τ-內(nèi)射模的若干性質(zhì)①

李煜彥, 王勝青

(隴南師范高等?？茖W(xué)校,甘肅 隴南 742500)

定義1[1]設(shè)E,M是模.稱E是M-內(nèi)射模,如果對任意LM以及任意同態(tài)映射f:L→E,存在同態(tài)映射h:M→E,使下圖可交換:

引理1[2]設(shè)M是模,K,NM,則以下結(jié)論成立:

(1)Nτ-eM當(dāng)且僅當(dāng)N∈Dτ(M),且對任意0≠m∈M,N∩Rm≠0;

(2)若KN,則Kτ-eM當(dāng)且僅當(dāng)Kτ-eN且Nτ-eM;

(3)若Nτ-eM,則N∩Kτ-eK;

(4)若Nτ-eM,Kτ-eM,則N∩Kτ-eM;

(5)若K則Nτ-eM;

(6)若Nτ-eM,則對任意m∈M,(N:m)={r∈R|rm∈N}τ-eR;

(7)對任意模族{Mi|i∈I},若Niτ-eMi(i∈I),則⊕INiτ-e⊕IMi.

定義2設(shè)E,M是模.稱E是τ-M內(nèi)射模,如果對任意Lτ-dM以及任意同態(tài)映射f:L→E,存在同態(tài)映射h:M→E,使下圖可交換:

顯然,若E是M內(nèi)射的,則E是τ-M內(nèi)射的.

稱E是τ-內(nèi)射模,如果對任意模M,E是τ-M內(nèi)射模. 稱E是τ-擬內(nèi)射模,如果E是τ-E內(nèi)射模.稱模族{Mi|i∈I}是相互τ-內(nèi)射的,如果對任意i≠j,Mi是τ-Mj內(nèi)射的.E(M)表示M的內(nèi)射包,Eτ(M)表示M的τ-內(nèi)射包,其中Eτ(M)=∩{K∈Pτ(E(M))|MK}.

由文獻(xiàn)[6]知,Eτ(M)是包含M的最小的τ-內(nèi)射模.Eτ(M)是M的τ-內(nèi)射包當(dāng)且僅當(dāng)Eτ(M)是τ-內(nèi)射的且是M的τ-基本擴(kuò)張.

命題1設(shè)M,N是模,Lτ-dM.若N是τ-M內(nèi)射的,則N是τ-L內(nèi)射和內(nèi)射的.

證明易證N是τ-L內(nèi)射的.

h(x+L)=hπ(x)=g(x)=fπ1(x)=f(x+L)

命題2設(shè)M,N是模.則N是τ-M內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)對任意m∈M,N是τ-mR內(nèi)射的.

證明(?)顯然.

(?) 設(shè)m∈M,N是τ-mR內(nèi)射的,則對任意Lτ-dM,以及任意同態(tài)f:L→N,由Zorn’s引理知,存在極大元(X,g),使得g是f的擴(kuò)張,其中Lτ-dXτ-dM,g:X→N.易知Xτ-eM.假設(shè)X≠M(fèi),m∈M-X,K={r∈R|rm∈X},則K≠0.

g(x)+h′(mr)=g(x)+h(mr)=g(x)+g(mr)=g(x+mr)=0

即(X+mR,g′)符合上述條件,這與(X,g)的極大性矛盾.從而X=M.即N是τ-M內(nèi)射的.

命題3設(shè)N是模,{Mi}i∈I是R-模族,M=⊕i∈IMi.則N是τ-M內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)對任意i∈I,N是τ-Mi內(nèi)射的.

證明(?)由命題1易證.

(?)對任意Xτ-dM,以及任意同態(tài)f:X→N.由Zorn’s引理知,若對任意X′τ-dM,滿足存在j∈I以及m∈Mj,使得m?X,則不能擴(kuò)張到同態(tài)X′→N.

因?yàn)镹是τ-Mi內(nèi)射的(?i∈I),由命題2知,N是τ-mR內(nèi)射的.從而存在g:X+mR→N,使得g是f的擴(kuò)張,這與f的極大性矛盾.從而N是τ-M內(nèi)射的.

命題4設(shè)M,N是模.則N是τ-M內(nèi)射的當(dāng)且僅當(dāng)對任意g∈Hom(Eτ(M),Eτ(N)),g(M)N.

證明(?)對任意Xτ-dM,以及任意同態(tài)f:X→N.因?yàn)镋τ(N)是τ-內(nèi)射的,所以存在同態(tài)g:M→Eτ(N),使得g是f的擴(kuò)張.而由g(M)N知,g:M→N是f的擴(kuò)張,從而N是τ-M內(nèi)射的.

(?)令X={m∈M|g(m)∈N}.因?yàn)镹是τ-M內(nèi)射的,所以存在同態(tài)h:M→N,使得h是g|X的擴(kuò)張,即下圖可換:

其中N→Eτ(N)是單同態(tài).下證N∩(h-g)(M)=0.

設(shè)n∈N,m∈M,使得n=(h-g)(m).則有g(shù)(m)=h(m)-n∈N,故n∈X,從而n=h(m)-g(m)=g(m)-g(m)=0.即N∩(h-g)(M)=0.又因?yàn)镹τEτ(N),所以(h-g)(M)=0.從而g(M)=h(M)N.