據(jù)拋物線的解析式可求得點A（4，0），已知點B（1，-3），則AB=3 . 分別過點B和點P作x軸的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)，如圖3. 由于BE=AE=3，則∠EAB=∠EBA=45°，結合PA⊥AB可得PF=AF. 設P（x，x2-4x），則PF=x2-4x，AF=4-x，由此解得x=-1或x=4（舍去），所以點P的坐標為（-1，5）. 根據(jù)點P和點A的坐標可求得AP=5 ，所以△PAB的面積為S= AB·AP=15.

說明：本題目是一道以拋物線為背景的綜合題，主要考查二次函數(shù)、不等式、平面幾何等知識的綜合. 第一個知識點是利用二次函數(shù)的圖像來求解不等式，第二個知識點是結合拋物線與三角形的位置關系及函數(shù)解析式來求解三角形的面積. 兩大知識聯(lián)系點是復習階段需要學生重點關注的，教學中需要教師結合圖像來直觀呈現(xiàn)解題思路，利用相應的模型來轉(zhuǎn)化求解.

境界第三層：思想滲透，重視數(shù)形結合思想

二次函數(shù)問題中常涉及代數(shù)運算與圖像分析，實際上是數(shù)形結合思想在解析中的應用體現(xiàn). 學生在解綜合題時很容易失去解題方向，而結合圖像分析則可以挖掘問題中的隱含信息，采用合理的方法技巧來簡化運算過程，優(yōu)化解題. 這是因為數(shù)形結合法既具有量化分析的優(yōu)點，又具有直觀呈現(xiàn)問題的優(yōu)勢，因此在教學中需要合理滲透數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生的解題思維.

例4 ?已知拋物線y=x2-2x-3與x軸相交于點A和B，與y軸相交于點C，點D是拋物線的頂點，連接BC，點P是直線BC上的一個動點，分析是否存在使△PAD為等腰三角形的情形，若存在請求點P的坐標.

解析 ?本題目是關于二次函數(shù)的動點問題，使用數(shù)形結合策略 “化動為靜”最為簡便. 使用“兩圓一線”的方法來大致確定點P的位置及個數(shù)，直線BC與兩圓有五個交點，則應有五個解. 下面采用數(shù)形結合確定坐標.

根據(jù)題干信息可得點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），則直線BC：y=x-3. 設點P（x，x-3），可得AD2=20，分以下三種情形加以討論.

①PA=AD，則（x+1）2+（x-3）2=20，求解可確定點P的坐標為（1+ ， -2），（1- ，-2- ）;

②PD=AD，同理可推得點P坐標（3，0），（-3，-6）;

③PA=PD，可推得點P坐標（2，-1）.

綜上滿足條件的點P有五個，坐標為（1+ ， -2），（1- ，-2- ），（3，0），（-3，-6），（2，-1）.

說明：本題中采用“兩圓一線”的方法確立點P的位置及個數(shù)，具體求解時聯(lián)系點坐標來表示線段長，根據(jù)不同的情況進行分類討論，建立相應的方程，這個過程是典型的數(shù)形結合過程. 數(shù)形轉(zhuǎn)化的過程中實現(xiàn)了問題的簡化，確保了答案的準確.

寫在最后

復習備考階段需強化學生對二次函數(shù)的理解，提升解決綜合問題的能力，上述三重境是從核心知識強化、數(shù)學素養(yǎng)培養(yǎng)層面提煉的，有助于學生融合章節(jié)知識，提升解題思維. 當然在教學中需要根據(jù)學情來靈活施教，循序漸進逐步引導. 考慮到教學效果還與學生的理解能力有關，在教學中可根據(jù)學生的吸收情況針對性地設計環(huán)節(jié)，使學生經(jīng)歷知識探究的過程.