基于Mathematica的均勻帶電細(xì)圓環(huán)電場模擬*

高 峰 呂 剛 韓 岳 曹學(xué)成 姜貴君 趙文麗

(山東農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 山東 泰安 271018)

1 引言

均勻帶電細(xì)圓環(huán)是大學(xué)物理電磁學(xué)中一個典型的物理模型．在一般的教材[1]中只計算圓環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度和電勢分布，鮮少討論該帶電體系在全空間中的電場和電勢．因此，學(xué)生很難對該體系在全空間的電場和電勢分布有整體的認(rèn)識．對于這個問題，有人已經(jīng)進(jìn)行了一些研究．文獻(xiàn)[2]和[3]分別在直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系中導(dǎo)出電勢和電場強(qiáng)度的級數(shù)解；文獻(xiàn)[4]使用直接積分的方法分別把電場強(qiáng)度表示為橢圓積分和勒讓德多項式．但這些計算結(jié)果僅僅以數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式給出，學(xué)生很難從公式中把握電場的特點(diǎn)．文獻(xiàn)[5]用數(shù)值積分的方法計算橢圓積分, 求出圓環(huán)平面上的場強(qiáng)與電勢，討論的范圍仍然不夠完整．文獻(xiàn)[6]利用 Matlab數(shù)值計算功能對均勻帶電細(xì)圓環(huán)在空間激發(fā)的電場進(jìn)行了討論，做出了過環(huán)心與圓環(huán)垂直的平面內(nèi)的等勢線和三維空間的等勢面，形象地給出圓環(huán)周圍電場的空間分布．但該文獻(xiàn)討論問題略顯單薄，與課堂教學(xué)結(jié)合仍需拓展．

Mathematica軟件是由沃爾夫勒姆研究公司(Wolfram Research Inc.)研發(fā)的一款數(shù)值計算和可視化軟件，可以解決各種領(lǐng)域復(fù)雜的符號計算和數(shù)值計算的問題，也可以方便地畫出各類圖形，從而形象地表示出函數(shù)的某些特性，是目前為止使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一．本文利用這一款計算軟件對均勻帶電細(xì)圓環(huán)在空間激發(fā)的電場進(jìn)行了計算，實(shí)現(xiàn)了電場和電勢的可視化，形象展示了該體系靜電場的空間分布，為學(xué)生全面掌握這一模型提供了極大的幫助．

2 理論模型與處理

如圖1所示，半徑為a的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，帶電荷量為q，以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，x軸與y軸在圓環(huán)面上，z軸與環(huán)面垂直．假設(shè)在空間中取一場點(diǎn)P(x,y,z)，則應(yīng)用點(diǎn)電荷的電勢計算公式，在帶電細(xì)圓環(huán)上取線元dl，dl所在半徑與x軸的夾角為θ，帶電荷量為

則該電荷元在P點(diǎn)的電勢

dU(x,y,z)=

則整個帶電細(xì)圓環(huán)在P點(diǎn)的電勢

其中

ε0=8.85×10-12C·N-1·m-2

為真空電容率，為了便于計算，我們?nèi)?/p>

q=2π×4πε0a=1 m

則上式化簡為

根據(jù)電場強(qiáng)度和電勢之間的關(guān)系E=-U，可以得到空間的電場強(qiáng)度分布．

圖1 均勻帶電細(xì)圓環(huán)

上述理論處理過程并不難理解，但是關(guān)鍵的問題是電勢的積分無法用初等函數(shù)表示，對電勢求梯度更是一項復(fù)雜的工作．如果將上述復(fù)雜的積分計算工作交給Mathematica處理，問題就變得簡單多了．

3 電場強(qiáng)度和電勢的計算及可視化

3.1 與xOy平面平行的平面內(nèi)的電場分布

在圓環(huán)平面(即xOy平面)，有z=0，坐標(biāo)選擇的范圍為-3a≤x≤3a，-3a≤y≤3a．使用Mathematica的ContourPlot 命令繪制等勢線圖，如圖(2a)所示．其中，等勢線數(shù)值參數(shù)Contours取30，顏色參數(shù)ColorFunction取Hue[#]&，顯示等勢線數(shù)值即ContourLabels -> All．從圖中可以看出電勢的分布是內(nèi)密外疏的軸對稱分布，范圍是1.85 V≤U≤9.62 V．在帶電細(xì)圓環(huán)的外部區(qū)域和內(nèi)部區(qū)域，越靠近圓環(huán)電勢越大．值得注意的是，圖中數(shù)據(jù)表明當(dāng)電勢較高時(6.29 V≤U≤9.62 V)，等勢線在帶電圓環(huán)內(nèi)外兩側(cè)各有一條，而電勢較小時(U≤6.29 V)，等勢線只有一條，分布在圓環(huán)外側(cè)．使用Plot3D和StreamPlot的命令，分別作出電場強(qiáng)度大小和電場線分布圖，圖2(b)畫出了E≤100 V/m的電場強(qiáng)度，顯然，在圓環(huán)周圍區(qū)域，越靠近帶電細(xì)圓環(huán)，電場強(qiáng)度越大．為了更好地顯示電場線與帶電細(xì)圓環(huán)的對應(yīng)關(guān)系，圖2(c)中使用ParametricPlot命令在電場線圖中加入了帶電細(xì)圓環(huán)．設(shè)圓環(huán)帶正電，則電場線的方向在帶電細(xì)圓環(huán)內(nèi)外是反向的．圖2(d)將電勢分布和電場線分布組合在一起，形成常見的電場分布圖．

圖2 xOy平面內(nèi)的電場分布

以上的討論是圓環(huán)平面內(nèi)的電場和電勢分布，那么在與圓環(huán)平面平行且z≠0的平面內(nèi)的電場分布情況如何？對以上程序略做修改即可看到結(jié)果.圖3是與xOy平面平行且z=2a平面內(nèi)的電場強(qiáng)度和電勢與電場線的分布．從圖3(a)可以看出，在該平面內(nèi)x=0,y=0處的電場強(qiáng)度接近于零，隨著與中心對稱軸線距離的增加，電場先增加后減小，到中軸線的距離接近于a時達(dá)到最大值，電場強(qiáng)度E≤0.6 V/m．圖3(b)中電勢的取值范圍為1.41 V≤U≤2.773 V，相對于xOy平面電勢的外疏內(nèi)密分布，該平面內(nèi)的電勢分布較為均勻．

圖3 與xOy平面平行z=2a平面內(nèi)的電場分布

3.2 與xOy平面垂直的平面內(nèi)的電場分布

上面討論的是與圓環(huán)面平行的平面內(nèi)的電場分布．那么與圓環(huán)面垂直的不同平面內(nèi)的電場分布呢？我們以xOz平面和與該平面平行的y=a的平面為例進(jìn)行討論．在xOz平面內(nèi)的電勢電場分布如圖4所示．

圖4(a)給出的是電勢的分布，從圖中可以看出，等勢線具有明顯的軸對稱性，并且越向外越接近于圓，也就是說，在遠(yuǎn)離帶電圓環(huán)的區(qū)域，電勢的分布類似于將電荷量集中于圓心的點(diǎn)電荷的電勢分布．越靠近帶電細(xì)圓環(huán)，等勢線變密，為類橢圓．在細(xì)圓環(huán)內(nèi)部區(qū)域，等勢線又從類橢圓分裂成兩個凸輪的形狀．電勢的范圍為1.7 V≤U≤7.2 V．圖4(b)和圖4(c)分別為電場強(qiáng)度大小和電場線分布．從圖4(b)可以看出，越靠近帶電細(xì)圓環(huán)，電場強(qiáng)度越大，并且有對稱分布，圖中畫出了E≤30 V/m的電場強(qiáng)度．從圖4(c)可以看出，電場線的分布明顯具有左右對稱性．圖4(d)將電勢分布和電場線分布組合在一起，形成常見的電場分布圖．

圖4 xOz平面內(nèi)的電場分布

在與xOz平面平行且y=a的平面，該平面與帶電細(xì)圓環(huán)相切，位置比較特殊．其電場電勢分布如圖5所示．從圖5(a)可以看出，電場強(qiáng)度已經(jīng)從左右兩個極值轉(zhuǎn)換為單極值．從圖5(b)的電勢和電場線分布可以看出，電勢的分布仍然滿足外圓內(nèi)類橢圓的情況，不同的是，在進(jìn)入帶電圓環(huán)的內(nèi)部區(qū)域后，類橢圓不再分離為凸輪形狀，仍然是一個整體，電勢的范圍為1.54 V≤U≤5.6 V．

圖5 與xOz平面平行y=a平面內(nèi)的電場分布

3.3 三維空間的電場分布

需要說明的是，在圖中中心畫出的帶電圓環(huán)并不是計算結(jié)果，而是為了清晰地顯示帶電圓環(huán)的電場分布，使用ParametricPlot3D命令加在電場線中額外附加的．

圖6 三維空間的電場分布

4 結(jié)論

本文應(yīng)用Mathematica軟件對均勻帶電細(xì)圓環(huán)全空間的電場和電勢分布進(jìn)行了討論，繪制了不同觀察角度下的電場和電勢圖，深入分析了圓環(huán)周圍不同位置電場的特點(diǎn)，最后還畫出了三維空間的電場和電勢分布．通過電場可視化，使得抽象的問題變得形象，枯燥的電場變得生動起來，非常有助于提高教學(xué)效果．