輔助線在初中幾何解題中的應(yīng)用與技巧

劉亞萍

摘要：初中幾何數(shù)學(xué)問題更多的考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖形的分析能力，老師在教學(xué)的過程中不能以教學(xué)生會(huì)解題為目的，要更加注重對(duì)學(xué)生分析圖形能力的培養(yǎng)，在幾何數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用輔助線的方法就是一種分析結(jié)合問題的過程，巧妙的建立一條正確的輔助線能夠讓幾何問題的難度大大降低，幫助學(xué)生理清做題的邏輯思維，使初中幾何數(shù)學(xué)問題更容易的解決。本文從輔助線添加原則、輔助線在主要題型中的應(yīng)用對(duì)其解題技巧進(jìn)行分析。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);幾何;輔助線

一、 引言

初中數(shù)學(xué)幾何問題在教學(xué)中占據(jù)著十分重要的地位，但是許多學(xué)生對(duì)幾何數(shù)學(xué)問題常抱著逃避心理，認(rèn)為初中數(shù)學(xué)幾何問題很難，一面對(duì)初中幾何問題就會(huì)下意識(shí)地產(chǎn)生抵觸心理。其實(shí)幾何數(shù)學(xué)問題只是一只紙老虎，解決這類數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵就在于能否畫出正確的輔助線，構(gòu)建相應(yīng)的輔助圖形，找到問題的突破口，一旦對(duì)圖形作出正確的輔助線便很容易將幾何數(shù)學(xué)問題解決。

二、 輔助線的添加原則和注意事項(xiàng)

為幾何圖形添加輔助線的方法有成百上千種，但能夠產(chǎn)生作用的輔助線只有幾條，在初中數(shù)學(xué)幾何圖形中對(duì)輔助線的作圖與運(yùn)用也有一定技巧，學(xué)生需要通過加強(qiáng)對(duì)集合數(shù)學(xué)問題的訓(xùn)練，不斷加強(qiáng)對(duì)解決幾何數(shù)學(xué)問題的規(guī)律、方法和技巧的掌握。

（一）分析題目隱含條件信息

在解答初中幾何數(shù)學(xué)題目的過程中，幾乎每道題目中都蘊(yùn)含著隱含條件，并且，這樣的隱含條件也將成為順利解題的關(guān)鍵。在初中幾何數(shù)學(xué)問題中所給出的數(shù)學(xué)條件與需證明的結(jié)論之間的邏輯關(guān)系往往不會(huì)很明確，一般需要通過添加輔助線的方式來構(gòu)建鏈接條件與結(jié)論之間的“橋梁”，為幾何圖形問題提供解題思路。做輔助線不能像無頭蒼蠅一般想怎樣就怎樣做圖，如何做出更有價(jià)值的輔助線要依靠學(xué)生對(duì)題目的分析理解能力，老師在教學(xué)過程中要不斷培養(yǎng)學(xué)生對(duì)題目隱含信息的敏感度。如題：“如圖所示，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD?！痹谶@道題中，題目所給條件沒有一個(gè)是關(guān)于邊的信息，如何構(gòu)建輔助線將角關(guān)系轉(zhuǎn)化成邊關(guān)系，關(guān)鍵在于分析幾何問題題目，找到隱含信息。利用題中角平分線信息通過構(gòu)造全等三角形的方法找到BC與AB、CD的關(guān)系，在線段上找到一點(diǎn)E，使BF=AB，只需證明CF=DC即可，即證明△ECF≌△ECD，由于AB∥CD，則∠A+∠D=180°，∠A=∠BFE，∠BFE+∠EFC=180°，因此∠D=∠EFC，即可證明CF=DC。

（二）充分發(fā)揮特殊點(diǎn)、線的作用

在初中幾何數(shù)學(xué)題中的特殊點(diǎn)及線的位置往往是解決幾何問題的突破口，在解題時(shí)學(xué)生要注意對(duì)線段中點(diǎn)、角的平分線、三角形的中線以及高等的把握，對(duì)特殊點(diǎn)和線段的性質(zhì)要熟練掌握與運(yùn)用。在解決幾何問題時(shí)先從特殊點(diǎn)位置對(duì)圖形刻畫輔助線入手，不僅有利于學(xué)生面對(duì)復(fù)雜圖形問題能建立起邏輯關(guān)系，進(jìn)行條理化分析，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的，通過這樣的解題方式能夠有效的解決以往學(xué)生在解答習(xí)題時(shí)解題難、沒有解題思路的問題，進(jìn)一步減少學(xué)生對(duì)初中幾何數(shù)學(xué)問題的畏難心理，同時(shí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、總結(jié)規(guī)律的能力，有利于加深學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)。

三、 輔助線在初中數(shù)學(xué)幾何問題中的應(yīng)用分析

輔助線在初中數(shù)學(xué)幾何問題中按類型可以劃分為延長(zhǎng)型、平移型、分隔型輔助線等，在不同類型的幾何問題中輔助線的運(yùn)用也大不相同，本文針對(duì)如何在三角形、四邊形以及圓形幾何問題中運(yùn)用輔助線進(jìn)行了分析。

（一）輔助線在三角形中的運(yùn)用

通過近幾年對(duì)初中數(shù)學(xué)幾何問題的教學(xué)，筆者總結(jié)出了一些針對(duì)三角幾何問題的經(jīng)驗(yàn)：第一點(diǎn)，當(dāng)題目中提供角平分線的信息時(shí)，可以向角平分線的兩邊做垂線，找到全等或相似三角形，讓題目的隱含條件和信息顯示出來。第二點(diǎn)，當(dāng)題目中所給信息為一個(gè)角平分線和一條平行線時(shí)，可以得到兩個(gè)全等的等腰三角形，此時(shí)對(duì)角平分線做垂線、輔助線或?qū)Φ妊切巫鋈€合一的輔助線往往能找到問題的突破口。第三點(diǎn)，當(dāng)三角形中出現(xiàn)線段垂直平分線時(shí)，可以嘗試將線段兩端相連找到角與線段的關(guān)系，當(dāng)題目讓求證一條線段長(zhǎng)度等于另外兩條線段長(zhǎng)度之和時(shí)，可以采用延長(zhǎng)或縮短線段長(zhǎng)度的辦法。第四點(diǎn)，當(dāng)題目要求證線段和差不相等的問題時(shí)，同學(xué)們可以朝著在三角形中兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊的方向進(jìn)行思考和論證，并盡量將三個(gè)線段放進(jìn)一個(gè)三角形中進(jìn)行論證。比如，以第四點(diǎn)為例進(jìn)行分析，“如圖所示，已知：D、E為三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)點(diǎn)，求證：AB+AC>BD+DE+CE”通過閱讀題目可以發(fā)現(xiàn)，該題屬于求證三角形線段和差不相等類問題，因此我們可以作輔助線連接DC，使四邊形BDEC轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形BDC和三角形DEC，通過定理：在三角形中兩邊之和小于第三邊，可以得到隱含信息：DE+ECBD+DE+CE得證。

（二）輔助線在四邊形中的應(yīng)用

對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的任何問題我們都可以找到或創(chuàng)造出對(duì)應(yīng)的解題模型，對(duì)于初中數(shù)學(xué)平行四邊形幾何問題的解決也是如此，用心解題就能總結(jié)出相應(yīng)的解題方法和技巧：第一點(diǎn)，當(dāng)題目中出現(xiàn)平行四邊形時(shí)，可以從找到平行四邊形旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心入手解決問題，其旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心就是平行四邊形的對(duì)角線等分點(diǎn)，方便找到隱含的線段相等信息。第二點(diǎn)，當(dāng)題目中出現(xiàn)梯形幾何問題時(shí)，要注重對(duì)圖形轉(zhuǎn)換技巧的把握，可以通過作梯形腰的平行線的方法，將題型轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，進(jìn)一步分析角和線段之間的關(guān)系。第三點(diǎn)，如果題目中提供的圖形是腰上的中點(diǎn)時(shí)，可以嘗試連接兩中線構(gòu)建平行于圖形上底或下底的輔助線。第四點(diǎn)，充分利用圖形比例式子代換，利用等積等式進(jìn)行等量代換。比如，以第一點(diǎn)為例進(jìn)行分析，“如圖所示，AD為三角形ABC的中線，BE交AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，且AE=EF，求證：BF=AC”，可以通過平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)構(gòu)造平行四邊形ABGC，將求證BF=AC轉(zhuǎn)化成求證同一三角形內(nèi)BF=BG，構(gòu)造出兩個(gè)等腰相似三角形（三角形AEF與三角形BFG）。

（三）輔助線在圓形中的應(yīng)用

第一點(diǎn)，當(dāng)遇到求證有關(guān)圓的弦的幾何問題時(shí)，可以通過作弦心距的輔助線或者作垂直弦半徑的輔助線找到題目隱含關(guān)系。第二點(diǎn)，當(dāng)遇到計(jì)算切線長(zhǎng)度或圓的半徑長(zhǎng)度的幾何問題時(shí)，可以作經(jīng)過圓心垂直于切線的輔助線，通過半徑和設(shè)未知數(shù)的方法利用勾股定理計(jì)算二分之一切線的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到切線長(zhǎng)度。第三點(diǎn)，當(dāng)遇見三角形內(nèi)切圓的相關(guān)幾何問題時(shí)，可以利用三角形內(nèi)切圓的那些性質(zhì)作出內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)或垂線的輔助線，得到三角形的三個(gè)角平分線以及三條線段相等的關(guān)系。第四點(diǎn)，當(dāng)遇到三角形外接圓的相關(guān)幾何問題時(shí)，可以利用三角形外接圓的外心性質(zhì)作出連接外形到三角形各頂點(diǎn)的輔助線，得到三條相等線段，進(jìn)一步分析圓和三角形的關(guān)系。以第二點(diǎn)為例進(jìn)行分析，“如圖所示，AB為圓O的弦，點(diǎn)P為弦AB上的一點(diǎn)，其中AB=10cm，AP=4cm，OP=5cm，求圓O的半徑?！?，作過圓心O垂直于AB的輔助線OC，與AB的交點(diǎn)為C，并連接OA，設(shè)圓O的半徑長(zhǎng)度為rcm，根據(jù)勾股定理得到關(guān)系式，解出答案。

（四）輔助線在特殊四邊形中的應(yīng)用

在初中階段的幾何解題當(dāng)中特殊四邊形也是非常常見的一類題型，并且這類題型也有著一定的解題困難，但是運(yùn)用了輔助線之后便可以有效的簡(jiǎn)化整個(gè)解題過程，促使解題的效率能夠進(jìn)行相應(yīng)的提升。在解答關(guān)于特殊四邊形的幾何題目當(dāng)中，可以利用好它們的對(duì)角線來進(jìn)行解題。如下圖，ABCD的對(duì)角線BD朝著兩個(gè)方向進(jìn)行延長(zhǎng)，分別延長(zhǎng)至點(diǎn)E和點(diǎn)F，并且BE=DF。求證：AECF為平行四邊形。

已知平行四邊形的判定原理為：對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形。因此，根據(jù)定理可以連接AC，并且做出如下證明：

證明：在AECF內(nèi)連接AC，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD。

又BE=DF，

∴OB+BE=OD+DF，

即：OF=OE，且OA=OC。

因此，可以證明AECF為平行四邊形。

在添加輔助線之后解題過程也變得簡(jiǎn)潔起來，使得原本不是十分清晰的解題思路變得簡(jiǎn)單明了，這也更加符合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，促使學(xué)生的解題效率也能得到逐步的提升。通過這樣的解題方式也能最大限度地避免學(xué)生出現(xiàn)解題難、缺乏解題思路的問題，使學(xué)生在解答這類題目的過程中解題思路了然于心。

四、 總結(jié)

在初中數(shù)學(xué)幾何課堂教學(xué)中要善于運(yùn)用輔助線的方法解決幾何問題，在教學(xué)過程中老師更要積極引導(dǎo)學(xué)生通過邏輯思考找到正確的輔助線，而不是向?qū)W生講解一道數(shù)學(xué)題，告訴學(xué)生作輔助線的思路和方法，在初中數(shù)學(xué)幾何課堂中讓學(xué)生掌握解題方法和技巧遠(yuǎn)比解出一道題有價(jià)值。學(xué)生需要通過不斷的練習(xí)幾何數(shù)學(xué)問題來熟練掌握幾何解題技巧，同時(shí)，也要善于對(duì)做過的題進(jìn)行總結(jié)，找到靈活多變的題型的解題方法，需要注意的是在作輔助線時(shí)要畫虛線，學(xué)生只要對(duì)幾何數(shù)學(xué)問題多加練習(xí)一定可以輕松地應(yīng)對(duì)各種幾何問題題型。此外，學(xué)生也不能忽略對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的練習(xí)，要熟練記憶并掌握三角形、等腰三角形、圓形、平行四邊形、梯形等幾何圖形的性質(zhì)，在解題時(shí)能熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)。

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